課時質量評價(六十七)1．某電子管正品率為34，次品率為14，現對該批電子管進行測試，設第ξ次首次測到正品，則P(ξ＝3)＝(A.C32×142×34C．142×34 D．34C解析：ξ＝3表示第3次首次測到正品，而前2次都沒有測到正品，故其概率是142×32．(2024·佛山模擬)已知隨機變量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，則P(X＝1)＝()A．123 BC．125 DC解析：隨機變量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，則np=4解得n＝8，p＝12，故P(X＝1)＝C81×121×1-3．已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為X，則E(X)＝()A．2 B．1C．43 D．A解析：X的可能取值為1，2，3，其對應的概率為P(X＝1)＝C22C41C63＝15，P(X＝2)＝C21C42C63＝35，P(X＝3)＝C43C634．某班學生的一次數學考試成績ξ(滿分：100分)服從正態分布N(85，σ2)，且P(83≤ξ≤87)＝0.3，P(78≤ξ≤83)＝0.12，P(ξ＜78)＝()A．0.14 B．0.18C．0.23 D．0.26C解析：因為ξ～N(85，σ2)，P(83≤ξ≤87)＝0.3，所以P(ξ＜83)＝1-P83≤又P(78≤ξ≤83)＝0.12，所以P(ξ＜78)＝P(ξ≤83)－P(78≤ξ≤83)＝0.23.故選C.5．中國的景觀旅游資源相當豐富，5A級為中國旅游景區最高等級，代表著中國世界級精品的旅游風景區等級．某地7個旅游景區中有3個景區是5A級景區，現從中任意選3個景區，下列事件中概率等于67的是(A．至少有1個5A級景區B．有1個或2個5A級景區C．有2個或3個5A級景區D．恰有2個5A級景區B解析：用X表示這3個旅游景區中5A級景區的個數，則X服從超幾何分布，且P(X＝0)＝C30C43C73＝435，P(X＝1)＝C31C42C73＝1835，P(X＝2)＝C32C41C73＝1235，P(X＝3)6．(多選題)“50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項，某地區高三男生的“50米跑”測試成績ξ(單位：秒)服從正態分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.從該地區高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取3個，其中成績在(7，9)間的個數記為X，則()A．P(7＜ξ＜9)＝0.8 B．E(X)＝1.8C．E(ξ)＞E(5X) D．P(X≥1)＞0.9BD解析：A選項，由正態分布的對稱性可知，P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7＜ξ＜9)＝1－0.2×2＝0.6，A錯誤；B選項，X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正確；C選項，E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)＜E(5X)，C錯誤；D選項，因為X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝C30×(0.6)0×(0.4)3＝故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936＞0.9，D正確．故選BD.7．某種種子每粒發芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為．200解析：設沒有發芽的種子數為Y，則有X＝2Y.由題意可知Y服從二項分布，即Y～B(1000，0.1)，則E(Y)＝1000×0.1＝100，所以E(X)＝2E(Y)＝200.8．某校高二學生的一次數學診斷考試成績(單位：分)服從正態分布N(100，102)，從中抽取一個同學的數學成績X，記該同學的成績80≤X≤100為事件A，記該同學的成績70≤X≤90為事件B，則在A事件發生的條件下B事件發生的概率P(BA)＝．(結果精確到0.01)附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.0.28解析：由題知，事件AB為“該同學的成績80≤X≤90”，因為μ－2σ＝100－20＝80，μ－σ＝100－10＝90，所以P(AB)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)≈0.95452－0.68272又P(A)＝P(μ－2σ≤X≤μ)≈0.95452＝0.47725所以P(BA)＝PABPA＝9．(2024·濟南模擬)已知隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，若函數f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)為偶函數，則μ＝()A．－12 B．C．12 D．C解析：因為函數f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)為偶函數，則f(－x)＝f(x)，所以P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，所以μ＝-x+x+12＝110．已知在10件產品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，記次品數為X，已知P(X＝1)＝1645，且該產品的次品率不超過30%，則這10件產品中次品數n為(A．1 B．2C．8 D．2或8B解析：設10件產品中存在n件次品，從中抽取2件，其次品數為X，由P(X＝1)＝1645，得Cn1C10-n1C102＝1645，化簡得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又該產品的次品率不超過30%11．(多選題)(2024·濰坊模擬)已知離散型隨機變量X服從二項分布B(n，p)，其中n∈N*，0＜p＜1，記X為奇數的概率為a，X為偶數的概率為b，則下列說法中正確的有()A．a＋b＝1B．當p＝12時，a＝C．當0＜p＜12時，a隨著nD．當12＜p＜1時，a隨著nABC解析：對于A選項，由概率的基本性質可知，a＋b＝1，故A正確；對于B選項，當p＝12時，離散型隨機變量X服從二項分布Bn則P(X＝k)＝Cnk12k1-12n－k(k＝0，1，2，3所以a＝12n(Cn1+Cn3+Cn5)b＝12n(Cn0+Cn2+Cn4)＋…)＝12對于C，D選項，a＝1-p+pn-令f(n)＝1-1-2pn2，n∈N*，當0＜p＜12時，易知f故a隨著n的增大而增大，故C正確；當12＜p＜1時，令g(n)＝(1－2p)n，n∈N*，易知g(n)的值正負交替，故D不正確．故選12．某人在今年買進某個理財產品，設該產品每個季度的收益率為X，且各個季度的收益之間互不影響，根據該產品的歷史記錄，可得P(X＞0)＝2P(X≤0)．若此人準備在持有該理財產品4個季度之后賣出，則至少有3個季度的收益為正值的概率為．1627解析：因為P(X＞0)＝2P(X≤0)，所以P(X＞0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1所以P(X≤0)＝13，P(X＞0)＝2則至少有3個季度的收益為正值的概率為C43×233×13+C13．2023年3月，某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級參加，本次比賽啟用了新的排球用球．已知這種球的質量指標ξ(單位：g)服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍．積分規則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3∶2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分．第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率均為p(0＜p＜1)．(1)令η＝ξ-μσ，則η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η＜a)，求Φ(－2)，并證明：Φ(－2)＋Φ(2)＝(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3∶1取勝的概率為f(p)，求出f(p)的最大值點p0，并以p0作為p的值，解決下列問題．①在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X，求X的分布列．②已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由題可知η＝ξ-2705，Φ(－2)＝P(η＜－2)＝P(ξ＜260)又μ－2ξ＝260，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，所以Φ(－2)＝P(ξ＜260)≈0.5－0.95452＝0.5－0.47725＝因為Φ(－2)＝P(η＜－2)，根據正態曲線的對稱性，知Φ(－2)＝P(η＜－2)＝P(η＞2)．又因為Φ(2)＝P(η＜2)＝1－P(η≥2)，所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.(2)由題知f(p)＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p則f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3(－1)]＝3p2(3－4p)．令f′(p)＝0，解得p＝34(p＝0舍去)當p∈0，34時，f′(p)＞0，f(p)當p∈34，1時，f′(p)＜0，f(p)所以f(p)的最大值點p0＝34，從而p＝3①