2023—2024學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期末考試卷考試范圍：選擇性必修第二冊(cè)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.在等比數(shù)列中，，則（）A.2 B.4 C.8 D.162.已知函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.43.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈盞數(shù)（）A.9 B.6 C.3 D.24.若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，則的值為（）A.2 B.4 C. D.5.已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.使得成立的最小自然數(shù)是20C. D.二、多選題9.下列運(yùn)算正確的有（）.A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B.是的極值點(diǎn)C.存在零點(diǎn) D.在上單調(diào)遞減11.任取一個(gè)正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)“角谷猜想”等）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），（）.若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.或16 B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.13.已知數(shù)列滿足，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)_____.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，若時(shí)，，且，則不等式的解集為_(kāi)_____.四、解答題15.已知函數(shù)（，）在處取得極小值為1.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.18.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）設(shè)函數(shù)（），討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19.微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；（2）若，，求證：函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；（3）若，，，，，且，求證：.

高二數(shù)學(xué)期末考試參考答案1.C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，得.故選：C2.B【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式和極限公式即可求解.【詳解】，則.故選：B.3.C【分析】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，依題意，，解得，故選：C4.A【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及等比數(shù)列性質(zhì)求出.【詳解】數(shù)列中，由，知，，則，又，于是，而，所以.故選：A5.A【分析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過(guò)已知條件研究的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵是奇函數(shù)，，∴在上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.6.B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于的不等式組，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋羁傻没颍ㄉ幔?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：B7.D【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)（），然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小即可【詳解】，，令（），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕怨蔬x：D8.C【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列單調(diào)遞減且，，，由通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可判斷A，由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)為遞減數(shù)列即可判斷C，由，的關(guān)系及，的符號(hào)可判斷D.【詳解】由公差為，可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列且，，對(duì)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋裕裕蔅錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋遥杂梢淮魏瘮?shù)單調(diào)性知為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，故C正確；對(duì)D，由B知，且，所以，因?yàn)椋簦瑒t，且，即，即，而，，顯然矛盾，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C9.BC【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋蔄不正確；對(duì)于B：因?yàn)椋蔅正確；對(duì)于C：因?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D：因?yàn)椋蔇不正確.故選：BC.10.AD【分析】先求出函數(shù)的定義域，即可判斷C；求導(dǎo)，令，即可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)及極值點(diǎn)的定義即可判斷BD.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于C，對(duì)任意的，，C錯(cuò)誤；對(duì)于A，，且，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，故AD正確，B錯(cuò)誤.故選：AD.11.ABD【分析】先根據(jù)的奇偶性求出，再根據(jù)的奇偶性即可求出，即可判斷A；分類(lèi)討論，求出數(shù)列的周期，進(jìn)而可判斷BCD.【詳解】因?yàn)椋伞氨⒉孪搿笨傻茫偃魹榕紨?shù)，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，解得（舍去），②若為奇數(shù)，則，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當(dāng)時(shí)，由，得，，，，，所以數(shù)列從第三項(xiàng)起是以3為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，由，，，，，，，，所以數(shù)列從第三項(xiàng)起是以3為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋裕C上所述，，或4742，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)列從第三項(xiàng)起是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD.12.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，進(jìn)而得到切線方程.【詳解】已知函數(shù)，則，且，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.13.【分析】根據(jù)可得，再結(jié)合單調(diào)遞增以及等比數(shù)列定義可求出，則由即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以即，則的取值范圍為，故答案為：.14.【分析】求出函數(shù)在的單調(diào)性，且是偶函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，因此，從而在上單調(diào)遞增，又是上的偶函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以，即是上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由于，因此，又即，即，所以，故由的單調(diào)性和偶函數(shù)特點(diǎn)可知，因此的取值范圍為.故答案為：.15.（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的極值求，.（2）由（1）得，利用導(dǎo)數(shù)分析在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出值域.【詳解】（1）由題設(shè)，函數(shù)（，）在處取得極小值為1，則，即，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極小值，滿足題意.所以.（2）由（1）得，∴，令，得；令，得或，∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為，，∵，，，，∴函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?16.（1）；（2）.【分析】（1）由題可得，從而求出，，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，采用裂項(xiàng)相消法求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得.，可得，解得.所以.（2），所以17.（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，可得：（），兩式相減化為：（），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.（2）由，利用錯(cuò)位相減法即可得出.根據(jù)關(guān)于單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴（），兩式相減，得，∴（），又當(dāng)時(shí)，，∴為等比數(shù)列，公比為，∴.（2）設(shè)，∴，則，兩式相減，得化簡(jiǎn)得.∵，∴，∴，∴，∴關(guān)于單調(diào)遞增，∴，∴18.（1）單調(diào)性見(jiàn)解析；極大值為1，無(wú)極小值；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，，即可得出的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念即可求解；（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可得的單調(diào)性，作出圖形，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】（1），則，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，且，無(wú)極小值.（2）由題意知，要求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程的根的個(gè)數(shù)，即求直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖，由圖可知當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn).19.（1）4；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得即可；（2）不妨設(shè)，，，則，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，再結(jié)合拉格朗日中值定理證明即可；（3）由拉格朗日中值定理可知只需證明，即證明在上單調(diào)遞減，求出導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，則，因?yàn)闉楹瘮?shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)，則，即，解得（2）當(dāng)，時(shí)，不妨設(shè)，，，則，又，令，則，又，所以恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，所以，所以，由拉格朗日中值定理可知必存在使得，即，又，所以，即函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；（3）當(dāng)，時(shí)，由拉格朗日中值定理知，存在和，使得，，所以只需證明，即證明在上單調(diào)遞減，又，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，令，，則，則在