專題三十四直線與直線的位置關(guān)系思維導(dǎo)圖知識要點知識要點1．兩直線的位置關(guān)系條件

直線

關(guān)系l1：y＝kl2：y＝kl1：A1l2：A2平行k1＝k2且b1≠重合k1＝k2且b1＝相交k1≠垂直k1·kA1A2兩直線垂直的條件：①兩直線的斜率都存在且不為0，則有k1·k②一直線斜率不存在與一直線斜率為0.2．兩直線的交點直線l1：A1x+B的解．①相交?方程組有唯一解；②平行?方程組無解；③重合?方程組有無數(shù)個解3．距離公式(1)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離為d＝可以驗證，當(dāng)A＝0或B＝0時，上式仍成立．(2)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，直線l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同時為0，且C1≠典例解析典例解析【例1】已知兩條直線l1：mx＋y＝m＋1，l2：x＋my＝2m.(1)若l1與l2相交，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若l1∥l2，求實數(shù)m的值．【變式訓(xùn)練1】直線l1：3x＋5y＋1＝0，求與直線l1平行，且過(10，－2)的直線方程．【例2】已知直線l1：2x＋3y－5＝0與l2：x＋2y－3＝0的交點是P，直線l3：2x＋y－5＝0.求：(1)過點P與l3平行的直線方程；(2)過點P與l3垂直的直線方程【變式訓(xùn)練2】(1)求過點P(3，－1)，且與直線3x＋2y＋3＝0平行的直線l的方程．(2)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和直線l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．【例3】已知x軸上的點(a，0)到直線l：x＋y＝0的距離為，求a的值．【變式訓(xùn)練3】已知兩條平行直線，l1：x＋y－1＝0與l2：2x＋2y＋3＝0，求兩直線之間的距離【例4】求點A(2，3)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點A′的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練4】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)．【例5】已知直線l過點P(3，4)且與點A(－2，2)，B(4，－2)等距離，求直線l的方程．【變式訓(xùn)練5】求過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0，4)的距離為2的直線方程．高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年對口升學(xué)考試試題)已知直線x＋5y－1＝0與直線ax－5y＋3＝30平行，則a＝()A．－25B．－1C．1D．252．(四川省2016年對口升學(xué)考試試題)點(1，2)關(guān)于y軸對稱的點是()A．(－1，2)B．(1，－2)C．(－1，－2)D．(2，1)3．(四川省2017年對口升學(xué)考試試題)過點(1，2)且與y軸平行的直線的方程是()A．y＝1B．y＝2C．x＝1D．x＝24．(四川省2018年對口升學(xué)考試試題)過點(2，0)且與直線2x＋y－2＝0平行的直線方程是()A．2x＋y－4＝0B．2x－y＋4＝0C．x＋2y－4＝0D．x－2y＋4＝0同步精練同步精練選擇題1．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為()A．0B．－8C．2D．102．兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為()A．4B.C.D.3．原點到直線y＝x＋2的距離為()A.B.C．D．14．點P(5，－2)關(guān)于點A(3，4)的對稱點是()A．(1，5)B．(1，10)C．(－1，3)D．(9，4)5．已知點M(－1，6)，N(3，2)，則線段MN的垂直平分線方程為()A．x－y－4＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－5＝0D．x＋4y－17＝06．點P(2，3)到直線5x－12y＋m＝0的距離是1，則m＝________.7．與直線7x＋24y＝5平行，并且距離等于3的直線方程是________．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點P(－1，2)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為________．9．若直線l1：2x＋my＋1＝0與l2：y＝3x－1垂直，則實數(shù)m＝________.10．平行直線2x－y＝0和4x－2y＋1＝0之間的距離是________．11．求經(jīng)過直線l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交點且平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程．．12.已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.(1)若l1⊥l2，求m的值；(2)若l1∥l2，求m的值．13．已知點A(－1，1)，B(1，3)，l：x＋2y＋3＝0，若直線l1過AB的中點，且與l平行，求l1的方程．14．已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(3，1)，C(－1，－1)．求：(1)BC邊上的高線所在的直線方程；(2)BC邊上的中線所在的直線方程．15．已知從點A(－4，1)出發(fā)的一束光線l，經(jīng)過直線l1：x－y＋3＝0反射，反射光線恰好通過點B(1，6)，求入射光線l所在的直線方程．專題三十四直線與直線的位置關(guān)系思維導(dǎo)圖知識要點知識要點1．兩直線的位置關(guān)系條件

直線

關(guān)系l1：y＝kl2：y＝kl1：A1l2：A2平行k1＝k2且b1≠重合k1＝k2且b1＝相交k1≠垂直k1·kA1A2兩直線垂直的條件：①兩直線的斜率都存在且不為0，則有k1·k②一直線斜率不存在與一直線斜率為0.2．兩直線的交點直線l1：A1x+B的解．①相交?方程組有唯一解；②平行?方程組無解；③重合?方程組有無數(shù)個解3．距離公式(1)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離為d＝可以驗證，當(dāng)A＝0或B＝0時，上式仍成立．(2)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，直線l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同時為0，且C1≠典例解析典例解析【例1】已知兩條直線l1：mx＋y＝m＋1，l2：x＋my＝2m.(1)若l1與l2相交，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若l1∥l2，求實數(shù)m的值．答案：解：(1)∵直線l1：mx＋y＝m＋1與l2：x＋my＝2m相交，∴令m2解得m≠±1，∴當(dāng)m≠±1時，l1與l2相交．(2)令m2∴當(dāng)m＝1時，l1的方程為x＋y＝2，l2的方程為x＋y＝2，l1與l2重合，舍去；當(dāng)m＝－1時，l1的方程為x－y＝0，l2的方程為x－y＝－2，此時l1∥l2.故m＝－1.【思路點撥】根據(jù)兩條直線平行、重合以及相交的條件，列出方程，求出m的值．【變式訓(xùn)練1】直線l1：3x＋5y＋1＝0，求與直線l1平行，且過(10，－2)的直線方程．解：設(shè)所求直線為3x＋5y＋c＝0，代入坐標(biāo)(10，－2)，解得c＝－20∴直線方程為3x＋5y－20＝0.【例2】已知直線l1：2x＋3y－5＝0與l2：x＋2y－3＝0的交點是P，直線l3：2x＋y－5＝0.求：(1)過點P與l3平行的直線方程；(2)過點P與l3垂直的直線方程【思路點撥】求出P點的坐標(biāo)和直線的斜率，代入直線方程整理即可．也可以將與Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，與Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程設(shè)為Bx－Ay＋m＝0(AB≠0)．解：解：由解得(1)過P(1，1)，斜率是－2的直線方程是y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.(2)過P(1，1)，斜率是的直線方程是y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.【變式訓(xùn)練2】(1)求過點P(3，－1)，且與直線3x＋2y＋3＝0平行的直線l的方程．(2)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和直線l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．解：(1)設(shè)直線l為3x＋2y＋c＝0，∵點P(3，－1)在直線上，∴c＝－7，故直線l的方程為3x＋2y－7＝0.(2)由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋c＝0中的一條，而l過l1，l2的交點(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋c＝0，由此求出c＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.【例3】已知x軸上的點(a，0)到直線l：x＋y＝0的距離為，求a的值．解：由d＝得，a＝±2.【思路點撥】由到直線的距離公式d＝【變式訓(xùn)練3】已知兩條平行直線，l1：x＋y－1＝0與l2：2x＋2y＋3＝0，求兩直線之間的距離解：由d＝，解得d＝【例4】求點A(2，3)關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點A′的坐標(biāo)．解：設(shè)A′(m，n)，由對稱性可得解得∴A′(－2，－1)【思路點撥】設(shè)A′(m，n)，由對稱性知直線AA′與直線x＋y－1＝0互相垂直，線段AA′的中點在直線x＋y－1＝0上，即有解得m，n的值．【變式訓(xùn)練4】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)．解：設(shè)A′(x，y)，由解得∴A′【例5】已知直線l過點P(3，4)且與點A(－2，2)，B(4，－2)等距離，求直線l的方程．解：由題意可知所求直線斜率存在，故設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得＝，∴k＝2或k＝，∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.【變式訓(xùn)練5】求過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0，4)的距離為2的直線方程．解：由解得∴直線l1，l2的交點為(1，2)，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0，4)到直線的距離為2，∴2＝，解得k＝0或∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0.高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年對口升學(xué)考試試題)已知直線x＋5y－1＝0與直線ax－5y＋3＝30平行，則a＝(B)A．－25B．－1C．1D．25【提示】由題意有，解得a＝－1.2．(四川省2016年對口升學(xué)考試試題)點(1，2)關(guān)于y軸對稱的點是(A)A．(－1，2)B．(1，－2)C．(－1，－2)D．(2，1)3．(四川省2017年對口升學(xué)考試試題)過點(1，2)且與y軸平行的直線的方程是(C)A．y＝1B．y＝2C．x＝1D．x＝24．(四川省2018年對口升學(xué)考試試題)過點(2，0)且與直線2x＋y－2＝0平行的直線方程是(A)A．2x＋y－4＝0B．2x－y＋4＝0C．x＋2y－4＝0D．x－2y＋4＝0【提示】設(shè)所求直線為2x＋y＋c＝0，解得c＝－4，所求直線為2x＋y－4＝0.同步精練同步精練選擇題1．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為(C)A．0B．－8C．2D．10【提示】k＝＝－2，m＝－8.2．兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為(A)A．4B.C.D.【提示】把3x＋y－3＝0變化為6x＋2y－6＝0，則d＝3．原點到直線y＝x＋2的距離為(A)A.B.C．D．1【提示】由d＝可得．4．點P(5，－2)關(guān)于點A(3，4)的對稱點是(B)A．(1，5)B．(1，10)C．(－1，3)D．(9，4)【提示】設(shè)P關(guān)于A(3，4)的對稱點為Q(a，b)，則線段PQ的中點為A，可得．5．已知點M(－1，6)，N(3，2)，則線段MN的垂直平分線方程為(B)A．x－y－4＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－5＝0D．x＋4y－17＝0【提示】由中點坐標(biāo)公式可得MN的中點為(1，4)，可得直線MN的斜率為k＝＝－1，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為k′＝1，故可得所求直線的方程為y－4＝1×(x－1)，化為一般式可得x－y＋3＝0.6．點P(2，3)到直線5x－12y＋m＝0的距離是1，則m＝__13或39______.【提示】由d＝可得．7．與直線7x＋24y＝5平行，并且距離等于3的直線方程是__7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0______．【提示】設(shè)直線為7x＋24y＋c＝0，d＝＝3，解得c＝70或－80.8．在平面直角坐標(biāo)系中，點P(－1，2)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為__(1，2)______．9．若直線l1：2x＋my＋1＝0與l2：y＝3x－1垂直，則實數(shù)m＝___6_____.【提示】直線l1：2x＋my＋1＝0與l2：y＝3x－1垂直，即為3x－y－1＝0，∴2×3＋m×(－1)＝0，解得m＝6.10．平行直線2x－y＝0和4x－2y＋1＝0之間的距離是________．【提示】4x－2y＋1＝0化為2x－y＋＝0.11．求經(jīng)過直線l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交點且平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程．．解：由得再設(shè)直線方程為2x＋y＋c＝0，則c＝，∴直線的方程為2x＋y＝0.12.已知直線l1：x＋my＋6＝