第一章特殊平行四邊形2矩形的性質與判定(第三課時)

1.如圖，在矩形

COED

中，已知點

D

的坐標是（2，3），則

CE

的長是（

A

）C.4（第1題圖）A2.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝6，

BC

＝8，

AE

⊥

BD

于

點

F

，則線段

AF

的長是（

C

）A.6B.5C.4.8D.4（第2題圖）C3.如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝3，

BC

＝4，點

D

是

AB

上的動點，過點

D

作

DE

⊥

AC

于點

E

，

DF

⊥

BC

于點

F

，

連接

EF

，則線段

EF

的最小值是（

D

）A.1.2B.2.5C.1.5D.2.4（第3題圖）D4.如圖，在矩形

ABCD

中，對角線

AC

，

BD

交于點

O

，

DE

平分

∠

ADC

.

若∠

AOB

＝60°，則∠

COE

的大小為

?.（第4題圖）75°

5.如圖，四邊形

ABCD

和四邊形

AEFC

是兩個矩形，點

B

在

EF

邊上.若矩形

ABCD

和矩形

AEFC

的面積分別為

S1，

S2，則

S1與

S2

的大小關系是

S1

S2（填“＞”“＜”或“＝”）.（第5題圖）＝

6.如圖，在四邊形

ABCD

中，已知

AB

∥

CD

，

AB

⊥

BD

，

AB

＝

5，

BD

＝4，

CD

＝3，點

E

是

AC

的中點，則

AE

的長為

?

?.（第6題圖）2

7.如圖，延長矩形

ABCD

的邊

BC

至點

E

，使

CE

＝

BD

，連接

AE

，∠

ADB

＝38°，求∠

E

的度數.解：如答圖，連接

AC

，交

BD

于點

O

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BE

，

AC

＝

BD

，

OB

＝

OD

，

OA

＝

OC

.

∴∠

CBD

＝∠

ADB

＝38°，

OB

＝

OC

.

∴∠

ACB

＝∠

CBD

＝38°.∵

CE

＝

BD

，∴

CE

＝

AC

.

∴∠

E

＝∠

CAE

.

∵∠

ACB

＝∠

CAE

＋∠

E

＝38°，∴∠

E

＝19°.答圖8.如圖，在?

ABCD

中，已知過點

D

作

DE

⊥

AB

于點

E

，點

F

在

邊

CD

上，

CF

＝

AE

.

連接

AF

，

BF

.

（1）求證：四邊形

BFDE

是矩形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

.

∵

AE

＝

CF

，∴

AB

－

AE

＝

CD

－

CF

，即

BE

＝

DF

.

∵點

E

在邊

AB

上，點

F

在邊

CD

上，∴

BE

∥

DF

.

∴四邊形

BFDE

是平行四邊形.∵

DE

⊥

AB

，∴∠

DEB

＝90°.∴?

BFDE

是矩形.（2）若∠

DAB

＝60°，

AF

平分∠

DAB

，

AD

＝4，求

AB

的長.

9.（2022·撫順）如圖，在Rt△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，

BC

＝2，點

P

為斜邊

AB

上的一個動點（點

P

不與點

A

，

B

重合），過點

P

作

PD

⊥

AC

，

PE

⊥

BC

，垂足分別為

D

，

E

，

連接

DE

，

PC

交于點

Q

，連接

AQ

.

當△

APQ

為直角三角形時，

AP

的長是

?.

（第9題圖）

圖1圖210.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝1，

BC

＝2，點

A

在

x

軸正半

軸上，點

D

在

y

軸正半軸上.當點

A

在

x

軸上運動時，點

D

也隨之

在

y

軸上運動，在這個運動過程中，則點

C

到原點

O

的最大距離

為

?.

（第10題圖）

11.如圖，在矩形

ABCD

中，對角線

AC

的垂直平分線分別與邊

AB

和邊

CD

的延長線交于點

M

，

N

，與邊

AD

交于點

E

，垂足為

O

.

（1）求證：△

AOM

≌△

CON

；

（2）若

AB

＝3，

AD

＝6，求

AE

的長.（2）解：如圖，連接

CE

.

∵

MN

是

AC

的垂直平分線，∴

CE

＝

AE

.

設

AE

＝

CE

＝

x

，則

DE

＝6－

x

.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

CDE

＝90°，

CD

＝

AB

＝3.在Rt△

CDE

中，

CD2＋

DE2＝

CE2，即32＋（6－

x

）2＝

x2，

12.如圖，已知菱形

ABCD

的對角線

AC

，

BD

相交于點

O

，點

E

是

AD

的中點，點

F

，

G

在

AB

上，

EF

⊥

AB

，

OG

∥

EF

.

（1）判斷四邊形

OEFG

的形狀；解：（1）四邊形

OEFG

是矩形.理由如下：在菱形

ABCD

中，

DO

＝

BO

.

∵點

E

是

AD

的中點，∴

AE

＝

DE

，

OE

∥

AB

.

∴

OE

∥

FG

.

又∵

OG

∥

EF

，∴四邊形

OEFG

是平行四邊形.∵

EF

⊥

AB

，∴∠

EFG

＝90°.∴?

OEFG

是矩形.（2）若

AC

＝8，

BD

＝6，求菱形

ABCD

的面積和

EF

的長.

13.（選做）如圖，在平面直角坐標系

xOy

中，矩形

ABCD

的邊

AB

＝4，

BC

＝6.若不改變矩形

ABCD

的形狀和大小，當矩形頂

點

A

在

x

軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點

D

始終在

y

軸的正半軸上隨之上下移動.（1）當∠

OAD

＝30°時，求

OD

的長及點

C

的坐標.