PAGEPAGE1第一章綜合訓練一、單項選擇題1.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,向量AB',ADA.有相同的始點 B.等長C.共面 D.不共面2.已知A,B,C,D,E是空間中的五個點,其中點A,B,C不共線,則“存在實數x,y,使得DE=xAB+yAC”是“DE∥平面ABC”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DA.D1B1 C.DB1 D4.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD.M,G分別是BC,CD的中點,則AB+12A.AD B.GAC.AG D.MG5.在四棱錐P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),則這個四棱錐的高h等于()A.1 B.2 C.13 D.266.已知兩不重合的平面α與平面ABC,若平面α的法向量為n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能7.直線AB與直二面角α-l-β的兩個半平面分別交于A,B兩點,且點A,B都不在棱l上,設直線AB與α,β所成的角分別為θ和φ,則θ+φ的取值范圍是()A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90°C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°8.在空間直角坐標系Oxyz中,向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,則下列推斷錯誤的是()A.向量v與z軸正方向的夾角為定值(與c,d之值無關)B.u·v的最大值為2C.u與v的夾角的最大值為3πD.ad+bc的最大值為1二、多項選擇題9.有下列四個命題,其中是真命題的有()A.若p=xa+yb,則p與a,b共面B.若p與a,b共面,則p=xa+ybC.若MP=xMA+yMB,則點P,M,A,B共面D.若點P,M,A,B共面,則MP=xMA+yMB10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),則下列等式中正確的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AB,CC1,A1D1,C1D1的中點,則下列結論正確的是()A.A1E⊥AC1 B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DG D.A1E∥CH12.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,則如下結論正確的有()A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形C.AB與平面BCD所成的角為60°D.AB與CD所成的角為60°三、填空題13.在棱長為a的正四面體A-BCD中,AB·BC+AC14.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),則xy=.

15.設PA與Rt△ABC所在的平面α垂直,∠BAC=90°,PB,PC分別與α成45°和30°角,PA=2,則PA與BC的距離是;點P到BC的距離是.

16.(2024浙江諸暨期中)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1兩兩相互垂直,AB=AC=AA1,M,N分別是側棱BB1,CC1上的點,平面AMN與平面ABC所成的角為π6,當B1M最小時∠AMB=.四、解答題17.如圖所示,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側棱AM的長為3,且AM和AB,AD的夾角都是60°,N是CM的中點,設a=AB,b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量BN,并求BN的長.18.(2024河北保定期中)在空間直角坐標系Oxyz中,已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8).(1)求a·b;(2)求λ,μ的值使得λa+μb與z軸垂直,且(λa+μb)·(a+b)=53.19.已知空間中三點A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且c∥BC,求向量c;(2)已知向量ka+b與b相互垂直,求k的值;(3)求△ABC的面積.20.已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.(1)用向量法證明E,F,G,H四點共面;(2)用向量法證明:BD∥平面EFGH;(3)設M是EG和FH的交點,求證:對空間任一點O,有OM=121.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?22.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3(1)求證:平面PBC⊥平面PQB;(2)當PM的長為何值時,平面QMB與平面PDC所成的角的大小為60°?

第一章綜合訓練1.C向量AB',AD',由該幾何體是平行六面體,知這三個向量的長度不確定相等,B不正確;∵AD'∴AB',AD',BD2.B依據題意,若存在實數x,y,使得DE=xAB+yAC,則DE∥平面ABC或DE?平面ABC.反之,若DE∥平面ABC,則向量DE與AB又由點A,B,C不共線,故確定存在實數x,y,使得DE=xAB+yAC,故“存在實數x,y,使得DE=xAB+yAC”是“DE∥平面ABC”的必要不充分條件.3.D如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=4.C∵M,G分別是BC,CD的中點,∴BM=12BC5.B設平面ABCD的一個法向量為n=(x,y,z),則n不妨令x=3,則y=12,z=4,此時n=(3,12,4),故四棱錐的高h=|AP·n6.A由題意,n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥AB,n1·AC=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量與平面ABC的法向量共線,則平面α∥平面ABC.7.B如圖,分別過點A,B向平面β,α作垂線,垂足為A1,B1,連接BA1,AB1.由已知α⊥β,所以AA1⊥β,BB1⊥α,因此∠BAB1=θ,∠ABA1=φ.由最小角定理得∠BAA1≥θ,而∠BAA1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA1≤90°,當AB⊥l時,θ+φ=90°,應選B.8.B在A中,設z軸正方向的方向向量z=(0,0,t)(t>0),向量v與z軸正方向的夾角的余弦值cosα=z·v|z||∴向量v與z軸正方向的夾角為定值45°(與c,d之值無關),故A正確;在B中,u·v=ac+bd≤a2+當且僅當a=c,b=d時取等號,因此u·v的最大值為1,故B錯誤;在C中,由上可得|u·v|≤1,∴-1≤u·v≤1,∴cos<u,v>=u·v|u||v∴u與v的夾角的最大值為3π4,故C正確在D中,ad+bc≤a2+∴ad+bc的最大值為1,故D正確.9.AC若p=xa+yb,則p與a,b確定在同一平面內,故A為真命題;若p與a,b共面,但假如a與b共線,則p不確定能用a,b來表示,故B為假命題;同理,D也為假命題;若MP=xMA+yMB,則MP,MA,MB三向量在同一平面內,所以點P,M,A,B共面,10.BCDA.等號左邊為向量,右邊為實數,明顯不相等,不正確;B.等號左邊=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右邊=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左邊=右邊,因此正確.C.a+b+c=(3,7,-1),左邊=32+72+(-1)2=59,右邊=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左邊=右邊,因此正確.D.由C可得左邊=59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=59,∴左邊=右邊,因此正確.故BCD正確.11.BCD設正方體的棱長為1,以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,所以A1E·AC1=-12,所以A1E與AC明顯平面ADD1A1的一個法向量v=(0,1,0),有BF·v=0,又BF?平面ADD1A1,所以BF∥平面ADD1A1,故B正確;BF·DG=0,所以BF⊥DG,故CA1E=-CH,又點A1,E,C,H不在同始終線上,所以A1E∥CH,故D12.ABD如圖所示,取BD的中點O,連接OC,OA,CA,由題意易知,BD,OA,OC兩兩垂直,以O為坐標原點,建立空間直角坐標系Oxyz,設正方形ABCD的邊長為2,則D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),AC·BD=0,故AC⊥BD,A又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以△ACD為等邊三角形,B正確.對于C,OA為平面BCD的一個法向量,所以∠ABD為AB與平面BCD所成的角,易得∠ABD=45°,所以AB與平面BCD所成的角為45°,故C錯誤.又cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|=(-1,-113.-a22在棱長為a的正四面體ABCD中,易知AB=BC=a,且AB與BC的夾角為120°,∴AB·BC+AC·BD=a·a14.-2由題中條件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因為(a+2b)∥(2a-b),所以存在λ∈R使得a+2b=λ(2a-b),即1+2x=λ(2-x),4=3λ所以xy=-2.15.37如圖,作AD⊥BC于點D,∵PA⊥面∴PA⊥AD.∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,連接PD,則PD⊥BC,P到BC的距離PD=7.16.π3以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖所示.不妨設AB=AC=AA1=1,CN=b,BM=a,0≤a≤1,0≤b≤1,則N(0,1,b),M(1,0,a),A(0,0,0),B所以AM=(1,0,a),AN=(0,1,b).設平面AMN的一個法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,此時n=(-a,-b,1),易知平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1).因為平面AMN與平面ABC所成的角為π6所以|cos<m,n>|=|m化簡可得3a2+3b2=1.當B1M最小時,則b=0,BM=a=33所以tan∠AMB=ABBM=133=17.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM?AC)=AD+12[AM-(AD+AB)]=-12AB+12AD+12AM.所以BN=-12a+12b+12c,|BN|2=BN2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c).因為|a|=2,|b|=2,|c|=3,<a,b>=90°,<a,c>=60°,<b,c>=60°,所以18.解(1)因為a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以a·b=3×2+5×1-4×8=-21.(2)取z軸上的單位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).由題意得(所以-4λ+8μ=0,29λ19.解(1)∵B(1,-1,-2),C(3,0,-4),∴BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),∵|c|=3,且c∥BC,∴c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),∴|c|=(2m)2∴m=±1,∴c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由題得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),∴ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),∵向量ka+b與b相互垂直,∴(ka+b)·b=1-k+4=0,解得k=5.∴k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos<AB,AC>=AB·sin<AB,AC>=1-110=310,∴S△ABC=12×|AB|×|20.證明(1)如圖,連接BG,由題意可知,BD=2EH,BC=2BF,則EG=EB+BG=EB+12(BC+(2)因為EH=AH?AE=12AD?12AB=12(AD?AB)所以BD∥平面EFGH.(3)連接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=同理FG=所以EH=所以EH∥FG,EH=FG,所以EG,FH交于一點M且被點M平分,所以OM=12(OE+OG)=12121.證明(1)如圖,連接A1E,取BC中點M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC的中點,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM.則點A1,B1,M,E四點共面.故DE?平面A1B1ME.又在側面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.(2)∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,∴AC2=8,則AB⊥BC.如圖,以B為原點,BA,BC,BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則B(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).則EF=(-1,1,1),設DB1=t,0≤t≤2,則D(t,0,2),ED=(t-1,-1,2).則平面BB1C1C的一個法向量為m=(1,0,0),設平面DEF的一個法向量為n=(x,y,z),∴EF令x=3,此時n=(3,1+t,2-t).則cos<m,n>=3(設平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的大小為θ,則s