2024屆新高考數學（理科）精英模擬卷【全國卷】學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．設全集,集合,集合,則()A. B. C. D.2．若，則()A. B. C. D.3．已知函數，若的最小值為m，其中是函數的導函數，則曲線在處的切線方程是()A. B. C. D.4．設有下面四個命題：，；，；，；，.其中真命題為()A. B. C. D.5．已知是等差數列的前n項和，若，則()A.2 B.3 C.4 D.66．設向量a，b滿足，，a與b的夾角為，則()A. B. C. D.37．已知函數圖象的一個對稱中心為，則為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象()A.向左平移1個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移1個單位長度 D.向右平移個單位長度8．為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有()A.54種B.240種C.150種D.60種9．如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的表面積為()A. B. C. D.10．已知圓，為圓C的動弦，且滿足，G為弦MN的中點，兩動點P，Q在直線上，且，運動時，始終為銳角，則線段PQ中點的橫坐標取值范圍是()A. B. C. D.11．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點，與y軸正半軸交于點A，線段與C交于點M.若與C的焦距的比值為，則C的離心率為()A. B. C. D.12．如圖,已知菱形ABCD中,,,E為邊BC的中點,將沿AE翻折成（點位于平面ABCD上方）,連接和,F為的中點,則在翻折過程中,下列說法正確的是()①平面平面②與的夾角為定值③三棱錐體積最大值為④點F的軌跡的長度為A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空題13．在拋擲一枚骰子的試驗中，事件A表示“不大于4的偶數點出現”，事件B表示“小于5的點數出現”，則事件發生的概率為__________.14．設x,y滿足約束條件,則的最小值為________.15．已知函數是定義在R上的奇函數，若對任意給定的實數，，恒成立，則不等式的解集是___________.16．已知函數，數列是正項等比數列，且，則__________.三、解答題17．已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求C；（2）記面積為S，求的取值范圍.18．如圖，三棱錐中，，，E為BC的中點.（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值.19．已知點F是拋物線的焦點,點在C上,且.（1）求C的方程;（2）過點F作兩條互相垂直的直線,,交C于A,B兩點,交C于M,N兩點.求證:為定值.20．某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規則相同.甲每道題自己有把握獨立答對的概率為，若甲自己沒有把握答對，則在規定時間內連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為p，假設每道題答對與否互不影響.（1）當時，①若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；②甲答了4道題，記甲答對題目的個數為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布和數學期望；（2）乙答對每道題的概率為（含親友團），現甲、乙兩人各答2道題，若甲答對題的個數比乙答對題的個數多的概率不低于，求甲的親友團每道題答對的概率p的最小值.21．已知函數，其中實數.（1）當時，求函數的單調性；（2）若函數有唯一零點，求實數a的值.22．在平面直角坐標系中，已知直線，曲線C的參數方程為（為參數）.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線C和直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線C分別交于O，A兩點，直線與曲線C分別交于O，B兩點，求的面積.23．已知函數,.（1）當時,求不等式的解集;（2）當時,若存在,使得成立,求的取值范圍.

參考答案1．答案：D解析：因為,,所以,又因為全集,所以.故選:D.2．答案：D解析：，所以，故選D.3．答案：B解析：由題得，的最小值.，，曲線在處的切線方程是，即.故選B.4．答案：C解析：，，所以命題為假命題；當時，，所以命題為假命題；當時，均為非負整數，所以命題為真命題；因為，所以命題為假命題.故選C.5．答案：B解析：由題意，，解得，設等差數列的公差為，則.故選：B.6．答案：B解析：，①.又，②.由①②得，，.7．答案：A解析：因為函數圖象的一個對稱中心為，所以，，所以，，又，所以，所以.因為，所以為了得到的圖象，只需將函數的圖象向左平移1個單位長度.8．答案：C解析：根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況：①三組人數為1、1、3，此時有種方法；②三組人數為2、2、1，此時有種方法.所以不同的報名方法有種.9．答案：D解析：由多面體的三視圖得到多面體的直觀圖如圖所示：它可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成.其中三角形的底，高為，所以其面積為；梯形與梯形全等，上底，下底，高為，所以其面積為；三角形ABC的底，高為3，所以其面積為；底面為矩形，，，其面積為.所以該多面體的表面積.故選D.10．答案：A解析：由題意，圓，可得圓心坐標為，半徑為，因為，G為弦MN的中點，可得，又由兩動點P，Q在直線上，且，設PQ的中點，當M，N在圓C上運動時，且恒為銳角，可得以C為圓心，以2為半徑的圓與以E為圓心，以2為半徑的圓相外離，則，即，解得或，所以線段PQ中點的橫坐標取值范圍是.故選A.11．答案：D解析：設雙曲線的半焦距為c，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為2c，故其方程為，令，則，結合A在y軸正半軸上，得，令，則或，故.故，故直線.設，由題意知，故，整理得，故，故，所以，故，解得或，又因為，則，則，.故選D.12．答案：C解析：對于①：由,,E為邊BC的中點知且,易知,,而,EC,面,故面,又面,所以面面,故①正確;對于②：若是的中點,又F為的中點,則且,而且,所以且,即為平行四邊形,故,所以與的夾角為或其補角,若G為AB中點,即,由①分析易知,故與CF的夾角為,故②正確;對于③：由上分析知：翻折過程中當面ABCD時,最大,此時,故③錯誤;對于④：由②分析知：且,故F的軌跡與G到的軌跡相同,由①知：B到的軌跡為以E為圓心,為半徑的半圓,而G為AB中點,故G到的軌跡為以AE中點為圓心,為半徑的半圓,所以F的軌跡長度為,故④正確.故選：C.13．答案：解析：隨機拋擲一枚骰子共有6種不同的結果，其中事件A“不大于4的偶數點出現”包括出現2，4兩種結果，，事件B“小于5的點數出現”的對立事件為，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案為.14．答案：2解析：由約束條件作出可行域,如圖陰影部分,結合圖可知,平移直線,當平移到經過點A時,直線在y軸上的截距最小,即取得最小值,聯立,得,即,將的坐標代入直線,即得的最小值為2,故答案為:215．答案：解析：因為函數對任意給定的實數，，恒成立，即恒成立，所以函數在R上為減函數.又函數是R上的奇函數，所以，則由不等式，得或即或解得.所以原不等式的解集為.16．答案：解析：因為函數，所以當時，.因為數列是正項等比數列，且，所以，所以1，同理可得，令，則，所以，故.17．答案：（1）60°（2）解析：（1），由正弦定理得，，又，，，，；（2），其中，，銳角，，從而得；綜上，，.18．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：連接AE，DE，，E為BC的中點，.又，，與均為等邊三角形，，.又，平面，平面，平面，又平面，.（2）設，則，，，.又，，平面，平面，平面.以E為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，.設平面的一個法向量為，則即令，則.設平面的一個法向量為，則即令，則.設二面角的平面角為，則.又，，二面角的正弦值為.19．答案：（1）;（2）證明見解析.解析：（1）拋物線C的準線方程為,依題意,,解得或,而,則,所以拋物線C的方程為.（2）由（1）知,直線,的斜率均存在,不妨設直線的方程為,,,由消去y得,顯然,則,,因此,由,得直線的斜率為,同理得,所以.20．答案：（1）見解析（2）解析：（1）①記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“甲自己答對了某道題”，則，，所以.②隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，由①知，則，所以，則隨機變量X的概率分布為X01234P故.（2）記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，，1，2，其中甲答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為，則，，，，所以甲答對題的個數比乙答對題的個數多的概率，所以，即甲的親友團每道題答對的概率p的最小值為.21．答案：（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）解析：（1），，.令，，在上單調遞增，即在上單調遞增.，令，則，令，則，在上單調遞減，在上單調遞增.（2），，令，則，在上單調遞增，即在上單調遞增.設，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，，，即，，又，存在唯一的，使得，即①.當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，.又函數有唯一的零點，，即②.由①②得，即.令，