函數與方程知識點總結

1、函數零點的定義

(1)對于函數y=/(x),我們把方程/(x)=0的實數根叫做函數尸/(x)的零點。

(2)方程“x)=0有實根=函數y=/(x)的圖像與X軸有交點o函數y=/(x)有零點。因

此判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程八幻=。是否有實數根，有幾

個實數根。函數零點的求法：解方程/(幻=0,所得實數根就是/⑴的零點

(3)變號零點與不變號零點

①若函數/⑴在零點與左右兩側的函數值異號，則稱該零點為函數/(x)的變號零點。

②若函數/⑴在零點與左右兩側的函數值同號，則稱該零點為函數/⑴的不變號零點。

③若函數/⑴在區間［9］上的圖像是一條連續的曲線，貝I」/⑷/⑸〈。是/⑴在區間(〃力)內有

零點的充分不必要條件。

2、函數零點的判定

(1)零點存在性定理：如果函數y=/(x)在區間3,切上的圖象是連續不斷的曲線，并且

有f(a)/S)<0,那么，函數y=f(x)在區間(9)內有零點，即存在天￡(°,均，使得f(x。)=(),這

個也就是方程f(x)=0的根。

(2)函數y=/(x)零點個數(或方程“x)=o實數根的個數)確定方法

①代數法：函數y=的零點o/(x)=o的根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=/(x)的圖象聯系起來，

并利用函數的性質找出零點。

(3)二次函數零點個數確定

△>Ooy=/(x)有2個零點O/(x)=0有兩個不等實根；

△=Ooy=/(x)有1個零點=/(x)=0有兩個相等實根；

△<00》=/(冷無零點。/*)=0無實根；對于二次函數在區間,,可上的零點個數，要結合

圖像進行確定.

1、二分法

(1)二分法的定義:對于在區間3,句上連續不斷且了⑷.a)<。的函數y=/(x),通過不斷地

把函數y=〃x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到

零點的近似值的方法叫做二分法；

(2)用二分法求方程的近似解的步驟：

①確定區間出向，驗證/(〃)必)<0,給定精確度￡；②求區間(。向的中點。；③計算/?；

(i)若/1?=(),則c就是函數的零點;(點若/(4)?/?<0,則令&c(此時零點(a,c))；

(lii)若<0,則令a=c(此時零點X。e(c⑼)；

④判斷是否達到精確度￡，即則得到零點近似值為。(或〃)；否則重復②至④步.

【經典例題】

【例1】函數/(幻=2”/-2在區間(0,1)內的零點個數是

()

A、0B、1C、2D、3

【例2】函數4見=2太+3牙的零點所在的一個區間是

()

A、(-2,-1)B、(-1,O)C>(0,1)D、(1,2)

【例3】下列函數中能用二分法求零點的是()

【例4】若函數/(x)=a'r-a(a>()且分1)有兩個零點，則實數”的取值范圍是二

二十—-3，x咒零點個數為

【例5】函數/*)=)

-2+Inx,x>0

A、3B、2C、1D、0

【例6】若函數/(x)=V+x2_2.2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考

數據如下：

/(1.25)=-

/⑴=-2/(1.5)=0.625

0.984

/(1.375)=-/(1.4375)=/(1.40625)=-

0.2600.1620.054

那么方程1+丁-2》-2=()的一個近似根(精確到0.1)為

()

A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5

【例7】如果二次函數y=x2+%+機+3有兩個不同的零點,則〃?的取值范圍是

()

A、(―,+00)B、(-00,—)C、(-00,—)D、(―,+00)

4242

【例8】方程lgx-x=0根的個數為

()

A、無窮多B、3C、1D、0

【例9】用二分法研究函數加)=431-1的零點時，第一次經計算/(0)<0,八0.5)>0,可得

其中一個零點x°e,第二次應計算.以上橫線上應填的內容為

()

A、(0,0.5),/(0.25)B、(0,1),/(0.25)

C、(0.5,1),/(0.75)D、(0,0.5),/(0.125)

反思：(1)函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有：①函數零點值大致存在區間

的確定；②零點個數的確定；③兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決

這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩

端對應的函數類型不同的方程多以數形結合求解.

(2)提醒：函數的零點不是點，是方程f(x)=o的根，即當函數的自變量取這個實數時,

其函數值等于零.函數的零點也就是函數y=4㈤的圖象與x軸的交點的橫坐標.

函數與方程(零點)

一.選擇題(共22小題)

1.(2016?呼與浩特二模)函數f(x)(1)-2的零點所在區間是()

X

A.(1,1)B.(1,e-1)C.(e-1,2)D.(2,e)

2

2.(2016?陜西模擬)函數f(x)的零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(L,1)C.(1,e)D.(e,oo)

ee

3.(2016?北海一模)函數f(x)=lgx-L的零點所在的區間是()

X

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

4.(2016?郴州模擬)函數f(x)=3x-*的零點存在區間為()

2

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

5.(2016?貴陽二模)二次函數f(x)=2x2-3(b€R)零點的個數是()

A.0B.1C.2D.4

6.(2016”詹州校級模擬)函數f(x)2—零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

7.(2016?東城區模擬)函數f(x)(1)-2的零點所在的大致區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

8.(2016?安徽模擬)已知Lvav4,函數f(x)3-32有且僅有兩個不同的零點x1，

2

x2,則LX2I的取值范圍是()

A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(2,3)

22

9.(2016?漳州一模)函數與的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍為()

A.(1,+oo)B.(-1,1)C.(-co,-1]U[1,+00)D.(一8,-1)U

(1,+8)

10.(2016?浦城縣模擬)已知函數f(x)=22在區間(L4)上有零點，則實數b

2

的取值范圍是()

A.(-10,0)B.(-8,1)C.(0,10)D.(1,12)

11.(2015秋?衡陽校級期末)若函數-X-a有兩個零點，則a的取值范圍是()

A.(1,+oo)B.(0,1)C.(0,+8)D.0

12.(2016春?朔州校級期中)函數(x-1)(x2-2x-3)的零點為()

A.1,2,3B.1,-1,3C.1,-1,-3D.無零點

13.(2016春?贛州校級月考)若函數f(x)的唯一一個零點同時在區間(0,16),

(0,8),(0,4),(0,2)內，則下列結論中正確的是()

A.f(x)在區間(0,1)內一定有零點

B.f(x)在區間[2,16)內沒有零點

C.f(x)在區間(0,1)或(1,2)內一定有零點

D.f(x)在區間(1,16)內沒有零點

14.(2015?薊縣校級模擬)方程2x-6=0的解一定位于區間()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(5,6)

15.(2015?云南一模)函數f(x)2x-6的零點位于()

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

16.（2016?湖南校級模擬）設X。是函數f（x）=2*-2-1的一個零點，若a>x°,

則f（a）滿足（）

A.f（a）>0B.f（a）<0

C.f（a）可以等于0D.f（a）的符號不能確定

17.（2016?貴陽一模）函數f（x）-在（0,+oo）的零點個數是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2016?紅橋區模擬）若二次函數f（x）2一2-5在區間（3,4）上存在一個零

點，則m的取值范圍是（）

A.B.衛C.D.或

388338

19.（2016?成都校級模擬）已知工vavl,則方程的實根個數是（）

2

A.1個B.2個

C.3個D.1個或2個或3個

20.（2016?涼山州模擬）設f（x）-1有三個不同的零點，則a的取值范圍是（）

A.（0,e）B.（0,e2）C.（0,1）D.（0,L）

ee2

21.（2016?衡水校級二模）函數f（x