第1節隨機抽樣、統計圖表高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領航備考路徑新課標核心考點2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.隨機抽樣、統計圖表

第9題

第19題

第3題,第19題2.用樣本估計總體

第9題第9題

第19題第9題

3.成對數據的統計分析第19題第19題

第20題

優化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對本章一般命制1個題目,有時候是2個,并且多與概率知識綜合.既有選擇或填空題,也有解答題.從考查內容上看,主要考查統計圖表信息題,尤其是對頻率分布直方圖的理解與應用,以及樣本的數字特征和成對數據的統計分析.對數學建模、數據分析和數學運算的素養有一定的要求.復習策略:1.要重視百分位數、分層隨機抽樣中的樣本數字特征等.在理解的基礎上能熟練運用相關公式計算.2.要加強閱讀理解的訓練,本部分知識與實際聯系密切,一般閱讀量較大,需要平時多加訓練,抓住材料本質,提煉關鍵內容,通過數學建模達到處理題目信息的目的.3.重視對統計圖表信息題的訓練,此類問題常通過真實的統計圖表,以選擇題尤其是多選題的形式考查讀圖能力和數據分析的核心素養,是高考命題的熱點.課標解讀1.了解簡單隨機抽樣的含義,掌握兩種簡單隨機抽樣方法:抽簽法和隨機數法.了解樣本與總體的關系.2.了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍,了解分層隨機抽樣的必要性,掌握各層樣本量比例分配的方法.3.能根據實際問題的特點,設計恰當的抽樣方法解決問題.4.能根據實際問題的特點,選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述,體會合理使用統計圖表的重要性.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.簡單隨機抽樣(1)定義:一般地,設一個總體含有

個體,從中

抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本,如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率

,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣;如果抽取是不放回的,且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣.

(2)常用方法:

法和

法.

N(N為正整數)個

逐個

都相等

抽簽隨機數2.分層隨機抽樣一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個

,每個個體屬于且

一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的

合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為

.

分成的各層互不重疊

子總體僅屬于樣本層微點撥1.不論哪種抽樣方法,總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.2.分層隨機抽樣是按比例抽樣,每一層入樣的個體數為該層的個體數乘抽樣比.微思考簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣有什么共同點和聯系?提示

兩種抽樣方法的共同點、聯系及適用范圍:類別簡單隨機抽樣分層隨機抽樣共同點(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等(2)每次抽出個體后不再放回,即不放回抽樣聯系最基本的抽樣方法各層抽樣時,采用簡單隨機抽樣適用范圍總體個數較少總體由差異明顯的幾部分組成3.頻率分布直方圖為了將頻率分布表中的結果直觀形象地表現出來,常畫出頻率分布直方圖.畫圖時,應以橫軸表示分組、縱軸表示各組頻率與組距的比值,以各個組距為底,以各頻率除以組距的商為高,畫成小長方形,這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.每個小長方形的面積表示樣本落在該組內的頻率

微點撥1.極差為一組數據中最大值與最小值的差.2.所有小長方形的面積和等于1.誤區警示頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距,不要和條形圖混淆.常用結論在分層隨機抽樣中,如果第一層的樣本量為m,平均值為x;第二層的樣本量為n,平均值為y,則樣本的平均值為.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.在簡單隨機抽樣中,某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關,第一次被抽到的可能性最大.(

)2.分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關.(

)3.在分層隨機抽樣的過程中,哪一層的樣本越多,該層中個體抽取到的可能性越大.(

)4.在頻率分布直方圖中,小長方形的面積越大,表示樣本數據落在該區間的頻率越大.(

)×××√題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊9.2.1節例1改編)(多選題)空氣質量的指數AQI是反映空氣質量狀況的指數,AQI指數的值越小,表明空氣質量越好.AQI指數不超過50,空氣質量為“優”;AQI指數大于50且不超過100,空氣質量為“良”;AQI指數大于100,空氣質量為“污染”.下圖是某市2020年空氣質量指數(AQI)的月折線圖.下列關于該市2020年空氣質量的敘述中一定正確的是(

)某市2020年空氣質量指數(AQI)月折線圖

A.全年的平均AQI指數對應的空氣質量等級為優或良B.每月都至少有一天空氣質量為優C.2月,8月,9月和12月均出現污染天氣D.空氣質量為“污染”的天數最多的月份是2月份答案

ABC解析

每月的平均AQI指數都不超過100,故全年的平均AQI指數也不超過100,對應的空氣質量為優或良,故選項A正確;每月的AQI指數的最小值均不超過50,故每月都至少有一天空氣質量為優,選項B正確;2月,8月,9月和12月的AQI指數的最大值均大于100,故至少有一天出現了污染天氣,故選項C正確;2月,8月,9月,12月中空氣質量為“污染”的天數不確定,故選項D不一定正確.6.(人教A版必修第二冊習題5.1第5題)一支田徑隊有男運動員56人,女運動員42人,按性別進行分層,用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,如果樣本按比例分配,那么男、女運動員應各抽取多少名?解

運動員一共有98人,設男運動員應抽x人,所以

,解得x=16,則女運動員應抽取98-16=82(名).題組三連線高考7.(2023·新高考Ⅱ,3)某學校為了了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生,則不同的抽樣結果有(

)D8.(2022·天津,4)將1916年到2015年的全球年平均氣溫(單位:℃)共100個數據,分成6組:[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],并整理得到如下的頻率分布直方圖,則全球年平均氣溫在區間[14.35,14.75]內的有(

)A.22年

B.23年

C.25年

D.35年

B解析

依題意,全球年平均氣溫在區間[14.35,14.75]內的頻率是0.2×0.5+0.2×0.65=0.23,故全球年平均氣溫在區間[14.35,14.75]內的有100×0.23=23年.故選B.2研考點精準突破考點一抽樣方法(多考向探究預測)考向1簡單隨機抽樣例1利用簡單隨機抽樣,從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次C

考向2分層隨機抽樣例2(1)(2024·陜西咸陽模擬)為慶祝中國共產黨二十大勝利召開,某學校團委舉辦了黨史知識競賽(滿分100分),其中高一、高二、高三年級參賽選手的人數分別為1200,900,900.現用分層隨機抽樣的方法從三個年級中抽取樣本,經計算可得高一、高二年級參賽選手成績的樣本平均數分別為85,90,全校參賽選手成績的樣本平均數為88,則高三年級參賽選手成績的樣本平均數為(

)A.87 B.89

C.90

D.91C解析

由分層隨機抽樣定義可知,高一、高二、高三年級參賽選手的樣本數之比為1

200∶900∶900=4∶3∶3,設高三年級參賽選手成績的樣本平均數為x,則

=88,解得x=90,故高三年級參賽選手成績的樣本平均數為90.(2)(2024·河北秦皇島一中模擬)為實現鄉村生態振興,走鄉村綠色發展之路,鄉政府采用按比例分配的分層隨機抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環保調研,已知甲村和乙村人數之比是3∶1,被抽到的參與環保調研的村民中,甲村的人數比乙村多8人,則參加調研的總人數是(

)A.16 B.24

C.32

D.40A解析

設被抽取參與調研的乙村村民有x人,則甲村被抽取參與調研的有3x人,所以3x-x=8,解得x=4,所以參加調研的總人數為x+3x=16.[對點訓練1](1)(多選題)在100個零件中,有一級品20個,二級品30個,三級品50個,從中抽取20個作為樣本.方法1:采用簡單隨機抽樣的方法,將零件編號00,01,02,…,99,用抽簽法抽取20個.方法2:采用分層隨機抽樣的方法,從一級品中隨機抽取4個,從二級品中隨機抽取6個,從三級品中隨機抽取10個.對于上述問題,下列說法正確的有(

)A.不論采用哪種抽樣方法,這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都B.采用不同的方法,這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同

C.在上述兩種抽樣方法中,方法2抽到的樣本比方法1抽到的樣本更能反映總體特征D.在上述抽樣方法中,方法1抽到的樣本比方法2抽到的樣本更能反映總體的特征答案

AC解析

對于A,B,根據兩種抽樣的特點知,不論哪種抽樣,總體中每個個體被抽取的可能性都相等,都是

,故A正確,B錯誤;對于C,D,由于總體中有差異較明顯的三個層(一級品、二級品和三級品),故方法2抽到的樣本更有代表性,C正確,D錯誤.(2)(2024·山東濰坊模擬)某高中學校共有學生3600人,為了解某次數學文化知識競賽的得分情況,采用分層隨機抽樣的方法從這3600名學生中抽取一個容量為48的樣本,若從高一、高二、高三抽取的人數組成一個以4為公差的等差數列,則該學校高三年級的學生人數為

人.

1500

解析

設從高二抽取的人數為x,則高一抽取的人數為x-4,高三抽取的人數為x+4.所以3x=48,解得x=16,所以高三年級抽取了20人,由分層隨機抽樣的概念可知高三年級的學生人數為3

600=1

500.考點二統計圖表及應用(多考向探究預測)考向1扇形圖例3(多選題)(2024·廣東梅州模擬)某公司經營五種產業,為應對市場變化,在五年前進行了產業結構調整,優化后的產業結構使公司總利潤不斷增長,今年總利潤比五年前增加了一倍,調整前后的各產業利潤與總利潤的占比如圖所示,則下列結論錯誤的是(

)調整前

調整后

A.調整后傳媒的利潤增量小于雜志B.調整后房地產的利潤有所下降C.調整后試卷的利潤增加不到一倍D.調整后圖書的利潤增長了一倍以上答案

ABC解析

設調整前的各產業利潤的總和為a,則調整后的各產業利潤的總和為2a.對于選項A,調整前傳媒的利潤為0.1a,雜志的利潤為0.05a,調整后傳媒的利潤為0.24a,雜志的利潤為0.16a,則調整后傳媒的利潤增量為0.14a,雜志的利潤增量為0.11a,故選項A錯誤;對于選項B,調整前房地產的利潤為0.45a,調整后房地產的利潤為0.5a,故選項B錯誤;對于選項C,調整前試卷的利潤為0.15a,調整后試卷的利潤為0.46a,且

>3,故選項C錯誤;對于選項D,調整前圖書的利潤為0.25a,調整后圖書的利潤為0.64a,且

>2,故選項D正確.故選ABC.[對點訓練2](多選題)(2024·廣東中山模擬)航海模型項目在我國已開展四十余年,深受青少年的喜愛.該項目整合國防、科技、工程、藝術、物理、數學等知識,主要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行,普及船艇知識,探究海洋奧秘,助力培養未來海洋強國的建設者.某學校為了解學生對航海模型項目的喜愛程度,用比例分配的分層隨機抽樣法從某校高一、高二、高三年級所有學生中抽取部分學生做抽樣調查.已知該學校高一、高二、高三年級學生人數的比例如圖所示,若抽取的樣本中高三年級學生有32人,則下列說法正確的是(

)A.該校高一學生人數是2000B.樣本中高二學生人數是28C.樣本中高三學生人數比高一學生人數多12D.該校學生總人數是8000BC解析

由圖可知高三年級學生人數占總人數的40%,因為抽取的樣本中高三年級學生有32人,則抽取的學生總人數為

=80,則樣本中高一學生人數為80×25%=20,樣本中高二學生人數為80×35%=28,從而所抽取的樣本中高三學生人數比高一學生人數多32-20=12.因為從該校所有學生中抽取的學生總人數是80,但抽取的比例不知道,所以該校高一學生人數和該校學生總人數不能確定,所以AD錯誤,BC正確.故選BC.考向2條形圖、折線圖例4(多選題)(2024·江蘇南京、鹽城模擬)新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發動機汽車等.我國的新能源汽車發展開始于21世紀初,近年來發展迅速,連續8年產銷量位居世界第一.下面兩圖分別是2017年至2022年我國新能源汽車年產量和占比(占我國汽車年總產量的比例)情況,則下列敘述正確的是(

)2017~2022年我國新能源汽車年產量(單位:萬輛)2017~2022年我國新能源汽車占比(單位:%)A.2017~2022年我國新能源汽車年產量逐年增加B.2017~2022年我國新能源汽車年產量的極差為626.4萬輛C.2022年我國汽車年總產量超過2700萬輛D.2019年我國汽車年總產量不低于2018年我國汽車年總產量答案

BC[對點訓練3](1)(多選題)(2024·浙江寧波模擬)根據某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數據(單位:℃)繪制如下折線圖,那么下列敘述正確的是(

)A.5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關關系且為正相關B.9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C.最高氣溫的眾數為27℃D.5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大AC解析

由5號到11號的最低氣溫的散點分布是從左下到右上可知:最低氣溫與日期之間呈線性相關關系且為正相關,故A正確;由圖可知6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大,故B錯誤;最高氣溫27

℃出現了兩次,其他數據均出現1次,故27

℃是最高氣溫的眾數,故C正確;5號到15號的最低氣溫的極差小于15-3=12,5號到15號的最高氣溫的極差等于27-15=12,故D錯誤.故選AC.(2)(2024·四川南充模擬)一個高中研究性學習小組對本地區2020年至2022年菜鳥驛站發展情況進行了調查,制成了該地區菜鳥驛站站點個數情況的條形圖和菜鳥驛站各站點年快遞收發數量的平均數情況條形圖(如圖),根據圖中提供的信息可以得出這三年中該地區菜鳥驛站每年平均收發快遞

萬件.

菜鳥驛站站點

個數情況圖

菜鳥驛站各站點年收

發量平均數情況圖1400

解析

由圖可知,三年共收發快遞20×30+30×45+25×90=4

200萬件,所以這三年中該地區菜鳥驛站每年平均收發快遞

=1

400(萬件).考向3頻率分布直方圖例5(2021·全國甲,文2)為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:根據此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是(

)A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間C解析

該地農戶家庭年收入低于4.5萬