2022-2023學年九上數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點C的坐標為()A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)2．一個群里共有個好友，每個好友都分別給群里的其他好友發一條信息，共發信息1980條，則可列方程（）A． B． C． D．3．如圖，在?APBC中，∠C＝40°，若⊙O與PA、PB相切于點A、B，則∠CAB＝（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．如圖平行四邊變形ABCD中，E是BC上一點，BE∶EC=2∶3，AE交BD于F，則S△BFE∶S△FDA等于（）A．2∶5 B．4∶9 C．4∶25 D．2∶35．已知當x＞0時，反比例函數y＝的函數值隨自變量的增大而減小，此時關于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情況為（）A．有兩個相等的實數根 B．沒有實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定6．一件商品的原價是100元，經過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x，根據題意，下面列出的方程正確的是（）A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=1217．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉46°得到Rt△A′B′C，點A在邊B′C上，則∠ACB的大小為（）A．23° B．44° C．46° D．54°8．書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率是（）A． B． C． D．9．拋物線上部分點的橫坐標、縱坐標的對應值如下表：…－3－2－101……－60466…容易看出，是它與軸的一個交點，那么它與軸的另一個交點的坐標為（）A． B． C． D．10．若反比例函數的圖像經過點，則下列各點在該函數圖像上的為（）A． B． C． D．11．拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．12．在下列圖形中，是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）A．圓 B．等邊三角形 C．梯形 D．平行四邊形二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=30°，BC=4，則⊙O的直徑為___．14．若點P（m，-2）與點Q（3，n）關于原點對稱，則=______.15．若兩個相似三角形的面積比為1∶4，則這兩個相似三角形的周長比是__________．16．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為12cm，則△A′B′C′的周長為_____________．17．如圖，點P在函數y＝的圖象上，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且△APB的面積為4，則k等于_____．18．如圖，物理課上張明做小孔成像試驗，已知蠟燭與成像板之間的距離為24cm，要使燭焰的像A′B′是燭焰AB的2倍，則蠟燭與成像板之間的小孔紙板應放在離蠟燭_____cm的地方．三、解答題（共78分）19．（8分）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如：如圖，已知的兩條弦，則、互為“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”.（1）若的半徑為5，一條弦，則弦的“十字弦”的最大值為______，最小值為______.（2）如圖1，若的弦恰好是的直徑，弦與相交于，連接，若，，，求證：、互為“十字弦”；（3）如圖2，若的半徑為5，一條弦，弦是的“十字弦”，連接，若，求弦的長.20．（8分）先閱讀，再填空解題：（1）方程：的根是：________，________，則________，________．（2）方程的根是：________，________，則________，________．（3）方程的根是：________，________，則________，________．（4）如果關于的一元二次方程（且、、為常數）的兩根為，，根據以上（1）（2）（3）你能否猜出：，與系數、、有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由．21．（8分）如圖，海南省三沙市一艘海監船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監船以20海里/時的速度繼續航行，2小時后到達B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時海監船與黃巖島P的距離BP的長．(結果精確到0.1海里，參考數據：tan75°≈3.732，sin75°≈0.966，sin15°≈0.259，≈1.414，≈1.732)22．（10分）如圖，在中，，，，平分交于點，過點作交于點，點是線段上的動點，連結并延長分別交，于點、.（1）求的長.（2）若點是線段的中點，求的值.（3）請問當的長滿足什么條件時，在線段上恰好只有一點，使得?23．（10分）為了豐富校園文化生活，提高學生的綜合素質，促進中學生全面發展，學校開展了多種社團活動．小明喜歡的社團有：合唱社團、足球社團、書法社團、科技社團（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個社團），并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上，然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是．（2）小明先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母后不放回，再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母．請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率．24．（10分）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點，點，與軸相交于點，與拋物線的對稱軸相交于點.（1）求該拋物線的表達式，并直接寫出點的坐標；（2）過點作交拋物線于點，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，點在射線上，若與相似，求點的坐標.25．（12分）如圖，已知AB經過圓心O，交⊙O于點C．（1）尺規作圖：在AB上方的圓弧上找一點D，使得△ABD是以AB為底邊的等腰三角形（保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若∠DAB=30°，求證：直線BD與⊙O相切．26．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED＝∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）求證：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半徑為10，CF＝2EF，求BE的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】利用位似圖形的性質和兩圖形的位似比，并結合點A的坐標即可得出C點坐標．【詳解】解：∵線段AB的兩個端點坐標分別為A（6，6），B（8，2），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴端點C的橫坐標和縱坐標都變為A點的一半，∴端點C的坐標為：（3，3）．故選A．【點睛】本題主要考查位似變換、坐標與圖形性質，解題的關鍵是結合位似比和點A的坐標．2、B【分析】每個好友都有一次發給QQ群其他好友消息的機會，即每兩個好友之間要互發一次消息；設有x個好友，每人發(x-1)條消息，則發消息共有x（x-1）條,再根據共發信息1980條，列出方程x（x-1）=1980.【詳解】解：設有x個好友，依題意，得：x（x-1）=1980.故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意設出合適的未知數，再根據等量關系式列出方程是解題的關鍵.3、D【分析】根據切線長定理得出四邊形APBC是菱形，再根據菱形的性質即可求解.【詳解】解：∵⊙O與PA、PB相切于點A、B，∴PA＝PB∵四邊形APBC是平行四邊形，∴四邊形APBC是菱形，∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°∴∠CAB＝∠PAC＝70°故選D．【點睛】此題主要考查圓的切線長定理，解題的關鍵是熟知菱形的判定與性質.4、C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BE，由平行得相似，即△BEF∽△DAF，再利用相似比解答本題．【詳解】∵，

∴，∵四邊形是平行四邊形，

∴，∥，

∴，，

∴，，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質．正確運用相似三角形的相似比是解題的關鍵．5、C【分析】由反比例函數的增減性得到k＞0，表示出方程根的判別式，判斷根的判別式的正負即可得到方程解的情況．【詳解】∵反比例函數y，當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴k＞0，∴方程中，△＝=8k+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選C．【點睛】本題考查了根的判別式，以及反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解答本題的關鍵．6、C【詳解】試題分析：對于增長率的問題的基本公式為：增長前的數量×=增長后的數量.由題意，可列方程為：100(1+x)2=121，故答案為：C考點：一元二次方程的應用7、C【分析】根據題意：Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉46°得到Rt△A′B′C，即旋轉角為46°，則∠ACB=46°即可得解.【詳解】由旋轉得：∠ACA′=∠ACB=46°，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉，比較簡單，明確旋轉角的概念并能找到旋轉角是關鍵．8、C【分析】畫樹狀圖（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說）展示所有20種等可能的結果數，找出從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說），共有20種等可能的結果數，其中從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數為6，所以從中隨機抽取2本都是古典名著的概率=．故選：C．【點睛】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數m除以所有等可能發生的情況數n即可,即.9、C【分析】根據（0，6）、（1，6）兩點求得對稱軸，再利用對稱性解答即可．【詳解】∵拋物線經過（0，6）、（1，6）兩點，∴對稱軸x＝＝；點（?2，0）關于對稱軸對稱點為（3，0），因此它與x軸的另一個交點的坐標為（3，0）．故選C.【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，解題的關鍵是求出其對稱軸.10、C【分析】將點代入求出反比例函數的解析式，再對各項進行判斷即可．【詳解】將點代入得解得∴只有點在該函數圖象上故答案為：C．【點睛】本題考查了反比例函數的問題，掌握反比例函數的性質以及應用是解題的關鍵．11、D【分析】可先由一次函數y=ax+c圖象得到字母系數的正負，再與二次函數y=ax2+bx+c的圖象相比較看是否一致．【詳解】A．一次函數y=ax+c與y軸交點應為(0，c)，二次函數y=ax2+bx+c與y軸交點也應為(0，c)，圖象不符合，故本選項錯誤；B．由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，a的取值矛盾，故本選項錯誤；C．由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，a的取值矛盾，故本選項錯誤；D．由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＜0，且拋物線與直線與y軸的交點相同，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線和直線的性質，用假設法來解答這種數形結合題是一種很好的方法．12、D【解析】解：選項A、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；選項B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；選項C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；選項D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確；故選D．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】連接OB，OC，依據△BOC是等邊三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，進而得出⊙O的直徑為1．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC是等邊三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC=BC=4，∴⊙O的直徑為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓以及圓周角定理的運用，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．14、-1【分析】根據坐標的對稱性求出m,n的值，故可求解.【詳解】依題意得m=-3,n=2∴=故填：-1.【點睛】此題主要考查代數式求值，解題的關鍵是熟知直角坐標系的坐標特點.15、【解析】試題分析：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，∴這兩個相似三角形的相似比為1：1，∴這兩個相似三角形的周長比是1：1，故答案為1：1．考點：相似三角形的性質．16、16cm【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比求解．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比為，

∵△ABC的周長為12cm

∴△A′B′C′的周長為12÷=16cm．故答案為：16.【點睛】此題考查相似三角形的性質，解題關鍵在于掌握相似三角形周長的比等于相似比．17、-1【解析】由反比例函數系數k的幾何意義結合△APB的面積為4即可得出k＝±1，再根據反比例函數在第二象限有圖象即可得出k＝﹣1，此題得解．【詳解】∵點P在反比例函數y＝的圖象上，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，∴S△APB＝|k|＝4，∴k＝±1．又∵反比例函數在第二象限有圖象，∴k＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，熟練掌握“在反比例函數y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|是解題的關鍵．18、8【解析】設蠟燭距小孔cm，則小孔距成像板cm，由題意可知：AB∥A′B′，∴△ABO∽△A′B′O，∴，解得：（cm）.即蠟燭與成像板之間的小孔相距8cm.點睛：相似三角形對應邊上的高之比等于相似比.三、解答題（共78分）19、（1）10，6；（2）見解析；（3）.【分析】（1）根據“十字弦”定義可得弦的“十字弦”為直徑時最大，當CD過A點或B點時最小；（2）根據線段長度得出對應邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA,由其性質得出對應角相等，結合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據“十字弦”定義可得；（3）過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F,利用垂徑定理得出OE=3，由正切函數得出AH=DH,設DH=x，在Rt△ODF中，利用線段和差將邊長用x表示，根據勾股定理列方程求解.【詳解】解：（1）當CD為直徑時，CD最大，此時CD=10，∴弦的“十字弦”的最大值為10；當CD過A點時，CD長最小，即AM的長度,過O點作ON⊥AM,垂足為N,作OG⊥AB，垂足為G,則四邊形AGON為矩形，∴AN=OG,∵OG⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM,∴AM=6，即弦的“十字弦”的最小值是6.（2）證明：如圖，連接AD，∵，，，∴,∵∠C=∠C,∴△ACH∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD是直徑，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH⊥CD,∴、互為“十字弦”.（3）如圖，過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan∠ADH=,∴tan60°=,設DH=,則AH=x,∴FD=3+x,OF=HE=4-x,在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，∴(3+x)2+(4-x)2=52,解得，x=,∴FD=,∵OF⊥CD,∴CD=2DF=即CD=【點睛】本題考查圓的相關性質，利用垂徑定理，相似三角形等知識是解決圓問題的常用手段,對結合學過的知識和方法的基礎上，用新的方法和思路來解決新題型或新定義的能力是解答此題的關鍵.20、（1）-2，1，-1，2；（2）3，，，；（3）5，-1，4，-5；（4），，理由見解析【分析】（1）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；（2）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；（3）利用十字相乘法求出方程的解，即可得到答案；（4）利用公式法求出方程的解，即可得到答案.【詳解】（1）∵，∴（x+2）（x-1）=0，∴，，∴，；故答案為：-2，1，-1，2；（2）∵，∴（x-3）（2x-1）=0，∴，，∴，，故答案為：3，，，；（3）∵，∴（x-5）（x+1）=0，∴，，∴，，故答案為：5，-1，4，-5；（4），與系數、、的關系是：，，理由是有兩根為，，∴，．【點睛】此題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數的關系，根據方程的特點選擇適合的解法是解題的關鍵.21、28.3海里【分析】過B作BD⊥AP于D，由已知條件求出AB=40，∠P=45°，在Rt△ABD中求出，在Rt△BDP中求出PB即可．【詳解】解：過B作BD⊥AP于D，由已知條件得：AB=20×2=40海里，∠P=75°-30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30°，∴海里，在Rt△BDP中，∵∠P=45°，∴（海里）．答：此時海監船與黃巖島P的距離BP的長約為28.3海里．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用-方向角問題，根據已知得出△PDB為等腰直角三角形是解題關鍵．22、（1）；（2）；（3）當或時，滿足條件的點只有一個.【解析】（1）由角平分線定義得，在中，根據銳角三角函數正切定義即可求得長.（2）由題意易求得，，由全等三角形判定得，根據全等三角形性質得，根據相似三角形判定得，由相似三角形性質得，將代入即可求得答案.（3）由圓周角定理可得是頂角為120°的等腰三角形，再分情況討論：①當與相切時，結合題意畫出圖形，過點作，并延長與交于點，連結，，設半徑為，由相似三角形的判定和性質即可求得長；②當經過點時，結合題意畫出圖形，過點作，設半徑為，在中，根據勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性質即可求得長；③當經過點時，結合題意畫出圖形，此時點與點重合，且恰好在點處，由此可得長.【詳解】（1）解：∵平分，，∴．在中，（2）解：易得，，．由，得，．∵，∴，∴．由，得，∴∴（3）解：∵，過，，作外接圓，圓心為，∴是頂角為120°的等腰三角形.①當與相切時，如圖1，過點作，并延長與交于點，連結，設的半徑則，，解得．∴，．易知，可得，則∴．②當經過點時，如圖2，過點作，垂足為．設的半徑，則．在中，，解得，∴易知，可得③當經過點時，如圖3，此時點與點重合，且恰好在點處，可得．綜上所述，當或時，滿足條件的點只有一個.【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會利用特殊位置解決數學問題，屬于中考壓軸題．23、（1）；（2）見解析，.【分析】（1）直接根據概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12種等可能性結果，再找出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率＝；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12種等可能結果，小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的結果數為6種，所以小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率為.【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率24、（1），點；（2）點；（3）或【解析】（1）設拋物線的表達式為，將A、B、C三點坐標代入表達式，解出a、b、c的值即可得到拋物線表達式，同理采用待定系數法求出直線BC解析式，即可求出與對稱軸的交點坐標；（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H．先證∠EAH=∠ACO，則tan∠EAH=tan∠ACO=，設EH=t，則AH=2t，從而可得到E(-2+2t，t)，最后，將點E的坐標代入拋物線的解析式求解即可；（3）先證明，再根據與相似分兩種情況討論，建立方程求出AF，利用三角函數即可求出F點的坐標.【詳解】（1）設拋物線的表達式為.把，和代入得，解得，拋物線的表達式，∴拋物線對稱軸為設直線BC解析式為，把和代入得，解得∴直線BC解析式為當時，點.(2)如圖，過點E作EH⊥AB，垂足為H.∵∠EAB+∠BAC=90°,∠BAC+∠ACO=90°，∴∠EAH=∠ACO.∴tan∠EAH=tan∠A