2025數學步步高大一輪復習講義人教A版第八章培優點11阿基米德三角形培優點11阿基米德三角形拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．如圖．性質1阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸．性質2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內的定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點為中點的弦平行．性質3若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點(若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點的坐標為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a))).性質4底邊AB為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p).性質5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.例(多選)(2023·南平模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作拋物線的弦與拋物線交于A，B兩點，M為弦AB的中點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2，l1，l2相交于點P.下面關于△PAB的描述正確的是()A．點P必在拋物線的準線上B．AP⊥PBC．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為eq\f(p2,2)D．PF⊥AB答案ABD解析先證明出拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.證明如下：由于點(x0，y0)在拋物線y2＝2px上，則yeq\o\al(2,0)＝2px0，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y0y＝px＋px0，))可得2y0y＝y2＋2px0，即y2－2y0y＋yeq\o\al(2,0)＝0，Δ＝0，所以拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.如圖所示．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根與系數的關系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，對于A，拋物線y2＝2px在點A處的切線方程為y1y＝px＋px1，即y1y＝px＋eq\f(y\o\al(2,1),2)，同理可知，拋物線y2＝2px在點B處的切線方程為y2y＝px＋eq\f(y\o\al(2,2),2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1y＝px＋\f(y\o\al(2,1),2)，,y2y＝px＋\f(y\o\al(2,2),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2p)＝－\f(p,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)＝mp，))所以點P的橫坐標為－eq\f(p,2)，即點P在拋物線的準線上，A正確；對于B，直線l1的斜率為k1＝eq\f(p,y1)，直線l2的斜率為k2＝eq\f(p,y2)，所以k1k2＝eq\f(p2,y1y2)＝－1，所以AP⊥PB，B正確；對于D，當AB垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點P為拋物線的準線與x軸的交點，此時PF⊥AB；當AB不與x軸垂直時，直線AB的斜率為kAB＝eq\f(1,m)，直線PF的斜率為kPF＝eq\f(mp,－p)＝－m，所以kAB·kPF＝－1，則PF⊥AB.綜上，PF⊥AB，D正確；對于C，|AB|＝eq\r(1＋m2)·|y1－y2|，|PF|＝eq\r(p2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))2)＝eq\r(p2＋m2p2)＝peq\r(1＋m2)，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·|PF|＝eq\f(1,2)eq\r(1＋m2)·|y1－y2|·peq\r(1＋m2)＝eq\f(p,2)(m2＋1)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(p2,y1)))＝eq\f(p,2)·(m2＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|y1|＋\f(p2,|y1|)))≥eq\f(p,2)·2eq\r(|y1|·\f(p2,|y1|))＝p2，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,y1＝±p))時，等號成立，C錯誤．思維升華(1)橢圓和雙曲線也具有多數上述拋物線阿基米德三角形類似性質．(2)當阿基米德三角形的頂角為直角時，則阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓．跟蹤訓練(2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．解(1)由題意知M(0，－4)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圓M的半徑r＝1，所以|MF|－r＝4，即eq\f(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2.(2)由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，由題意可知直線AB的斜率存在，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，直線AB的方程為y＝kx＋b，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4b＝0，則Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋b).因為x2＝4y，即y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\f(x,2)，則拋物線在點A處的切線斜率為eq\f(x1,2)，在點A處的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1,2)x－eq\f(x\o\al(2,1),4)，同理得拋物線在點B處的切線方程為y＝eq\f(x2,2)x－eq\f(x\o\al(2,2),4)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝2k，,y＝\f(x1x2,4)＝－b，))即P(2k，－b)．因為點P在圓M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－eq\f(1,2)≤k≤eq\f(1,2)，3≤b≤5，滿足(※)．設點P到直線AB的距離為d，則d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝4eq\r(k2＋b3).由①得，k2＝eq\f(1－4－b2,4)＝eq\f(－b2＋8b－15,4)，令t＝k2＋b，則t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)，且3≤b≤5.因為t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)在[3,5]上單調遞增，所以當b＝5時，t取得最大值，tmax＝5，此時k＝0，所以△PAB面積的最大值為20eq\r(5).1．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”，當弦AB經過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下特征：①點P必在拋物線的準線上；②PF⊥AB.若經過拋物線y2＝4x的焦點的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點P的縱坐標為4，則直線AB的方程為()A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0答案A解析設拋物線的焦點為F，由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1，因為△PAB為“阿基米德三角形”，且弦AB經過拋物線y2＝4x的焦點，所以點P必在拋物線的準線上，所以點P(－1,4)，所以直線PF的斜率為eq\f(4－0,－1－1)＝－2.又因為PF⊥AB，所以直線AB的斜率為eq\f(1,2)，所以直線AB的方程為y－0＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.2．我們把拋物線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的△PAB(P為兩切線的交點)叫做“阿基米德三角形”．當弦AB經過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質：①P點必在拋物線的準線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直線l：y＝k(x－1)與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，若|AB|＝8，則拋物線的“阿基米德三角形”PAB的面積為()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D.eq\r(2)答案A解析拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1，直線l：y＝k(x－1)經過拋物線的焦點，依題意，k≠0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))消去y并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，解得k2＝1，即k＝±1，當k＝1時，因為△PAB為“阿基米德三角形”，則直線PF的斜率kPF＝－1，直線PF的方程為y＝－x＋1，點P必在拋物線的準線x＝－1上，所以點P的坐標為P(－1,2)，|PF|＝2eq\r(2)，又PF⊥AB，于是得S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·|PF|＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(2)＝8eq\r(2)，由對稱性可知，當k＝－1時，同理有S△PAB＝8eq\r(2)，所以△PAB的面積是8eq\r(2).3．已知拋物線C：x2＝4y，直線y＝kx＋b與拋物線交于A，B兩點，|AB|＝8，且拋物線在A，B處的切線相交于點P，則△PAB的面積最大值為()A．8B．16C．16eq\r(2)D．32答案D解析方法一設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))得x2－4kx－4b＝0，由根與系數的關系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，又|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2＋16b)＝8，故k2＋b＝eq\f(4,1＋k2)，又x2＝4y，∴y＝eq\f(1,4)x2，∴y′＝eq\f(1,2)x，故直線PA的方程為y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，即y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，同理，直線PB的方程為y＝eq\f(1,2)x2x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)，聯立直線PA，PB方程可得x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(x1x2,4)，即x＝eq\f(4k,2)＝2k，y＝eq\f(x1x2,4)＝－b，即P(2k，－b)，∴點P到直線AB的距離d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，∴S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×8×eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))＝4×eq\f(2,\r(1＋k2))·eq\f(4,1＋k2)＝，當k＝0時，(S△PAB)max＝32.方法二由阿基米德三角形的性質知(S△PAB)max＝eq\f(|AB|3,8p)＝eq\f(83,8×2)＝32.4．(多選)(2024·廊坊模擬)如圖，△PAB為阿基米德三角形．拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個不同的點A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點的拋物線的切線PA，PB相交于點P.則下列結論正確的為()A．若弦AB過焦點，則△PAB為直角三角形且∠APB＝90°B．點P的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2)))C．弦AB所在直線的方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D．△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)答案ACD解析由題意設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p)))，x1<x2，由x2＝2py，得y＝eq\f(x2,2p)，則y′＝eq\f(x,p)，所以kPA＝eq\f(x1,p)，kPB＝eq\f(x2,p)，若弦AB過焦點，設弦AB所在直線為y＝kx＋eq\f(p,2)，聯立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，則x1x2＝－p2，所以kPA·kPB＝eq\f(－p2,p2)＝－1，所以PA⊥PB，即∠APB＝90°，故A正確；以點A為切點的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1,p)(x－x1)，以點B為切點的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,2),2p)＝eq\f(x2,p)(x－x2)，聯立消去y得x＝eq\f(x1＋x2,2)，將x＝eq\f(x1＋x2,2)代入y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1,p)(x－x1)，得y＝eq\f(x1x2,2p)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p)))，故B錯誤；設N為弦AB的中點，N的橫坐標為xN＝eq\f(x1＋x2,2)，因此直線PN平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對稱軸(或與對稱軸重合)，故D正確；設直線AB的斜率為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),2p)－\f(x\o\al(2,1),2p),x2－x1)＝eq\f(x1＋x2,2p)，故弦AB所在直線的方程為y－eq\f(x\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1＋x2,2p)(x－x1)，化簡得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正確．5．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于該弦所形成的阿基米德三角形面積的eq\f(2,3).已知A(－2,1)，B(2,1)為拋物線C：x2＝4y上兩點，則在A點處拋物線C的切線的斜率為________；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_________．答案－1eq\f(8,3)解析因為y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x，所以y′|x＝－2＝eq\f(1,2)×(－2)＝－1，所以在A點處拋物線C的切線的斜率為－1，切線方程為y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B點處拋物線C的切線方程為y＝x－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x－1，,y＝x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以兩切線的交點為P(0，－1)，所以阿基米德三角形面積S△PAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4，所以弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積S＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).6.如圖，過點P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，動點Q為拋物線C上在A，B之間上的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA，PB于點M，N.(1)若PA⊥PB，證明：直線AB經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))；(2)若△PMN，△ABQ的面積分別為S1，S2，求eq\f(S1,S2)的值．(1)證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋b))消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，由根與系數的關系得x1x2＝－2pb，設拋物線C：x2＝2py在點A處切線方程為y－y1＝t(x－x1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝tx－x1，,x2＝2py))消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，則有Δ＝4p2t2－4(2ptx1－2py1)＝4p2t2－4(2ptx1－xeq\o\al(2,1))＝0，解得t＝eq\f(x1,p)，同理，拋物線C：x2＝2py在點B處切線斜率為eq\f(x2,p)，因為PA⊥PB，則有eq\f(x1,p)·eq\f(x2,p)＝eq\f(－2pb,p2)＝－1，解得b＝eq\f(p,2)，所以直線AB：y＝kx＋eq\f(p,2)恒過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).(2)解由(1)知，切線PA的方程為y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，整理得y＝eq\f(x1,p)x－y1，同理，切線PB的方程為y＝eq\f(x2,p)x－y2，設點Q(x0，y0)，則切線MN的方程為y＝eq\f(x0,p)x－y0，由點P(m，n)，則n＝eq\f(x1,p)m－y1，n＝eq\f(x2,p)m－y2，因此直線AB的方程為y＝eq\f(m,p)x－n，則|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)))2)|x1－x2|，點Q(x0，y0)到直線AB的距離d2＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)))2))，則S2＝eq\f(1,2)|x1－x2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x0,p)x－y0，,y＝\f(x1,p)x－y1))解得點M的橫坐標xM＝eq\f(x0＋x1,2)，同理，點N的橫坐標xN＝eq\f(x0＋x2,2)，則|MN|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2)|xM－xN|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2)eq\f(|x1－x2|,2)，點P(m，n)到直線MN的距離d1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－n－y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,p)))2))，則S1＝eq\f(1,4)|x1－x2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,p)x0－y0－n))，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,2).§9.1隨機抽樣、統計圖表課標要求1.了解獲取數據的基本途徑.2.會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣.3.能根據實際問題的特點選擇恰當的統計圖表，體會使用統計圖表的重要性．知識梳理1．總體、個體、樣本調查對象的全體(或調查對象的某些指標的全體)稱為總體，組成總體的每一個調查對象(或每一個調查對象的相應指標)稱為個體，在抽樣調查中，從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數稱為樣本容量，簡稱樣本量．2．簡單隨機抽樣抽簽法和隨機數法是比較常用的兩種方法．3．分層隨機抽樣一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．4．統計圖表(1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．(2)作頻率分布直方圖的步驟①求極差；②決定組距與組數；③將數據分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．常用結論1．利用按比例分配的分層隨機抽樣要注意按比例抽取，若各層應抽取的個體數不都是整數，可以進行一定的技術處理，比如將結果取成整數等．2．在按比例分配的分層隨機抽樣中，以層數是2層為例，如果第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數分別為eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，樣本平均數為eq\x\to(w)，則eq\x\to(w)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y).3．頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)在簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會與先后順序有關．(×)(2)抽簽法和隨機數法都是簡單隨機抽樣．(√)(3)在按比例分配的分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．(×)(4)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數據落在該區間的頻率越大．(√)2．從某年級500名學生中抽取60名學生進行體重的統計分析，就這個問題來說，下列說法不正確的是()A．500名學生的體重是總體B．每名被抽取的學生的體重是個體C．抽取的60名學生的體重是一個樣本D．抽取的60名學生的體重是樣本容量答案D解析由題可知，從某年級500名學生中抽取60名學生進行體重的統計分析，其中總體是該年級500名學生的體重，個體是每名被抽取的學生的體重，樣本是抽取的60名學生的體重，樣本容量是60，故只有D不正確．3．“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡，是具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡．建造“中國天眼”的目的是()A．通過調查獲取數據 B．通過試驗獲取數據C．通過觀察獲取數據 D．通過查詢獲得數據答案C解析“中國天眼”主要是通過觀察獲取數據．4．(2023·寶雞模擬)從某校隨機抽取某次數學考試100分以上(含100分，滿分150分)的學生成績，將他們的分數數據繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．若共抽取了100名學生的成績，則分數在[120,130)內的人數為________．答案30解析因為頻率分布直方圖中所有的小矩形面積和為1，所以(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030，所以分數在[120,130)內的人數為100×0.030×10＝30.題型一抽樣方法例1(1)某工廠利用隨機數法對生產的700個零件進行抽樣測試，先將700個零件進行編號，001,002，…，699,700.從中抽取70個樣本，下面提供了隨機數表的第5行到第6行數據，若從隨機數表中第5行第6列開始向右讀取數據，則得到的第6個樣本編號是()8442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．328C．253D．007答案A解析從第5行第6列開始向右讀取數據，第一個數為253，第二個數是313，第三個數是457，下一個數是860，不符合要求，下一個數是736，不符合要求，下一個是253，重復，則第四個數是007，第五個數是328，第六個數是623.(2)某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發明，能說出兩種發明的有45人，能說出三種及以上發明的有32人，據此估計該校三年級500名學生中，對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有()A．69人 B．84人C．108人 D．115人答案D解析在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有100－45－32＝23(人)，設該校三年級中對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有x人，則eq\f(100,500)＝eq\f(23,x)，解得x＝115.思維升華(1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數有限；②等可能抽取．(2)在按比例分配的分層隨機抽樣中，抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本容量,各層個體總量).跟蹤訓練1(1)下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．某醫院從200名醫生中，挑選出50名最優秀的醫生去參加培訓B．從10部手機中逐個不放回地隨機抽取2部進行質量檢驗C．從空間直角坐標系中抽取10個點作為樣本D．飲料公司從倉庫中的500箱飲料中一次性抽取前10箱進行質量檢查答案B解析A選項中，挑選出50名最優秀的醫生去參加培訓，每個人被抽到的概率不相等，故A錯誤；B選項中，從10部手機中逐個不放回地隨機抽取2部進行質量檢驗，是簡單隨機抽樣，故B正確；C選項中，由于被抽取的樣本的總體個數是無限的，所以不是簡單隨機抽樣，故C錯誤；D選項中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是簡單隨機抽樣，故D錯誤．(2)(2023·棗莊模擬)杭州亞運會共有3.76萬“小青荷”志愿者參與服務．據統計某高校共有本科生1600人、碩士生600人、博士生200人申請報名做志愿者，現用按比例分配的分層隨機抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總人數為()A．300B．320C．340D．360答案D解析根據題意知，按比例分配的分層隨機抽樣的比例為eq\f(30,200)＝eq\f(3,20)，所以該高校抽取的志愿者總人數為(1600＋600＋200)×eq\f(3,20)＝360.題型二統計圖表例2(1)(多選)新式茶飲是指以上等茶葉的萃取濃縮液為底，再根據消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調制而成的飲料．如圖為2023年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．根據所給統計圖，下列結論中正確的是()A．每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%B．每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%C．月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比超過50%D．月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%答案BC解析每周都消費新式茶飲的消費者占比為1－9.1%>90%，A錯誤；每天都消費新式茶飲的消費者占比為5.4%＋16.4%>20%，B正確；月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比為30.5%＋25.6%>50%，C正確；月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比為1－14.5%－30.5%<60%，D錯誤．(2)(多選)(2024·合肥模擬)為了解我國農業、農村、農民的基本情況，將全國第三次農業普查的部分數據整理得到如下的柱狀圖(單位：%)，則()A．東北地區的四項數據均比中部地區高B．西部地區的四項數據均比其他三個地區低C．中部地區的發展情況相較于西部地區的發展較好D．東部地區的發展情況相較于其他三個地區的發展較好答案CD解析東北地區通電的村、通寬帶互聯網的村、有電子商務配送站點的村的占比高于中部地區，但通天然氣的村的占比低于中部地區，故A錯誤；西部地區通電的村、通寬帶互聯網的村、有電子商務配送站點的村的占比低于其他三個地區，但通天然氣的村的占比高于其他三個地區，故B錯誤；中部地區除通天然氣的村的占比低于西部地區，其他三項數據均不低于西部地區，故中部地區的發展情況相較于西部地區較好，故C正確；東部地區除通天然氣的村的占比低于西部地區，其他三項數據均不低于其他三個地區，故東部地區的發展情況相較于其他三個地區較好，故D正確．思維升華統計圖表的主要應用(1)扇形圖：直觀描述各類數據占總數的比例．(2)折線圖：描述數據隨時間的變化趨勢．(3)條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率．跟蹤訓練2(1)已知全國農產品批發價格200指數月度變化情況如圖所示，下列選項正確的是()A．全國農產品夏季價格比冬季低B．全國農產品批發價格200指數2022年每個月逐漸增加C．2022年“菜籃子”產品批發價格指數與農產品批發價格200指數趨勢基本保持一致D．2022年2月農產品批發價格200指數大于135答案C解析圖中給的是批發價格200指數，所以并不能確定農產品的價格變化，故A錯誤；全國農產品批發價格200指數2022年4～6月呈下降趨勢，并未增加，故B錯誤；根據圖中曲線的變化趨勢可發現2022年“菜籃子”產品批發價格指數與農產品批發價格200指數趨勢基本保持一致，故C正確；由圖知2022年2月農產品批發價格200指數小于135，故D錯誤．(2)(多選)(2023·濰坊模擬)新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發動機汽車等．我國的新能源汽車發展開始于21世紀初，近年來發展迅速，連續8年產銷量位居世界第一．下面兩圖分別是2017年至2022年我國新能源汽車年產量和占比(占我國汽車年總產量的比例)情況，則()A．2017～2022年我國新能源汽車年產量逐年增加B．2017～2022年我國新能源汽車年產量的極差為626.4萬輛C．2022年我國汽車年總產量超過2700萬輛D．2019年我國汽車年總產量不低于2018年我國汽車年總產量答案BC解析由圖可知，從2018年到2019年，我國新能源汽車年產量在下降，故A錯；2017～2022年我國新能源汽車年產量的極差為705.8－79.4＝626.4(萬輛)，故B對；2022年我國汽車年總產量為eq\f(705.8,0.256)≈2757.03(萬輛)，故C對；2019年我國汽車年總產量為eq\f(124.2,0.048)＝2587.5(萬輛)，2018年我國汽車年總產量為eq\f(127,0.045)≈2822.22(萬輛)，所以2019年我國汽車年總產量低于2018年我國汽車年總產量，故D錯．題型三頻率分布直方圖例3某市某月30天對空氣污染指數的監測數據如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61767056819192917581886710110395917786818382826479868575714945(1)完成頻率分布表；分組頻數頻率[41,51)[51,61)[61,71)[71,81)[81,91)[91,101)[101,111](2)作出頻率分布直方圖；(3)根據國家標準，污染指數在0～50之間時，空氣質量為優；在51～100之間時，空氣質量為良；在101～150之間時，空氣質量為輕度污染；在151～200之間時，空氣質量為中度污染．請你依據所給數據和上述標準，對該市的空氣質量給出一個簡短評價．解(1)頻率分布表如表所示．分組頻數頻率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)5eq\f(5,30)[101,111]2eq\f(2,30)(2)作出頻率分布直方圖，如圖所示．(3)答對下述兩條中的一條即可．一：該市一個月中空氣污染指數有2天處于優的水平，占當月天數的eq\f(1,15)，有26天處于良的水平，占當月天數的eq\f(13,15)，處于優或良的天數共有28天，占當月天數的eq\f(14,15)，說明該市空氣質量基本良好．二：輕度污染有2天，占當月天數的eq\f(1,15)，污染指數在80以上的接近輕度污染的天數有15天，加上處于輕度污染的天數，共有17天，占當月天數的eq\f(17,30)，超過50%，說明該市空氣質量有待進一步改善．思維升華頻率分布直方圖的相關結論(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)頻率分布直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距)，即小長方形的面積．(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數為頻率×總數．跟蹤訓練3某校為了解學生學習的效果，進行了一次摸底考試，從中選取60名學生的成績，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：(1)求分數在區間[70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)根據評獎規則，排名在前10%的學生可以獲獎，請你估計獲獎的學生至少需要多少分？解(1)設分數在[70,80)內的頻率為x，根據頻率分布直方圖，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分數在[70,80)內的頻率為0.25，補全這個頻率分布直方圖，如圖所示．(2)因為分數在區間[80,90)內的頻率為0.25，在區間[90,100]內的頻率為0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，設排名前10%的分界點為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界點為88分，即獲獎的學生至少需要88分．課時精練一、單項選擇題1．下列調查方式合適的是()A．為了了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查的方式B．為了了解一批玉米種子的發芽率，采用普查的方式C．為了了解一條河流的水質，采用抽樣調查的方式D．為了了解一個寢室的學生(共5個人)每周體育鍛煉的時間，采用抽樣調查的方式答案C解析A項，采用普查的方式測試炮彈殺傷半徑，成本較高，不適合，故錯誤；B項，采用普查的方式測試玉米的發芽率，較為煩瑣且工作量較大，不適合，故錯誤；C項，抽樣調查了解河流水質是正確的；D項，了解5個人的鍛煉時間，適合采用普查，故錯誤．2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體 B．個體C．樣本容量 D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時間是一個樣本，每個居民的閱讀時間就是一個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體．3．(2023·西安模擬)為了解某校今年報考飛行員的學生的體重情況．將所得的數據整理后，作出了頻率分布直方圖(如圖)．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第1小組的頻數為4，則某校報考飛行員的學生總人數是()A．40B．32C．28D．24答案B解析由圖可知后兩個組頻率為(0.013＋0.037)×5＝0.25，又因為從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，所以第1小組的頻率為(1－0.25)×eq\f(1,1＋2＋3)＝0.125，又因為第1小組的頻數為4，所以報考飛行員的學生人數是4÷0.125＝32.4．(2023·蚌埠質檢)已知某地區中小學生人數如圖①所示，為了解該地區中小學生的近視情況，衛生部門根據當地中小學生人數，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取了10%的學生進行調查，調查數據如圖②所示，則估計該地區中小學生的平均近視率為()A．50%B．32%C．30%D．27%答案D解析根據題意，抽取的樣本容量為(3500＋4500＋2000)×10%＝1000，其中小學生、初中生、高中生抽取人數分別為350,450,200，根據圖②知抽取的小學生、初中生、高中生中，近視的人數分別為35,135,100，所以估計該地區學生的平均近視率為eq\f(35＋135＋100,1000)×100%＝27%.5．(2024·拉薩模擬)在統計學中，同比增長率一般是指和上年同期相比較的增長率．如圖為我國2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油產量同比增長率，則下列敘述正確的是()A．2022年8月的原油產量低于2021年8月的原油產量B．2021年9月至2021年12月的原油產量呈逐月下降趨勢C．2022年3月至2022年11月，原油產量同比增長率最高的月份是6月D．2022年3月至2022年11月的原油產量同比增長率的平均數不超過2.5%答案A解析2022年8月的原油產量同比增長率為負數，說明2022年8月原油產量低于2021年8月，故A正確；2021年9月至2021年12月的原油產量的同比增長率呈逐月下降趨勢，但均大于0，則原油產量依然可能會增加，故B錯誤；2022年4月的原油產量同比增長率最高，故C錯誤；因為eq\f(3.9＋4＋3.6＋3.6＋3＋－0.2＋1.4＋2.5＋2.9,9)≈2.7>2.5，所以2022年3月至2022年11月的原油產量同比增長率的平均數超過2.5%，故D錯誤．6．中國古代數學專著《算法統宗》中有這樣的記載：毛詩春秋周易書，九十四冊共無余，毛詩一冊三人讀，春秋一冊四人呼，周易五人讀一本．意思為現有《毛詩》《春秋》《周易》3種書共94冊，若干人讀這些書，要求每個人都要讀到這3種書，若3人共讀一本《毛詩》，4人共讀一本《春秋》，5人共讀一本《周易》，則剛好沒有剩余．現要用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取47冊，則要從《毛詩》中抽取的冊數為()A．12B．14C．18D．20答案D解析設《毛詩》有x冊，《春秋》有y冊，《周易》有z冊，學生人數為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝94，,m＝3x，,m＝4y，,m＝5z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝120，,x＝40，,y＝30，,z＝24，))因此，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取47冊，則要從《毛詩》中抽取的冊數為47×eq\f(40,94)＝20.二、多項選擇題7．(2023·柳州、南寧聯考)某高中高一學生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學生有600人，選物化地組合的學生有400人，選政史地組合的學生有250人，其他組合均無人選．現從高一學生中選取25人作樣本調研情況．為保證調研結果相對準確，下列判斷正確的是()A．用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取物化生組合的學生12人B．用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取政史地組合的學生5人C．物化生組合學生小張被選中的概率比物化地組合學生小王被選中的概率大D．政史地組合學生小劉被選中的概率為eq\f(1,50)答案ABD解析用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取物化生組合的學生為25×eq\f(600,600＋400＋250)＝12(人)，故A正確；用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取政史地組合的學生為25×eq\f(250,600＋400＋250)＝5(人)，故B正確；根據按比例分配的分層隨機抽樣的特征知，每位同學被選中的概率相等，均為eq\f(25,600＋400＋250)＝eq\f(1,50)，故C錯誤；由C知，每位同學被選中的概率均為eq\f(1,50)，故D正確．8．(2024·武漢模擬)某市2022年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統計了該市招商引資前后年經濟收入構成比例，得到如下扇形圖，則下列結論中正確的是()A．招商引資后，工資凈收入較前一年增加B．招商引資后，轉移凈收入是前一年的1.25倍C．招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的eq\f(2,5)D．招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍答案AD解析設招商引資前經濟收入為M，而招商引資后經濟收入為2M，則招商引資前工資凈收入為M×60%＝0.6M，而招商引資后工資凈收入為2M×37%＝0.74M，所以工資凈收入增加了，故A正確；招商引資前轉移凈收入為M×4%＝0.04M，招商引資后轉移凈收入為2M×5%＝0.1M，所以招商引資后，轉移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯誤；招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和為0.1M＋0.56M＝0.66M<eq\f(2,5)×2M＝0.8M，所以招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和低于該年經濟收入的eq\f(2,5)，故C錯誤；招商引資前經營凈收入為M×30%＝0.3M，招商引資后經營凈收入為2M×30%＝0.6M，所以招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確．三、填空題9．某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣和按比例分配的分層隨機抽樣，則最合適的抽樣方法是________________________．答案按比例分配的分層隨機抽樣解析由于從不同年齡段客戶中抽取，故采用按比例分配的分層隨機抽樣．10．(2023·馬鞍山診斷)某學校為調查學生參加課外體育鍛煉的時間，將該校某班的40名學生進行編號，分別為00,01,02，…，39，現從中抽取一個容量為10的樣本進行調查，選取方法是從下面的隨機數表的第1行第11列開始向右讀取數據，直到取足樣本，則抽取樣本的第6個號碼為________．9084607980243659873882075389359635237918059890073546406298805497205695157480083216467050806772164275答案23解析重復的號碼只能算作一個，抽取樣本號碼是24,36,38,07,35,23,18,0