第一.選擇題（每題5分，共60分)1.國家射擊運動員甲在某次訓練中次射擊成果（單位：環）如：，則這組數據第百分位數為（）A. B. C. D.2.若復數z是的根，則（）A.1 B. C.2 D.33.如圖，在三棱柱中，分別是，的中點，，則（

）

A．B．C．D．4.已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（）A.內有多數條直線與平行 B.內的任何直線都與平行C.且 D.且5.2024年12月，考古工作者又公布了關于北京建城的一件重要文字證據。這次在琉璃河遺址新發覺的銘文，不僅是A國建城最早的文字證據，更是北京建城最早的文字證據。考古學家對現場文物樣本進行碳14年頭學檢測，檢驗出碳14的殘留量約為初始量的69%。已知被測物中碳14的質量M隨時間t（單位：年）的衰變規律滿意（表示碳14原有的質量），據此推想該遺址屬于以下哪個時期（）（參考數據：）A．西周 B．兩漢 C．唐朝 D．元朝

6.已知隨機事務，滿意，，，則（

）A． B． C． D．7.已知是定義在R上的奇函數，，當時，，則（）A.1B.2 C. D.38.在空間直角坐標系中，，，，點在平面內，則當取最小時，點的坐標是（）A.B.C.D.（下面是多選題，每小題漏選2分，錯選0分）9.下列命題中正確的是（）A.若，，則與所在直線不愿定平行B.向量、、共面即它們所在直線共面C.空間隨意兩個向量共面D.若，則存在唯一的實數λ，使10.設函數，則下列結論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為 D．的最大值為11.在棱長為1的正方體中，點，分別是上底面和側面的中心，則（）A.B.C.點到平面的距離為D.直線與平面所成的角為60°12.若，則下面不等式錯誤的是（

）A． B． C． D．二.填空題（每小題5分，共20分）13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是14.已知，則的值為．15.設實數滿意，則函數的最大值是16.在長方體中，，過且與直線平行的平面將長方體分成兩部分，現同時將兩個球分別放入這兩部分幾何體內，則在平面變更的過程中，當兩個球的半徑之和達到最大時，此時較小球的表面積為三.解答證明題（共70分）17.（10分）設，向量，，，且，.(1)求；(2)求向量與夾角的大小．18.（12分）已知正方體的棱長為2，設分別為棱的中點.

(1)證明：平面；(2)求BQ與面BDP所成角的正弦值.19.（12分）已知的內角所對的邊分別為，滿意．（1）求證：；（2）若為上一點，且，求的面積的最大值．20.（12分）我校近幾年加大了對學生奧賽的培訓，為了選擇培訓的對象，今年5月我校進行一次數學競賽，從參與競賽的同學中，選取50名同學將其成果（百分制，均為整數）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），視察圖形中的信息，回答下列問題：（1）；從頻率分布直方圖中，估計本次考試成果的平均數及第三四分位數（第75百分位數）是多少；（精確到0.1）（2）已知學生成果評定等級有優秀、良好、一般三個等級，其中成果不小于90分時為優秀等級，若從第5組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成果優秀的概率．21.（12分）如圖甲，已知在長方形中，，，M為DC的中點．將沿折起，如圖乙，使得平面平面．(1)求證：平面；(2)若點E是線段上一動點，點E在何位置時，二面角的余弦值為．22.（12分）已知函數（）.(1)若，求函數的最小值；(2)若函數存在兩個不同的零點與，求的取值范圍.高二第一學期數學階段考試參考答案一、第1-8題：CBDD，AADA第9—12題：AC，AC，BCD，ACD二、，，，第8題解答：由題意，在空間直角坐標系中，，，，設，為平面的法向量，則，,，則，令則，故，則點到平面的距離為，所以，則又，，即，所以，代入可得，則所以，則故選：.第12題解答：設，則為增函數，因為所以，所以，所以.，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：ACD第16題解答：如圖所示：平面將長方體分成兩部分，有可能在平面上或平面上，依據對稱性知，兩球半徑和的最大值是相同的，故僅考慮在平面上的狀況，延長與交于點，作于點，

設，圓對應的半徑為，依據三角形內切圓的性質，在中，，，，則，又當與重合時，取得最大值，由內切圓等面積法求得，則設圓對應的半徑為，同理可得，又，解得.故，，設，則，，由對勾函數性質易知，函數單減，所以當時，取得最大值，即兩個球的半徑之和達到最大，此時，則，則，，且，則小球的表面積為.故答案為：.三、解答題17、【詳解】（1）由題意，，，可得，解得，則，，所以，故.（2）因為，所以，故向量與的夾角為.18、【詳解】（1）證明：連接交于點，連接，由中位線可知且，又因為且，所以且，所以為平行四邊形，所以.結合平面平面可知，平面.（2）以為原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，如圖設面PBD的一個法向量為，由即取，可得設BQ與面BDP所成角為，則所以BQ與面BDP所成角的正弦值為.19、【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，因為，，所以，所以，所以或．若，則；若，則，舍去；所以成立．【小問2詳解】在中，因為，，所以，由正弦定理得，即，所以．在中，由正弦定理得，因為，所以．因為，又，所以，所以的面積．又，所以，所以，所以當，即時，的面積最大值為2．20、【小問1詳解】本次考試成果的平均數約為.所以本次考試成果的平均數.設第三四分位數為m，由解得所以估計第三四分位數約為【小問2詳解】第5組人數為，第6組人數為，被抽取的成果在內的4人，分別記為，，，；成果在內的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機抽取2人的狀況為：，，，共21種；其中被抽到2人中至少有1人成果優秀的狀況為：，，，，，共15種.故抽到2人中至少有1人成果優秀的概率為.21、【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵且，，平面，∴平面．（2）因為平面平面，，，M是的中點，∴，取的中點O，連接，則平面，取的中點N，連接，則，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，設，，因為平面的一個法向量，，，設平面的一個法向量為，則，可得．再由，則，∴或（舍），所以E為的靠近D點的五等分點．22、【詳解】（1）解法一：若時，求函數，當時，，.當時，，.故.解法二：若時，求函數；畫出和的圖像如下圖所示：易得.（2）解法一：若，則，這與存在兩個不同零點沖突.若，，因為存在兩個不同的零點與，所以，得，此時，；若，，當時，即時，得，，有