兩條異面直線所成的角練習課

教學目標

1.記憶并理解余弦定理；

2.應(yīng)用余弦定理來求異面直線所成的角.

教學重點和難點

這節(jié)課的重點是以異面直線所成的角的概念為指導作出相應(yīng)的角，然后用余

弦定理解這個角所在的三角形求出這個角的余弦.這節(jié)課的難點是使學生初步理

解當cos。>0時，0°<0<90°,當cos0=0時，9=90°,當cos。V0時，

90°<0<180°.

教學設(shè)計過程

一、余弦定理

師：余弦定理有哪兩種表述的形式？它們各有什么用途？

生：余弦定理有兩種表述的形式，即：

a-b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b'-2abcosC

cocA=-------

2bc

■FT

-遼~~

第一種形式是已知兩邊夾角用來求第三邊，第二種形式是已知三邊用來求

角.

師：在立體兒何中我們主要用余弦定理的第二種形式，即已知三角形的三邊

來求角.

在余弦定理的第二個形式中，我們知道產(chǎn)十小可以等于心也可以小于a2

也可以大于或.那么，我們想當于+d=天時,NA等于多少度?為什么？

生：當爐+聲］時，由勾股定理的逆定理可知NA=90°.

師:當b，+cz>a邛寸，NA應(yīng)該是什么樣的角呢?

生：因為cosA>0,所以NA應(yīng)該是銳角.

師：當b，+c2〈a2時，NA應(yīng)該是什么樣的角呢？

生：因為這時cosAVO,所以NA應(yīng)該是鈍角.

師：對，關(guān)于這個問題，我們只要求同學們有初步的理解即可.初步理解后

應(yīng)該記住、會用.現(xiàn)在明確提出當cos0=0時，0=90°,0是直角；當cos。

>0時，0°V。<90°,。是銳角當cos。V0時，90°<e<180°,。是鈍

角.下面請同學們回答下列問題：

皿。4。等于知喻

8"=g,百于多少第

生：。等于60°,。等于120°.

師：這時。和。是什么關(guān)系？

生：。和。是互為補角.

師：再回答下列問題：

3。L烏,01等于多少度7

左，0等于多少廢？

8&=夕%等于多少第

8i=_去，可度？

生：等于45°,牝等于135°,0,+牝=180°；。2等于30°,。產(chǎn)150°,

%+%=180°.

師：一般說來，當cos。=-cos。時，角0與角。是什么關(guān)系？

生：角。與角。是互補的兩個角.即一個為銳角，一個

為鈍角，且0+。=180°.

（關(guān)于鈍角的三角函數(shù)還沒有定義，所以這里采用從特殊到一般的方法使學

生有所理解即可）

二、余弦定理的應(yīng)用

例1在長方體ABCD-ARCD中，AB=BC=3,AA,=4.求異面直線AB和AD,

所成的角的余弦.（如圖1）

師：首先我們要以概念為指導作出這個角，AB和AD所成的角是哪一個角？

生：因為CDVAB,所以NADC即為AB與AD,所成的角.

師：NADC在△ADC中，求出aADC的三邊，然后再用余弦定理求出/ADC

的余弦.

生.&AADQ中，AD1=CDl=5.AC=3j2.

AD；+CD：-AC：25+25/8_16

所以CO?ZADIC==

2AD|,2-5*525

師：我們要再一次明確求異面直線所成的角的三個步驟：第一是以概念為指

導作出所成的角；第二是找出這個角所在的三角形；第三是解這個三角形.現(xiàn)在

我們再來看例2.

例2在長方體ABCD-ARCD中,ZC,BC=45°,ZB,AB=60°.求AB,與BC,

所成角的余弦.（如圖2）

圖2

師：在這例中，我們除了首先要以概念為指導作出異面直線所成的角以外，

還要注意把所給的特殊角的條件轉(zhuǎn)化為長方體各棱之間的關(guān)系，以便于我們用余

弦定理.

生:因為BG〃AD”所以但與BG所成的角即為NDA與根

據(jù)所紿的糊味角條件可設(shè)AB=%MABt=2a,=所以在△

D|ABL中.AB|=B|D|=2a>AD（=

師：現(xiàn)在我們來看例3.

例3已知正方體的棱長為a,M為AB的中點，N為B,B的中點.求AM與

CN所成的角的余弦.（如圖3）（1992年高考題）

圖3

師：我們要求AM與GN所成的角，關(guān)鍵還是以概念為指導作出這個角，當

一次平移不行時，可用兩次平移的方法.在直觀圖中，根據(jù)條件我們?nèi)绾伟袮M

用兩次平移的方法作出與GN所成的角？

生：取AB的中點E,連BE,由平面兒何可知BE〃AM,再取EB,的中點F,

連FN由平面幾何可知FN〃BE,所以NF〃AM.所以NCNF即為AM與CN所成的

角.

在ACiFN中.由知院定理可求出CJT=BE=李加FN=1BE=

?■M

乎a,CjF=-^^a.由斜理.待

CM+FN】-鏟9+標-IP

2

cos^C|HF=

2?C[N?FN5

2?—a--a

師：還可以用什么方法作出A.M與C,N所成的角？

生：當BE〃AM后，可取CC中點G,連BG,則BG〃GN,

這時/EBG即為A[M與Cl而誡的角.在AEBGlt.BE=BG=^a,

而EG，=EC：+CiGi=#所如G=^岫融磔L將

51516,

-a—a—ac

CMZEBG=~~晝=

2,吏a,吏aI5.

22

師：這兩種解法都要用兩次平移來作出異面直線所成的角，現(xiàn)在我們來看例

4.

例4在長方體ABCD—ABCD中,AA,=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AG與

BD所成的角的余弦.（如圖4）

圖4

師：根據(jù)異面直線所成的角的概念，再根據(jù)長方體的基本性質(zhì)，如何作出

AG與BD所成的角。

生：連AC,設(shè)ACABD=O,則0為AC中點，取CC的中點F,

連OF,則OFZgAC「所以/FOB即為AC1與DB所成的角.在△FOB

甲,OB=gG+爐,OF=^V?a*ba*ca,*%,由例t

定理，得

y(aa*bJ)+b’+c')-(b'+

cosZFOB=4----------------------------------------—

2?亭’

4

師：想一想第二個解法

生：取AG中點0“BB中點G.在△CQG中，NCQG即

為AC】與BD所成的角.OIGZOB,CJG^BF,Oig=；ACi.由解法

一可知：

c?ZC101G=-==:'-y,==.

癡，+b'X?‘+b'+c')

師：想一想第三個解法.當然還是根據(jù)異面直線所成的角概念首先作出這個

角.有時可根據(jù)題目的要求在長方體外作平行直線.

生：延長CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE〃BD,所以NEAC

即為AG與BD所成的角.（如圖5）連EG,在

3

△AEC沖AE=ACt=Ja+b'+c'.CtE=.

由余弦定理，得

9+bb+(d+F

L?6W+J

Vo.

所以NEAC為鈍角.

根據(jù)異面直線所成角的定義，AG與BD所成的角的余弦為

師：根據(jù)這一道題的三種解法，我們可以看出，當用異面直線所成的角的概

念，作出所成的角，這時所作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰

補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個角的余弦的正、負

值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角.（異面直線所成