第第頁第1講三角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解任意角、象限角和終邊相同的角的概念，掌握角度與弧度之間的轉(zhuǎn)化，以及扇形的弧長及面積公式；2.掌握任意角的三角比的定義，同角三角比的關(guān)系；3.掌握誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正余弦（正切）公式、倍角公式，會進行化簡、求值與證明.課堂引入課堂引入三角學(xué)是以三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測量方面的應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。“三角學(xué)”一詞的英文“trigonometry”就是由兩個希臘詞“三角形”和“測量”合成的。現(xiàn)在，三角學(xué)主要研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。1463年，法國學(xué)者繆勒在《論三角》中系統(tǒng)總結(jié)了前人對三角的研究成果。17世紀(jì)中葉，三角由瑞士人鄧玉函（JeanTerrenz1576-1630)傳入中國。在鄧玉函的著作《大測》二卷中，主要論述了三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)表的制作和用法。當(dāng)時，三角函數(shù)是用左圖中的八條線段的長來定義的，這已與我們剛學(xué)過的三角函數(shù)線十分類似。著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家歐拉（LéonardEuler)1707年出生于瑞士的巴塞爾，1720年進入巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)，后獲碩士學(xué)們。1727年起，他先后到俄國、德國工作，1766年再次到俄國直至逝世。1748年，歐拉出版了一部劃時代的著作《無窮小分析概論》，其中提出三角函數(shù)是對應(yīng)的三角函數(shù)線與圓的半徑的比值，并令圓的半徑為1，這使得對三角函數(shù)的研究大為簡化，他還在此書的第八章中提出了弧度制的思想。他認(rèn)為，如果把半徑作為1個單位長度，那么半圓的長就是，所對圓心角的正弦是0，即，同理，圓的1/4的長是，所對圓心角的正弦是1，可記作。這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來，大大簡化了某些三角公式及其計算。18世紀(jì)中葉，歐拉給出了三角函數(shù)的現(xiàn)代理論，他還成功地把三角函數(shù)的概念由褸范圍推廣到復(fù)數(shù)范圍。值得指出，1735年，歐拉右眼失明，《無窮小分析概論》這部著作出自版于他這一不幸之后。他的著作，在樣式、范圍和記號方面堪稱典范，因此被許多大學(xué)作為教科書采用。1766年，他回到俄國不入，又轉(zhuǎn)成雙目失明，他以驚人的毅力，在圣彼得堡又用口述由別人記錄的方式工作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科學(xué)學(xué)會開始出版歐拉全集，使他卷帙浩繁的著作得以流芳百世，至今已出版七十余卷。知識梳理知識梳理知識點一、正弦、余弦、正切、余切–知識概括–1.終邊相同的角：2.弧度制：弧度，弧度.3.扇形的弧長和面積：，4.任意角的正弦、余弦、正切、余切：設(shè)是一個任意角，它的終邊上一點,正弦余弦正切余切5.各三角比在各個象限的符號：–例題分析–【例1】若扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的弧長為，面積為.【例2】已知圓的一段弧長等于其內(nèi)接正三角形的周長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是．【例3】函數(shù)的值域是.【例4】已知點第三象限，則角的終邊在第象限．【例5】(1)已知角的終邊在直線上，若且，求實數(shù)的值；(2)已知角的終邊上一點，且，求和的值.–敏學(xué)思途–1.終邊落在軸的正半軸上的角可表示為.2.已知是第一象限的角，問：是第幾象限的角？3.已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是.(1)若，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？知識點二、同角三角比關(guān)系、誘導(dǎo)公式–知識概括–1.平方關(guān)系：2.商數(shù)關(guān)系：，3.倒數(shù)關(guān)系：4.誘導(dǎo)公式可用十個字概括為：奇變偶不變，符號看象限5.已知正弦、余弦、正切求角的角的全體為或，可簡記作．同理可得，則；，則–例題分析–【例1】已知是第三象限角，且，求的值.【例2】滿足方程的角的集合是.【例3】方程在區(qū)間上的解集為.【例4】已知，且，則的值是.【例5】若，則. 【例6】設(shè)，求下列各式的值：(1)(2)(3)【例7】已知，且，則=.【例8】已知，且、是方程的兩根，求，，的值．–敏學(xué)思途–1.已知，且是第二象限角，那么的值是．2.已知為第三象限角，，則___________.3.已知角，，且滿足，則角為．4.若，則．5.化簡的結(jié)果為（）A.B.C.D.6.已知，則.7.若，是方程的兩根，則．8.已知,則.知識點三、常用三角公式–知識概括–1.(1)兩角差的余弦、正弦和正切(2)兩角和的余弦、正弦和正切2.二倍角公式3.(1)半角的正弦、余弦公式：(2)半角的正切、余切公式：4.輔助角公式(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由,確定)在求最值、化簡時起著重要作用.5.（1）積化和差公式（2）和差化積公式6.基本的技巧有:（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，等）；（2）三角比名互化(切割化弦)；（3）公式變形使用（；（4）三角比次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)；（5）式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、三角比名稱、式子結(jié)構(gòu)化同)；（6）常值變換主要指“1”的變換（），（7）正余弦“三兄妹—”的內(nèi)在聯(lián)系――“知一求二”，若，則，特別提醒：．–例題分析–【例1】若為銳角，且，則.【例2】已知，則.【例3】若可化為，則.【例4】若，，則．【例5】已知是方程的兩根，若，則的值是.【例6】已知為銳角，且滿足，則＝.【例7】已知，則．【例8】____________.【例9】已知，則（）A.B.C.D.【例10】化簡，【例11】已知，且，求的值【例12】已知，求的值【例13】已知：，，求的值.【例14】已知，求和【例15】已知，求的值.–敏學(xué)思途–1.已知，則．2.若，，則___________.3.已知，則.4.已知.5.已知，那么的值為，的值為.6.已知，，則，.7.己知，則.8．已知，則的值為.9.設(shè)點是以原點為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓按順時針方向轉(zhuǎn)動角后到達點，然后繼續(xù)沿著單位圓按順時針方向轉(zhuǎn)動角到達點，若點的縱坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．已知:，求tanα的值.

11．求證：12．設(shè)，且，滿足（1）求的值．（2）求的值．13.已知，，且，是銳角．（1）求的值；（2）求的值．勇攀高峰勇攀高峰1.若實數(shù)，且滿足，則稱是“余弦相關(guān)”的.（1）若，求出所有與之“余弦相關(guān)”的實數(shù)；（2）若實數(shù)是“余弦相關(guān)”的，求的取值范圍；（3）若不相等的兩個實數(shù)是“余弦相關(guān)”的，求證：存在實數(shù)，使得x、z為“余弦相關(guān)”的，y、z也為“余弦相關(guān)”的.師生總結(jié)師生總結(jié)自主鞏固自主鞏固1.判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)若是第一象限的角，則也必是第一象限的角；(2)弧度的角與的角是終邊相同的角；(3)終邊在軸上的角的集合為；(4)終邊在軸上方的角的集合為.2.設(shè)角的終邊經(jīng)過點，那么___________.3.點是角終邊上一點，那么.4.若，為銳角，且，，則．5.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的正半軸重合，角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)是，則.6.化簡:.7.把化為（其中，的形式：．8.已知，則．9.化簡：的結(jié)果為__________.10.方程在，上的解組成的集合為．11.已知角的終邊經(jīng)過點，且，則角的大小.12.已知，則=.13.若且，則.14.若則15.方程的解集為_________________.16.已知，，都是銳角，則的值為___________.17.設(shè)函數(shù)，其中都是非零實數(shù)，且滿足，則___________.18.在銳角三角形中，若，則的最小值是．19.提鞋公式也叫李善蘭輔助角公式，其正弦型下:下列判斷錯誤的是（）A.當(dāng)時，輔助角B.當(dāng)時，輔助角C.當(dāng)時，輔助角D.當(dāng)時，輔助角20.若，的化簡結(jié)果是A． B． C． D．21.化簡（）A.1B.C.D.22.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊