專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點問題專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其初步應用【微點綜述】圓錐曲線是高中數學的重要研究對象，其中具有相同焦點的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現綜合運用能力，學生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關的結論，通過具體例子說明結論的應用，供同學們復習時參考．一、常用結論【結論1】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結論2】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式得．【結論3】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由結論2得，又．注意到．【結論4】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：．【評注】結論4反映之間的等量關系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結論5】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點三角形面積公式運用面積公式，設橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結論6】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，點是橢圓與雙曲線的一個公共點，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．證明：橢圓在點處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點處的切線，該切線的斜率為，；又由結論1得，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．【結論7】若點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且它們在點處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點．二、應用舉例（一）公共點問題1．已知點，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓與雙曲線的一個交點為，為坐標原點，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，是它們的一個公共點，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．(2023·上海·高三專題練習）3．已知?，設P是橢圓與雙曲線的交點之一，則___________.（三）角度問題4．設橢圓與雙曲線有公共焦點，，是兩條曲線的一個公共點，則等于__________．（四）公共點處切線有關問題5．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為_________________．（五）求離心率的值例5．(2023·云南云南·高二月考）6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．7．若兩曲線在交點處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點處正交．設橢圓與雙曲線在交點處正交，則橢圓的離心率為__________．不難看出，有了以上性質之后，在解決有關共焦點的橢圓與雙曲線的相關問題時，處理起來往往會比較簡便，真正達到“少算、巧算”的目的．當然在具體的題目中，以上性質是否有用，取決于相應的題目條件．在教學過程中我們可以適當引導學生作出相應的歸納總結，如本文中由于經常出現共焦點的橢圓與雙曲線的相關問題，我們不妨將其進行有效地研究與歸納總結，幫助學生提高計算的準確性與方法選擇的恰當性，從而高效地解決問題．（五）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題（六）求（為正常數）型最值問題綜上可知，共焦點的橢圓與雙曲線一般有如下幾類題型：一是求兩離心率之積的取值范圍或最值問題；二是求兩離心率的倒數之和的最大值問題．不論是哪種題型，一般先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理；若求（為正常數）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．8．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定9．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．310．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，例4．（2023·新江寧這育·高二期末）11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共交點，且，若橢圓離心率記為，雙曲線離心率記為，則的最小值為（

）A．25 B．100 C．9 D．36例5．（2023·全國高三專題練習）12．設，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點，它們在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．例6．（2023·河南鄭州市·高三一模（文））13．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例7．（2023·全國高二課時練習）14．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例8．（2023·浙江紹興市·高二期末）15．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為其一個公共點，且，若橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·陜西渭南市，高二期末（理））16．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知、是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2自我檢測(2023·湖北卷）17．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（）A． B． C．3 D．218．已知橢圓，與雙曲線具有相同焦點F1、F2，且在第一象限交于點P，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，若∠F1PF2＝，則的最小值是A． B．2＋ C． D．19．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．（2023·江西南昌市·（理））20．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B． C． D．（2023·江蘇徐州市高二月考）21．已知點，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點為和的一個公共點，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·甘肅省民樂縣第一中學高二期中（理））22．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1（2023·江西高三其他模擬（文））23．已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．（2023·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三開學考試（理））24．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，，為左焦點，為右焦點，P點為它們在第一象限的一個交點，且，設，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．（2023·江蘇省前黃高級中學高二期末）25．，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點，若，且，則___________.（2023·天津靜海區·高二期中）26．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，為與的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．（2023·江蘇省天一中學高三一模）27．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.（2023·江蘇省如皋中學高二月考（文））28．設為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為_________.（2023．湖北（理））29．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值是__________．（2023·浙江嘉興市·高二月考（理））30．設橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個公共點,則的值等于A． B．C． D．（2023·江蘇泰州市·泰州中學高二開學考試）31．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，，點使兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3（2023·江蘇省鎮江第一中學高二期末）32．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．（2023·全國高三專題練習（理））33．若橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩條曲線的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．（2023·陜西漢中市·高三月考（理））35．橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點問題專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其初步應用【微點綜述】圓錐曲線是高中數學的重要研究對象，其中具有相同焦點的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現綜合運用能力，學生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關的結論，通過具體例子說明結論的應用，供同學們復習時參考．一、常用結論【結論1】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結論2】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式得．【結論3】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由結論2得，又．注意到．【結論4】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：．【評注】結論4反映之間的等量關系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結論5】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點三角形面積公式運用面積公式，設橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結論6】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，點是橢圓與雙曲線的一個公共點，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．證明：橢圓在點處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點處的切線，該切線的斜率為，；又由結論1得，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．【結論7】若點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且它們在點處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點．二、應用舉例（一）公共點問題1．已知點，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓與雙曲線的一個交點為，為坐標原點，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，是它們的一個公共點，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．(2023·上海·高三專題練習）3．已知?，設P是橢圓與雙曲線的交點之一，則___________.（三）角度問題4．設橢圓與雙曲線有公共焦點，，是兩條曲線的一個公共點，則等于__________．（四）公共點處切線有關問題5．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為_________________．（五）求離心率的值例5．(2023·云南云南·高二月考）6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．7．若兩曲線在交點處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點處正交．設橢圓與雙曲線在交點處正交，則橢圓的離心率為__________．不難看出，有了以上性質之后，在解決有關共焦點的橢圓與雙曲線的相關問題時，處理起來往往會比較簡便，真正達到“少算、巧算”的目的．當然在具體的題目中，以上性質是否有用，取決于相應的題目條件．在教學過程中我們可以適當引導學生作出相應的歸納總結，如本文中由于經常出現共焦點的橢圓與雙曲線的相關問題，我們不妨將其進行有效地研究與歸納總結，幫助學生提高計算的準確性與方法選擇的恰當性，從而高效地解決問題．（五）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題（六）求（為正常數）型最值問題綜上可知，共焦點的橢圓與雙曲線一般有如下幾類題型：一是求兩離心率之積的取值范圍或最值問題；二是求兩離心率的倒數之和的最大值問題．不論是哪種題型，一般先由結論4或結論5得出的等量關系式，將問題轉化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理；若求（為正常數）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．8．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定9．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．310．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，例4．（2023·新江寧這育·高二期末）11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共交點，且，若橢圓離心率記為，雙曲線離心率記為，則的最小值為（

）A．25 B．100 C．9 D．36例5．（2023·全國高三專題練習）12．設，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點，它們在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．例6．（2023·河南鄭州市·高三一模（文））13．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例7．（2023·全國高二課時練習）14．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例8．（2023·浙江紹興市·高二期末）15．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為其一個公共點，且，若橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·陜西渭南市，高二期末（理））16．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知、是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2自我檢測(2023·湖北卷）17．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（）A． B． C．3 D．218．已知橢圓，與雙曲線具有相同焦點F1、F2，且在第一象限交于點P，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，若∠F1PF2＝，則的最小值是A． B．2＋ C． D．19．設，分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．（2023·江西南昌市·（理））20．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B． C． D．（2023·江蘇徐州市高二月考）21．已知點，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點為和的一個公共點，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·甘肅省民樂縣第一中學高二期中（理））22．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1（2023·江西高三其他模擬（文））23．已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．（2023·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三開學考試（理））24．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，，為左焦點，為右焦點，P點為它們在第一象限的一個交點，且，設，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．（2023·江蘇省前黃高級中學高二期末）25．，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點，若，且，則___________.（2023·天津靜海區·高二期中）26．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，為與的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．（2023·江蘇省天一中學高三一模）27．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.（2023·江蘇省如皋中學高二月考（文））28．設為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為_________.（2023．湖北（理））29．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值是__________．（2023·浙江嘉興市·高二月考（理））30．設橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個公共點,則的值等于A． B．C． D．（2023·江蘇泰州市·泰州中學高二開學考試）31．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，，點使兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3（2023·江蘇省鎮江第一中學高二期末）32．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．（2023·全國高三專題練習（理））33．若橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩條曲線的一個交點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．（2023·陜西漢中市·高三月考（理））35．橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．參考答案：1．分析：設點，根據直線的斜率公式得到；聯立兩方程解出，，即可代入得出答案.【詳解】設點，根據直線的斜率公式得到，聯立方程與消去y，得：，解得，即，代入解得：，即，，故答案為：.2．

1

直角三角形分析：根據橢圓和雙曲線的定義可得，進而根據勾股定理可判斷直角三角形，進而可求面積.【詳解】不妨設在第一象限，為左右焦點，焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可得：，故，又，故可得且，故，因此形狀是直角三角形，以為直角，，故答案為：1；直角三角形.3．6分析：由于橢圓與雙曲線共焦點，利用兩者的定義列出等式求出即可得到答案.【詳解】橢圓和雙曲線分別化為標準方程為、，可知兩曲線共焦點，設，由定義有：或.故答案為：6.4．【詳解】試題分析：，，，則，，考點：1.橢圓定義；2.雙曲線定義；3.余弦定理；5．##分析：依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結合上述性質得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結論6直接得到答案．【詳解】根據結論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．故答案為：.6．分析：設，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，再由余弦定理，可得，與的關系，結合離心率公式，可得，的關系，計算可得所求值．【詳解】設，為第一象限的交點，設橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即為，由雙曲線為等軸雙曲線，所以，可得.故答案為：．7．分析：設橢圓與雙曲線的交點為，聯立兩曲線方程解得的值，再寫出兩曲線在的切線方程及斜率，由解出的值，進而可求橢圓的離心率.【詳解】解：設橢圓與雙曲線的交點為，解方程組，得，橢圓在處的切線方程為，斜率；雙曲線在處的切線方程為，斜率；因為橢圓與雙曲線在交點處正交，所以，所以，即，解得.所以橢圓的離心率.故答案為：.8．C分析：根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a2+m2=2c2，再根據離心率的定義求解．【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m

①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a

②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C【點睛】9．A分析：設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長a2，焦距2c．結合橢圓與雙曲線的定義,得，,在△F1PF2中,根據余弦定理可得到與c的關系式,變形可得的值.【詳解】如圖所示:設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義：，，∴，，設，，則在中由余弦定理得，，∴化簡得，該式可變成．故選A．【點睛】本題考查了橢圓及雙曲線的定義和離心率，考查了余弦定理的應用;涉及圓錐曲線的離心率時,常通過結合圓錐曲線a,b,c的關系式和其他已知條件,轉化只含有a,c的關系式求解.10．A分析：設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，，根據，利用余弦定理得到，進而得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，．設，．．則，，∴，．因為，所以，即．∴，∴，∴，則，當且僅當，時取等號．故選：A．11．A【解析】由橢圓與雙曲線的定義得記，則（橢圓長軸長），，用余弦定理得出的關系，代入和與差后得的關系式，然后用基本不等式求得最小值．【詳解】記，則（橢圓長軸長），（雙曲線的實軸長），又由余弦定理得，所以，即，變形為，所以，當且僅當，即時等號成立．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓與雙曲線的離心率，解題關鍵是掌握兩個軸線的定義，在橢圓中，，在雙曲線中，不能混淆．12．分析：由題意，根據橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據離心率定義以及二次函數的性質，可得答案.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得，，，因為，所以，，，因為，，，所以，則，因為，，由，所以，因此．故答案為：.13．B【解析】求出橢圓焦點得雙曲線焦點，從而得雙曲線的，利用勾股定理和橢圓的定義求得得雙曲線的實軸長，可得雙曲線離心率．【詳解】易知橢圓的焦點坐標為，設雙曲線方程為，則，記，由在橢圓上有，∴，即，，∴雙曲線離心率為．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是利用雙曲線與已知橢圓共焦點，有公共點求出半焦距和半實軸長，注意點橢圓與雙曲線的定義的不同：橢圓中是，雙曲線中是．14．【解析】設點為第一象限內的點，設橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，利用余弦定理、橢圓和雙曲線的定義可得出，進而可得出，結合可求得的值，即可得解.【詳解】設橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，不妨設為第一象限的點，在橢圓中：①，在雙曲線中：②，聯立①②解得，，，在中由余弦定理得：，即即，即，所以，，因為橢圓的離心率，所以雙曲線的離心率，故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．D分析：先設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，不妨設點在第一象限，然后根據橢圓和雙曲線的定義可得，再利用余弦定理列等式，轉化為離心率的等式后，根據基本不等式可求得.【詳解】如圖所示：設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，不妨設點在第一象限，則根據橢圓及雙曲線的定義得，，，所以，，設，，在中，由余弦定理得，化簡可得：，所以，即，由，解得.故選：D16．A分析：設，，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，根據余弦定理可得，利用橢圓和雙曲線的定義，結合離心率的公式，求得結果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，橢圓的離心率為，則，．雙曲線的實半軸長為，雙曲線的離心率為，，，設，，則，當點P被看作是橢圓上的點時，有，當點P被看作是雙曲線上的點時，有，兩式聯立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即雙曲線的離心率為，故選A．【點睛】該題考查的是有關橢圓和雙曲的有關問題，涉及到的知識點有橢圓和雙曲線的定義，新定義，橢圓和雙曲線的離心率，余弦定理，屬于中檔題目.17．A【詳解】試題分析：設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設，橢圓和雙曲線的離心率分別為由余弦定理可得，①在橢圓中，①化簡為即即在雙曲線中，①化簡為即即③聯立②③得，由柯西不等式得即（即，當且僅當時取等號，故選A考點：橢圓，雙曲線的簡單性質，余弦定理18．A分析：首先根據橢圓與雙曲線的定義，得出與所滿足的關系，列出式子，求得邊長，之后借助于余弦定理，求得，之后應用橢圓的離心率與雙曲線的離心率的式子，化簡應用基本不等式求得最小值.【詳解】根據題意，可知，解得，根據余弦定理，可知，整理得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關橢圓和雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有橢圓和雙曲線的定義，余弦定理，橢圓和雙曲線的離心率，基本不等式求最小值的問題，正確理解知識點是正確解題的關鍵.19．B分析：對橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先根據橢圓及雙曲線的定義求出，可得，得，就得到了的關系，最后利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：由題意設焦距為，橢圓的長軸長，雙曲線的實軸長為，不妨令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓的定義，又，故，得，將代入得，∴．故選：B．20．B分析：設為第一象限點，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，根據雙曲線的定義，結合余弦定理可得，再根據基本不等式求解最值即可.【詳解】設為第一象限點，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則.故選：B.21．D【解析】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為,由橢圓與雙曲線的定義和余弦定理,可得,再由求的取值范圍.【詳解】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為,不妨設為第一象限的點,由橢圓與雙曲線的定義得,①,,②,由余弦定理得,③聯立①②③得,由,,得,,,,則,,,,,,又,,.故選:D.【點睛】本題考查橢圓?雙曲線的離心率的范圍,考查余弦定理和定義法的運用,需要一定的計算能力,屬于中檔題.22．B分析：首先設橢圓的方程為，雙曲線方程為，點在第一象限，根據橢圓和雙曲線的定義得到：，，從而得到，，利用余弦定理得到，從而得到，再利用基本不等式即可得到答案。【詳解】設橢圓的方程為，雙曲線方程為，點在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義得：，，解得，，在中，由余弦定理得：，即：整理得：。所以，，即，當且僅當時，等號成立．故，所以的最大值為。故選：B【點睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的離心率，同時考查了基本不等式，屬于中檔題。23．C分析：設，，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結合，解方程即可得答案.【詳解】設，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因為，所以，解得，故選：C.【點睛】方法點睛：在處理焦點三角形問題時，一般要考慮橢圓和雙曲線的定義，注意余弦定理的應用，得到基本量之間的關系，從而轉化為離心率問題，一般此類問題比較靈活，需要基礎扎實，運算能力強.24．B分析：設橢圓的長半軸長為半焦距為,雙曲線的實半軸長為,半焦距為,根據橢圓和雙曲線的定義可得,,然后在焦點三角形中,由余弦定理以及離心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.【詳解】設橢圓的長半軸長為,半焦距為,雙曲線的實半軸長為,半焦距為,根據橢圓的定義可得:,根據雙曲線的定義可得:,兩式聯立解得:,,在焦點三角形中,由余弦定理得:,化簡得:,兩邊同時除以,得:,由柯西不等式得:,即,所以,所以.故選B.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的定義,余弦定理,離心率以及柯西不等式,屬難題.25．【解析】不妨設點在第一象限，設，，在中，由余弦定理可得：，，進而得到，根據范圍可得到結果.【詳解】如圖所示，設橢圓的方程為，半焦距為，雙曲線的方程為，，半焦距為，不妨設點在第一象限，設，，，，，，在中，由余弦定理可得：，，兩邊同時除以，得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線離心率的綜合，通過計算得到是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和邏輯思維能力，屬于常考題.26．分析：】由題意畫出圖形，利用圓錐曲線定義及勾股定理可得，然后結合隱含條件列式求得，再由即可求得．【詳解】如圖，由橢圓定義及勾股定理得，，可得，同理可得即，∵，∴．故答案為．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的簡單性質，利用三角形面積相等是解答該題的關鍵，屬于中檔題．27．【詳解】設根據橢圓的幾何性質可得,根據雙曲線的幾何性質可得，,即故答案為28．8分析：由題設中的條件，設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，根據橢圓和雙曲線的性質以及勾弦定理建立方程，聯立可得m，a，c的等式，整理即可得到+=2，再利用基本不等式，即可得出結論．【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③得a2+m2=2c2，可得+=2，∴=（+）（）=（10++）≥（10+6）=8，故答案為8．【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點三角形中用勾弦定理建立三個方程聯立求橢圓離心率e1與雙曲線心率e2滿足的關系式，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．29．分析：設出雙曲線和橢圓方程，根據兩者關系得到，在中由余弦定理可得，根據均值不等式可得到結果.【詳解】設橢圓方程是,雙曲線方程是,由定義可得,在中由余弦定理可得,即.當且僅當時等號成