【材料一】若三個非零實數x,y,z中有一個數的平方等于另外兩個數的積，則稱三個實數x,y,【材料二】若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x,x?,則有：(1)實數4,6,9可以構成“友好數”嗎?請說明理由；標y,y?,y?構成“友好數”,求實數t的值；(3)設三個實數x?,x?,x?是“友好數”且滿足0<x<x?<x?,其中x,x?是關于x的一元二次方程是拋物線y=ax2+bx+da≠0)與x軸的一個交點的橫坐標.①a+b+c的值等于;②求y關于x的函數關系式.【答案】(1)4,6,9可以構成“友好數”,理由見解析(3)①0,②y=x2-x-1【分析】(1)根據“友好數”的定義即可得出4,6,9可以構成“友好數”;(3)①由三個實數x?,X?,x?是“友好數”且滿足0<x<x?<x?,其中x,x?是關于x的一元二次方程②由①得1;從而進而求得求y關于x的函數關系式.解：∵62=4×9,∴4,6,9可以構成“友好數”;①y2=y?y?,由題得x2=x?X?,即t2=(t-1)(t+1),②y2=y?y?,由題得x2=x?x?,即(t-1)2=t(t+1),無解.●解得●解得∴滿足條件的或①∵三個實數x,x?,x3是“友好數”且滿足0<x?<x?<x?,其中x?,x?是關于x的∵x?是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的一個交點的橫坐標，.a+b+c=0,故答案為0;②由①得a+b+c=0,兩邊同除以a,得即函數關系式為：y=x2-x-1.【點睛】本題主要考查了二次函數的解析式，一元二次方程根與系數的關系以及新定義，正確理解新定義是解題的關鍵。2.如圖，拋物線x軸于A,B兩點(A在B的左側),其中B(2√3,0),與y軸交于點C(0,-4).(1)求拋物線的解析式；(2)直線BD與y軸交于點D,且∠ABD=30°,點M是拋物線上在第三象限的一動點，過M作MP1/y軸，交直線BD于點P,MQ⊥BD于點Q,求√3MQ+PQ的最大值及此時M點的坐標；(3)將拋物線沿射線DB方向平移4個單位得到新拋物線y,,新拋物線y?與原拋物線交于點E,在新拋物線y,的對稱軸上確定一點F,使得△BEF是以BE為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標。【答案】(1);【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可；(3)求出平移后的函數解析式,再求出點設F(√3,m),分兩種情況討論：當BE=BF時和當BE=EF時，根據邊長相等列出方程求出m的值即可.解設直線BD的解析式為y=kx+b,則 ∵拋物線沿射線DB方向平移4個單位，∴拋物線沿x軸正方向移動2√3個單位，沿y軸向下平移2個單位，拋物線y?的解析式2;·2;·:5或【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵交于點C.點D(2,3)在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點E,點F是拋物線上的動點.(1)如圖1,若拋物線經過點A、B兩點.①該拋物線的對稱軸為為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點F的坐標；(2)如圖2,若此拋物線經過點D,且與線段AD有兩個不同的交點，則a的取值范圍是(2)a>0且或a≤-1(2)將點D坐標代入解析式可得a與b的關系，從而可得拋物線對稱軸及頂點坐標，分類討論拋解：①把點A(-1,0),點B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：把點A(-1,0),D(2,3)代入得：∴點E的坐標為(0,1),"".FH//CE,∵以C、E、H、F為頂點的四邊形為平行四邊形，;解：∵點D(2,3)在拋物線上，∴拋物線的對稱軸為直線由(1)得：直線AD的解析式為y=x+1,令ax2-2ax+3=x+1,時，拋物線與直線AD有一個交點，當a增大時，拋物線頂點向下移動，拋物線開口變小，符合題意；9當a<0時，拋物線開口向下，當拋物線經過點A時，由(1)可得a=-1,當a減小時，拋物線頂點向上移動，開口變小，符合題意，綜上所述，a的取值范圍是a>0或a≤-1.故答案為：a>0且【點睛】本題屬于二次函數綜合題，主要考查待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質與判定，數形結合思想等內容，解題的關鍵是掌握二次函數與方程的關系，掌握二次函數圖象與系數的關系。4.如圖，已知拋物線y=0.5x2+bx+c與直線y=0.5x+3相交于A,B兩點，交x軸于C,D兩點，連接AC,BC,已知A(0,3),C(—3,0).(2)在拋物線對稱軸1上找一點M,使|MB一MD|的值最大，并求出這個最大值；(3)點P為y軸右側拋物線上的一動點，連接PA,過點P作PQLPA交y軸于點Q,是否存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(3)在點P(1,6)【分析】(1)根據待定系數法求函數解析式即可；(2)根據對稱性可得MC-MD,再解方程組可得B點坐標，然后根據兩邊之差小于第三邊可得B,C,M共線，最后根據勾股定理即可解答；x的方程，然后解方程可求得x,最后根據自變量與函數值的對應關系即可解答.解：將A(0,3),C(-3,0)解代入函數解析式，得解：如圖：∵點D與點C關于對稱軸對稱，∴對1上任意一點有MD=MC,∴當點B,C,M共線時，MB-MD|取最大值，即為BC的如圖：過點B作BE⊥x軸于點E,在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=√BE2+CE2=√2,∵在Rt△BEC中，在Rt△ACO中，∴∠ACB=180°-45°-45°=90°,如圖：過點P作PG⊥y軸于G點，∠PGA=90°,設P點坐標為)(x>0)解得x=1,x=0(舍去),∴P點的縱坐標∴此時無符合條件的點P.綜上所述，存在點P(1,6).【點睛】本題屬于二次函數綜合題，主要考查了利用待定系數法求函數解析式、二次函數與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質等知識點，靈活應用相關知識并掌握分類討論思想是解答本題的關5.(山東·沂水縣沂新中學九年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系x0y中，已知A點坐標為(-4,0),C點坐標為(0,2),拋物線y=ax+bx+c的對稱軸是且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B.(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線表達式；(2)在對稱軸上是否存在點Q,使得△QBC的周長最小?若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由.(3)若點P為直線AC上方拋物線上的一點，連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標.(3)SPAc最大值為4,此時P(-2,3)【分析】(1)由A,B關于對稱軸對稱，即可求得B點坐標，將A,B,C代入解析式即可求得答案.(2)A,B關于對稱軸對稱，當A,Q,C共線時C△sc最小，求直線AC與對稱軸交點即可得到Q點坐標.··取最大值時點P坐標.··解：①∵A,B關于直線對稱，且A(-4,0)②∵拋物線與x軸交于點A(-4,0),B(1,0)把C(0,2)代入解析式所以拋物線解析式為：解：存在Q使得△QBC的周長最小∵Q在對稱軸上，A,B關于對稱軸對稱∴當Q在直線AC與對稱軸交點時，C△OBc最小值解：過P作y軸的平行線，交直線AC于點H=2PH∴開口向下;·;·【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，包含將軍飲馬線段和最小、面積最值問題.掌握將軍飲馬模型、線段和面積最值問題解決方法是解題關鍵。(1)求拋物線頂點Q的坐標(用含a的代數式表示);(2)已知直線y=2x+m與拋物線交于M、N兩點.求線段MN長度的取值范圍；②記△QMN面積為S,求S與a的函數關系式，并求出S的最小值.【答案】(1)(2)①5√5≤MN≤7√5;【分析】(1)把點M的坐標代入解析式得出b=-2a,再將b=-2a代入原解析式進行配方得出：最后求出點Q的坐標；(2)①根據直線解析式先求出m的值，然后再求得點N的坐標，再利用勾股定理可求出MN的值，最后利用二次函數性質得出MN的長度的范圍；②作直線交直線y=2x-2于點E,可求得點E的坐標，再利用以含a的式表示出△QMN的面積，最后整理成關于a的一元二次方程，再利用根的判別式可得出其面積的取值范圍，最后得出結果.所以拋物線頂點Q的坐標為①因為直線y=2x+m過點M(1,0),所以0=2×1+m,與拋物線y=ax與拋物線y=ax2+ax-2a,消去y可得：ax2+(a-2)x-2a+2=0①,所以a<0,b>0,所以方程①兩邊同時除以a得：;因為N在直線y=2x-2上，所以所以線段MN長度的取值范圍：5√5≤MN≤7√5,②如圖，作直線交直線y=2x-2于點E,可得點E的坐標為所以27a2+(8Sown-54)a+24=0所以△=(8Sown-54)2-27×4×24≥0,所以(8Soww-54)2≥(36√2)2,因為a<0,所以8Soww-54≥36√2,所以可得又因為b=-2a,所以所以;7.(湖北·武漢市光谷實驗中學九年級階段練習)如圖，已知拋物線的頂點M(0,4),與x軸交(2)如圖1,點C(0,2),P為拋物線上一點，過點P作PQ//y軸交直線BC于Q(P在Q上方),再過點P作PR//x軸交直線BC于點R,若△PQR的面積為2,求P點坐標；(3)如圖2,在拋物線上是否存在一點D,使∠MAD=45°,若存在，求出D點坐標，若不存在，請說明理由.【分析】(1)先設出拋物線的頂點式，再代入點A的坐標，即可得出拋物線的解析式；(2)由頂點M(0,4),A(-2,0)可得B(2,0),則OC=OB,可得∠OCB=∠OBC=45°,根據可得NE=NF,設N(n,-n+2),則n=-n+2,求出n=1,可得N(1,1),求出直線AN的解析式聯立y=-x2+4即可求解.解得a=-1,解得：m=1或0(舍去),過點M作MN⊥AD于N,過點N分別作NE⊥y軸于E,NF⊥x軸于F,設N(n,n),則ME=4—n,AF=n解∴直線AN的解析式為解得：(舍去)∴D點坐標為【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查待定系數法求函數解析式，三角形的面積，二次函數的性質等，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質知識點，熟練掌握待定系數法求函數解析式及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.8.(廣東·廣州市第二中學九年級階段練習)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，A(,0),B(0,2),的圖象經過點C.以AB為邊向右作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,二次函數的圖象經過點C.圖1備用圖圖1(1)求二次函數的解析式；(2)平移該二次函數圖象的對稱軸所在的直線1,若直線l恰好將△ABC的面積分為1:2兩部分，請求出直線l平移的最遠距離；(3)將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折，得到VABC,那么在二次函數圖象上是否存在點P,使為直角邊的直角三角形?若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)【分析】(1)過點C作KC⊥x軸交于點軸交于點K,證明△ABO≌△CAK(AAS),可得點C的坐標，將點C的坐標代入二次函數表達式，可求出b的值，即可確定二次函數的解析式；(2)由(1)可知二次函數的對稱軸為直線并由圖可知，當對稱軸1將△ABC的面積分為左部分比右部分=2:1時，直線l平移的距離最遠，設此時直線1分別交邊BC、AC分別為點M、N,把點B、C的坐標代入一次函數表達式：y=kx+2,可確定直線BC的表達式，同理可得直線AC的表達式，設點M的坐標點N坐標1≤t<3,直線l恰好將△ABC的面積分為1:2兩(3)將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折180°,點B的坐標為(2,-2),①當∠PCB'=90°時，線表達式聯立可求出點P的坐標，②當∠CB'P=90°時，點P為經過點B且與直線BC平行的直線與拋物線的交點，與拋物線表達式聯立可得點P的坐標。解：過點C作KC⊥x軸交于點軸交于點K,又∠AOB=∠AKC=90°,AB=AC,∴OB=AK=2,AO=CK=1,故點C的坐標為(3,1),將點C的坐標代入二次函數表達式得：;當對稱軸1將△ABC的面積分為左部分比右部分=2:1時，直線l平移的距離最遠設此時直線1分別交邊BC、AC分別為點M、N,把點B、C的坐標代入一次函數表達式：y=kx+2得：1=3k+2,同理可得直線AC的表達式為：設點M的坐標點N坐標為1≤t<3,直線l恰好將△ABC的面積分為1:2兩部分，令∴直線1平移的距離最∵∠BCB'=90°,故點P為直線BC與拋物線的另外一個交點，解得：9故點P的坐標為②當∠CB'P=90°時，點P為經過點B且與直線BC平行的直線拋物線的交點，9故點P的坐標為(-1,-1)【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.9.如圖，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.(2)若點P(x,b)與點Q(x?,b)在該拋物線上，且x?<x?,PQ=m.②將拋物線在直線PQ下方的部分沿PQ翻折，拋物線其它部分保持不變，得到一個新圖像，若這個新圖像與x軸恰好只有兩個公共點時，求b的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)①4x2-2x?m+6m+3=7;②b的取值范圍是b=0或-4<b<-2【分析】(1)根據拋物線的解析式，確定點B、點C的坐標，結合坐標與線段的關系判定即可.(2)①根據拋物線的對稱軸為x=1,點P(x,b)與點Q(x?,b)對稱點，PQ=m,用m分別表示x,x?,后代入被求式計算即可.②當b=0時，拋物線與x軸有兩個交點，符合題意；當b>0時，翻折后拋物線都在x軸的上方，新圖像與x軸沒有交點；當b<0時，b=-2時，翻折的圖像頂點恰在x軸山，此時圖像與x軸有三個交點，不符合題意，故b<-2;因為P是拋物線上的點，結合拋物線的頂點坐標，確定b>-4,從而確定b的取值范圍.令y=0,得x2-2x-3=0,解得x?=-1,x?=3.∴點B(3,0),令x=0,得y=-3,∴點C(0,-3),..OB=0C.·當b<0時，直線PQ在x軸下方，由題意知，拋物線的頂點為(1,-4),b=-2時，翻折的圖像頂點恰在x軸上，此時圖像與x軸有三個交點，故b<-2;因為P是拋物線上的點，所以b>-4,.-4<b<-2.物線的性質和拋物線與折疊的關系是解題的關鍵.10.如果拋物線C?的頂點在拋物線C?上，拋物線C?的頂點也在拋物線C上，且拋物線C與C?的頂點不重合，那么我們稱拋物線C?與C?是“互為關聯”的拋物線.(1)請你根據以上信息，判斷以下三種說法是否正確，在題后相應的括號內，正確的打“√”,錯誤②與拋物線y=-x2是“互為關聯”的拋物線有且只有一條.()③若兩條拋物線是“互為關聯”的拋物線，則這兩條拋物線的二次項系數互為相反數.()(2)已知拋物線C?:y=x2-2x-3,拋物線C與C?是“互為關聯”的拋物線，且拋物線C與C?關于(3)已知拋物線C:y=x2+2bx+c的頂點為點A,與x軸交于點M、N,拋物線C?:y=-x2+2cx+b的段AB的長.(3)AB=2√3(2)先求出拋物線C?的頂點坐標(1,-4),再根拋物線C?與C?關于點P(m,4)中心對稱可得C?頂點坐MN2=(-2b)2-4c=4b2-4c,PQ2=(2c)2+4b=4c2+4b,再由MN=PQ可得出4b2-4c=4c2+4b,即可得(b+c)(b-c-1)=0,再根據當b+c=0時和當b-c-1=0兩種情況討論即可.①拋物線y=-x2的頂點坐標為(0,0),拋物線y=x2-2x=(x-1)2-1,頂點坐標是(1,-1),當將x=0代入y=x2-2x得y=0,將x=1代入y=-x2得y=-1,MN2=(-2b)2-4c=4b2-4c,PQ2=(2c)2+4b=4c2+4bAB2=(b+c)2+(c2+b+b2-c)2=(b+c)2+(c2+b2+2bc)2=(b+c)2+(b+c)?當b-c-1=0,即b-c=1時，2bc=b-c=1,:AB2=12,AB=2√3【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的頂點坐標的求解方法，解決本題的關鍵是要注意數形結合思想與分類討論思想的應用.11.(湖北·武漢七一華源中學九年級階段練習)如圖1,已知拋物線C:y=x2+bx+c與直線y=.交于M(m,4)、n)兩點(M在N的左側).(1)求拋物線的解析式；(2)在直線MN的上方的拋物線上有一點C,若求點C的坐標；(3)如圖2,將拋物線C?平移后得到新的拋物線C?,C?的頂點為原點，P為拋物線C?第一象限內任意一點，直線與拋物線C?交于A、B兩點，直線y=2與y軸交于點G,分別與直線PA、PB交于E、F兩點.若EF=5GF,求點P的橫坐標.【答案】(1)y=x2-x-2或(4,10)【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可；(2)過點C作CG//y軸交MN于點G,設C(t,t2-t-2),則9即可求出點C的坐標；(3)先求平移后的函數解析式為y=x2,設P(t,t2)(t>0),聯立方程組，分別求出A(-2,94),B)再由待定系數法分別求出直線PA的解析式、直線PB的解析式，可求92),從而建立方程求解即可.解：將M(m,4)代入解得m=-2,9代入y=x2+bx+c,解：過點C作CG//y軸交MN于點G,或(4,10);聯立方程·●·●解∵直線y=2與y軸交于點G,設直線PA的解析式為y=kx+b,∴直線PA的解析式為y=(t-2)x+2t,同理可求直線PB的解析式為2),,2),.EF=5GF,∴P點橫坐標為3.【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，用待定系數法求函數的解析式，拋物線平移的性質是解題的關鍵12.(1)數學興趣小組同學將制作的Rt△ACB和Rt△DCE擺放成如圖①所示的位置，且CA=CB,CD=CE,則AD和BE的數量關系為；①②③連接AD、BD.小組同學發現無論α為何值，∠ADB的大小不變，請你計算這個定值，并寫出計算(3)在第(2)問的基礎上，在圖③中作∠BCD的平分線CE交BD于點F,交DA的延長線于點E,連接BE.用等式表示線段AD、CE、BE之間的數量關系；并證明.【答案】(1)AD=BE,理由見解析；(2)∠ADB=45°,過程見解析；(3)√2CE+AD=2BE,證明見解析【分析】(1)只需要利用SAS證明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE;;(3)如圖所示，將△ACE繞點E旋轉90度得到△BCM,設CE=a,EF=b,由(2)得BC=CD,根據三線和一定理得到CE垂直平分BD,則BE=DE,∠EFD=∠EFB=90°,BF=DF,證明△BFE≌△DFE進而【解析】解：(1)AD=BE,理由如下：(2)∠ADB=45°,過程如下：.AC=BC,(3)√2CE+AD=2BE,理由如下：如圖所示，將△ACE繞點E旋轉90度得到△BCM,設CE=a,EF=b,∴CE垂直平分BD,.EF=EF,∴∠EBC+∠MBC=180°,即E、B、M三點共線，在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE=√EF2+DF2=√2EF=√2b,∴AE=BM=EM-BE=√2a-√2b,∴√2CE+AD=√2a+2√2b-√2a=2√2③EN.(3)如圖3,若點M在DB的延長線上，N在BD的延長線上，且∠MAN=135°,AB=√6,MB=√3,求DN.(2)MN2=DN2+BM2,證明見解析(3)DN=2√3.【分析】(1)如圖1,作輔助線，構建全等三角形，根據HL證明Rt△AGN≌Rt△NKE(HL),從而可∴∠ANG+∠ENK=90°,∴∠MAN=∠HAN=45°,且AMFAH,AN=AN,,∠ABK=∠ADMF45°,.∠NBK=45°+45°=90°,.∴△AKN≌△AMN(SAS),【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識點，添加恰當輔助線是本題的關鍵.14.在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(0,2),△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個動點(不與0點重合),將線段AP繞A點按逆時針旋轉60°,P點的對應點為點Q,連接0Q,BQ圖②圖②(1)點B的坐標為(2)①如圖①,當點P在x軸負半軸運動時，求證：∠ABQ=90°;軸正半軸運動時，①中的結論是否仍然成立?請補全圖②,并作出判斷(不需要說明理由);(3)在點P運動的過程中，若△0BQ是直角三角形，直接寫出點P的坐標.【答案】(1)(3,1)(2)①見解析；②補全圖②見解析，成立【分析】(1)過點B作BC⊥x軸，由等邊三角形的性質可知OB=OA=2,∠AOB=60°,從而可求出∠BOC=30°,再由含30度角的直角三角形的性質結合勾股定理可求出BC=1,OC=√3,從而得出(2)①由旋轉的性質可知AP=AQ,∠PAQ=60°,根據等邊三角形的性質可知AO=AB,∠OAB=60°,從而可求出∠PAQ=∠OAB=60,進而可求出∠PAO=∠QAB,即易證△PAO≥△QAB(SAS),得出∠AOP=∠ABQ=90°;②由題意畫圖即可，由①同理可證△PAO≥△QAB(SAS),即得出時，此時點P在x軸負半軸，結合含30度角的直角三角形的性質，勾股定理和全等三角形的性質即可求出答案.解：如圖，過點B作BC⊥x軸，∵點A的坐標為(0,2),△ABO為等邊三角形，∵△ABO為等邊三角形，當點P在x軸負半軸運動時，當點P在x軸正半軸運動時，綜上可知∠OBQ≠90°,故可分類討論：①當∠QOB=90°時，如圖，此時點P在x軸負半軸，【點睛】本題考查坐標與圖形，等邊三角形的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識.利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵。15.(湖北·武漢二中廣雅中學九年級階段練習)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D為平面內的一點.圖1(1)如圖1,當點D在邊BC上時，BD=2,且AD=2,則AB=(2)如圖2,當點D在△ABC的外部，且滿足∠BDC-∠ADB=45°,請你證明線段CD與AD的數量關(3))如圖3,若AB=4√2,當D、E分別為AB、AC的中點，把△DAE繞A點順時針旋轉，設旋轉角為α(0<α≤180°),直線BD與CE的交點為P,連接PA,直接寫出△PAB面積的最大值【答案】(1)3+1:【分析】(1)將△ABD沿AB折疊，得到△ABE,連接DE交AB于F,由折疊的性質可知△ABD≌△ABE,AB垂直平分DE,進一步可證明△BDE是等腰直角三角形，求出,證明△ADE是等邊三角形，進一步求出AF=√3,即可求出AB=AF+BF=√3+1;(2)過點A作AE⊥AD,且AE=AD,連接DE、CE,CE交BD于0,AC與BD交于點H,證明△BAD≌△CAE(SAS),得到∠ABD=∠ACE,再證明△ADE是等腰直角三角形，得到ED=√2AD,證明△DOC≌△DOE(ASA),得到CD=DE,即可證明CD=√2AD;(3)過點P作PG⊥AB于點G,當直線CE與該圓相切于點E時，△PAB的面積最大，求出PG的最大值即可求出答案.解：如圖1,將△ABD沿AB折疊，得到△ABE,連接DE交AB于F,∵將△ABD沿AB折疊，得到△ABE,∴△ABD≌△ABE,AB垂直平分DE,.AE=AD=2,BE=BD,∠ABE=∠ABD=45°,∠BAD=∠BAE,∴AF=√AD2-DF2=√22-12=√3,圖2.AE⊥AD,解：過點P作PG⊥AB于點G,如圖3,圖3∵△DAE繞A點順時針旋轉，設旋轉角為α(0<α≤180°),..PD//AE,..DPLCP,∴△PAB面積的最大值【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，旋轉的性質，折疊的性質，作出輔助線是解本題的關鍵。16.已知⊙0的直徑AB為10,D為⊙0上一動點(不與A、B重合),連接AD、BD.(1)如圖1,若AD=8,求BD的值；(2)如圖2,弦DC平分∠ADB,過點A作AE⊥CD于點E,連接BE.①當△BDE為直角三角形時，求BE的值；:BD=√AB2-AD2=√102-82=6;故BD的值為6.當∠DBE=90°時，如圖3,:BE=BD,,,::AD=√AE2+DE2=√2DE=2BE,AD2+BD2=AB2即(2BE)2+BE2=102,解得BE=2√5(BE=-2√5舍去)②在點D的運動過程中，BE存在最小值，解答如下：:AC=√AO2+CO2=√52+52=5√2,∠OAC=45°,9∵BE≥BF-EF(當且僅當點E在線段BF上時等號成立),9即9:BE的最小值是【點睛】此題是一道圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質、三角形中邊的關系等知識，熟練利用這些性質進行邏輯推理和運用分類的思想方法是解此題的關鍵。17.(甘肅·西和縣漢源鎮初級中學九年級期末)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4cm,動點P從點B出發，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向點D運動；動點Q從點A出發，以1cm/s的速度沿A→B方向，向點B運動.若P、Q兩點同時出發，運動時間為t秒.(1)連結PD、PQ、DQ,設△PQD的面積為S,試求S與t之間的(2)當點P在BC上運動時，是否存在這樣的t,使得△PQD是以PD為一腰的等腰三角形?若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；(3)以點P為圓心，作OP,使得OP與對角線BD相切.問：當點P沿B→C→D運動時，是否存在這樣的t,使得OP恰好經過正方形ABCD的某一邊的中點?若存在，請直接寫出符合條件的t的值.【分析】(1)根據正方形的性質和面積公式，利用割補法即可求解；(2)根據勾股定理、等腰三角形的性質得出一元二次方程，分情況討論以PD為腰的等腰三角形即可說明.(3)分點P在BC上運動時經過BC的中點或經過CD的中點，點P在CD上運動時經過BC的中點或經過CD的中點幾種情況求解，即可求出t的值.①當0≤t≤2時，即點P在BC上時，=t2—2t+8.②當2<t≤4時，即點P在CD上時，DP=8—2t.①若PD=QD,解得t=—4±4√2,其中t=—4—4√2<0不合題意，舍去，或t=—4+4√2時，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形.若OP經過BC的中點E,設⊙P切BD于M.若OP經過CD的中點E,設圓的半徑為r,則CP=4-2t,PM2=PE2=(4-2t)2+22.因為BP=√2PM,即BP2=2PM2.解得t=4-√6,t=4+√6(舍去)若OP經過BC的中點E,設⊙P切BD于M.則CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22.解得t=±√6,負值舍去，若⊙P經過CD的中點E,設圓的半徑為r,則DP=2-r,直徑作圓，記作⊙D.(3)在拋物線對稱軸上是否存在點P,若將線段CP繞點P順時針旋轉90°,使C點的對應點C恰好落在拋物線上?若能，求點P的坐標；若不能，說明理由.的坐標為(3,1)或(3,3)(2)連接CM,CD,MD,利用勾股定理逆定理得出CM⊥CD,由切線的判定定理即可證明；據矩形的判定和性質及全等三角形的判定和性質得出C'(3+4-k,3+k),代入拋物線求解即可.解：∵拋物線∴拋物線的解析式為解得x?=8,x?=-2,連接CM、CD、MD,如圖所示，由拋物線的解析式得、C(0,4),D(3,0),,CD2=(4-0)2+(0-3)2=25,假設存在點P,設點P(3,k),過點C作CG⊥對稱軸MD,過點C作CH⊥對稱軸MD,則PD=k,∴C'(CG+CH,HP+PD),即(3+4-k,3+k),解得k=1或k=3,∴P(3,1)或(3,3).19.(福建省福州第十九中學九年級階段練習)如圖，點P是等邊三角形ABC中AC邊上的動點點F.=60°,即可解答；BF=EF+EC,理由如下：在△JPC和△APB中，【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定與性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，等邊三角形的性質，圓內接四邊形的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線構造全等三角形是解題的關鍵。20.已知，在平面直角坐標系中，A點坐標為(0,點坐標為(2,0),以A點為圓心0A為半徑作⊙A,將△AOB繞B點順時針旋轉α角(0°<a<360°)至△AOB處。(1)如圖1,mF4,a=90°,求O′點的坐標及AB掃過的面積；(2)如圖2,當旋轉到A、O、A三點在同一直線上時，求證：OB是⊙0的切線；(3)如圖3,m=2,在旋轉過程中，當直線BO與⊙A相交時，直接寫出α的范圍。【答案】(1)O′(2,2),AB掃過的面積為5π(2)見解析【分析】(1)先判斷出旋轉后OBLx軸，從而得出點0的坐標，進而判斷出是AB掃過的面積是(2)先判斷出△AO'B≌△A'O'B.即可得出AO'=A'O',進而得出AO'=OA即可得出結論；(3)找出BO'與OA相切時旋轉角的度數即可確定出范圍.由旋轉知，O'B=OB=2,B(0,2),21.已知：△ABC,點D是△ABC的外接圓上一點(不與A,B,C重合),過A作射線AE,AF,且圖4(1)當∠A=90°時，在圖1中補全圖形并直接寫出∠MAN的度數；(2)在圖2中，當D在△ABC的外接圓上移動過程中，探索∠BAC和∠MAN的關系并直接寫出你的探(3)圖3中請你探索AP與BC的數量關系，并證明你的結論；(4)小逸同學在探索題目過程中，不小心把一些畫圖痕跡給破壞掉了，只留下如圖4所示的四邊形BC兩側，你能幫他找出點A的位置并求出AP的長度嗎?【答案】(1)圖見解析，∠MAN=90°(3)證明見解析【分析】(1)根據已知補全圖形即可，根據平行線性質和同圓中，同弧所對的圓周角相等，即可得∠CAF=∠BAE,從而可得∠MAN=90°;(2)分兩種情況：當D在弦BC上方的圓上時，畫出圖形可得∠MAN=∠BAC;當D在弦BC下方的圓上時，可得∠MAN+∠BAC=180°;(3)延長MA到K,使AK=AM,連接NK,AP,由三角形中位線定理可得,證明△BAC≌△(4)根據AM=AB,AN=AC可知BM的垂直平分線、CN的垂直平分線的交點即為A,過N作NR⊥BM由含30°的直角三角形三邊關系可求出CT=SR=7√3,BT=BR-RT=9-6=3,從而可得BC=√BT2+CT2=2√39,即可得AP=√39..AF//CD,BD//AE,AF//CD,BD//AE,當D在弦BC下方的圓上時，如圖：.AF//CD,.AC=AN,NR=1MN=√3,RM=√3RM=3,∠MNR=90°-∠MMR=60°,,MS=√3CS=6√3,.BT