第頁[學業水平訓練]1.已知圓C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB為圓C的一條直徑,點A(0,1),則點B的坐標為________.解析:由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得,(x－1)2＋(y＋1)2＝5,所以圓心C(1,－1).設B(x0,y0),又A(0,1),由中點坐標公式得

,解得

,所以點B的坐標為(2,－3).答案:(2,－3)2.過點P(1,2)的直線l平分圓C：x2＋y2＋4x＋6y＋1＝0的周長,則直線l的斜率為________.解析：過點P(1,2)的直線l平分圓C的周長,則直線l過圓心(－2,－3),則直線l的斜率為k＝

＝

.答案:

3.點M,N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上,且點M,N關于直線x－y＋1＝0對稱,則該圓的面積是________.解析：將x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化為(x＋

)2＋(y＋1)2＝5＋

,故圓心坐標是(－

,－1),由題意知,直線x－y＋1＝0過圓心,故－

＋1＋1＝0,解得k＝4,此時圓的半徑為3,圓的面積是9π.答案:9π4.點A(1,0)在圓x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上,則a的值為________.解析:∵點A在圓上,∴a應滿足的條件為

,即

,解得

,∴a＝－2.答案:－25.如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,那么當圓面積最大時,圓心的坐標是________.解析：將x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化為(x＋

)2＋(y＋1)2＝1－

k2,可知當k＝0時,圓的半徑最大,即圓面積最大,此時圓心坐標是(0,－1).答案:(0,－1)6.已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0,設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為________.解析:點(3,5)在圓內,最長弦AC即為該圓直徑,∴AC＝10,最短弦BD⊥AC,∴BD＝4

,S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(6).答案:20

7.試判斷A(1,2),B(0,1),C(7,－6),D(4,3)四點是否在同一個圓上.解:線段AB,BC的斜率分別是kAB＝1,kBC＝－1,得kAB≠kBC,則A,B,C三點不共線,設過A,B,C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A,B,C三點在此圓上,所以

,解得

,所以過A,B,C三點的圓的方程為x2＋y2－8x＋4y－5＝0,將D點坐標(4,3)代入方程,得42＋32－8×4＋4×3－5＝0,即點D在此圓上,故A,B,C,D四點在同一個圓上.8.一圓經過A(4,2)和B(－1,3)兩點,且在兩坐標軸上的四個截距之和是2,求該圓的方程.解:設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0),令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0,所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D.同理圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E,由題意知－D－E＝2.①又A,B在圓上,所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0,②1＋9－D＋3E＋F＝0,③由①②③聯立方程組解得D＝－2,E＝0,F＝－12.所以,所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.[高考水平訓練]1.設A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點,PA是圓的切線且PA＝1,則P點的坐標(x,y)滿足的方程是________.解析：由題意知,圓心(1,0)到P點的距離為

,所以點P在以(1,0)為圓心,以

為半徑的圓上,所以點P的坐標(x,y)滿足的方程是(x－1)2＋y2＝2.答案:(x－1)2＋y2＝22.已知圓C:(x－3)2＋(y－4)2＝1,點A(0,－1),B(0,1),設P是圓C上的動點,令d＝PA2＋PB2,則d的最大值及最小值分別為________、________.解析：如圖,設P點坐標為(x0,y0),∴d＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2＝2PO2＋2.問題轉化為求P點到原點O距離的最值,∵O在圓外,∴OPmax＝CO＋1＝5＋1＝6,POmin＝CO－1＝5－1＝4.∴dmax＝2×62＋2＝74,dmin＝2×42＋2＝34.答案:74343.已知曲線C:(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0,(1)當a取何值時,方程表示圓；(2)求證:不論a為何值,曲線C必過兩定點；(3)當曲線C表示圓時,求圓面積最小時a的值.解:(1)當a＝－1時,方程為x＋2y＝0,表示一條直線；當a≠－1時,

2＋

2＝

表示圓．(2)證明:方程變形為x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.對于a取任何值,上式成立,則有

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5)，))∴C過定點A(0,0),B

.(3)由(2)曲線C過定點A.B,在這些圓中,當以AB為直徑時,圓的面積最小(其余不以AB為直徑的圓,AB為弦,直徑大于AB的長,圓的面積也大),從而得以AB為直徑圓的方程:

2＋

2＝

,∴

＝

,

＝

,

＝

,解得a＝eq\f(1,4).4.在平面直角坐標系xOy中,設二次函數f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標軸有三個交點,經過這三個交點的圓記為C.(1)求實數b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經過某定點(其坐標與b無關)?請證明你的結論.解:(1)令x＝0,得拋物線與y軸的交點是(0,b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0,由題意知b≠0且Δ＞0,解得b＜1且b≠0.(2)設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,令y＝0得x2＋Dx＋F＝0,這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程,故D＝2,F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋b＝0,此方程有一個根為b,代入得出E＝－b－1.所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圓C必過定點,證明如下:假設圓C過定點(x0,y0)(x0,y0與b無關),將該點代入圓C的方程,并變形為x

＋y

＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0(*),為使(*)式對所有滿足b＜1且b≠0的b都成立,只需1－y0