專題訓練1

13

22.如圖，拋物線丁=萬，一—9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,連接BC、AC。

(1)求AB和0C的長；

(2)點E從點A出發，沿x軸向點B運動(點E與點A、B不重合)。過點E作直線/平行BC,交AC于點

D?設AE的長為勿，^ADE的面積為s,求s關于0的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，連接CE,求4CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面

積(結果保留7)。

參考答案：

1,3

解：(1)令y=0,即一一一-9=0,

22%

整理得犬2一3x—18=0,

解得：X]=—3,x2-6,

：.A(—3,0),B(6,0)

令x=0,得y=-9,

.?.點C(0,—9)

/.AB=|6-(-3)|=9，0。=卜9|=9,

11Q|題22圖

(2)S.=—=—x9x9=—，

AABC222

J〃BC,

AADE^AACB,

?S_AE2S_m2

S?c研8192

2

S^-m2,其中0＜加＜9。

2

2=

(3)SSCDE=S^CE-5MO￡=^xmx9-^/n~+年，

981

當m=3時，S取得最大值，且最大值是

28

3

這時點E(--0),

2

BE=OB-OE=6-）=2,BC-yiOB1+OC2=A/62+92=35/13,

22

作EFJ_BC,垂足為F,

NEBF=/CBO,ZEFB=ZCOB,

.,.△EFB^ACOB,

9

.EFBEEF_2

OCCB93-713

EF=—V13.

26

/.0E的面積為：5=萬?￡尸2=萬乂（|^舊）=零萬

答：以點E為圓心，與BC相切的圓的面積為二729萬。

52

專題訓練2

25.有一副直角三角板,在三角板ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中，

ZFDE=90°,DF=4,1見=46.將這副直角三角板按如題25圖(1)所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA

與ED在同一條直線上.現固定三角板ABC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停

止運動.

(1)如題25圖(2),當三角板DEF運動到點D與點A重合時,設EF與BC交于點M,

則NEMC=度；

⑵如題25圖(3),在三角板DEF運動過程中，當EF經過點C時，求FC的長；

(3)在三角板DEF運動過程中,設BF=X,兩塊三角板重疊部分面積為y,求y與x的函數解析式,并求出對

應的x取值范圍.

參考答案：

解：⑴15；

ACA/3r-

(2)在RtZ\CFA中，AC=6,/ACF=/E=30°,.\FC=-------=6+—=443

cos3(T2

(3)如圖(4),設過點M作MN1AB于點N,則MN〃DE,ZNMB=ZB=45°,.,.NB=NM,NF=NB-FB=MN-x

VMN>7DE

.MNFNMNMN-x

.,.△FMN^FED,——，即一尸=-------

~DEFD4V34

：.MN=^^x

2

題25圖⑷

①當0WXW2時，如圖(4),設DE與BC相交于點G，則DG=DB=4+x

^y=S,BCD-SBMF=^DBDG-^BF.MN=^+xy-^x-^^x

即y=—ll^lx2+4x+8；

4

②當2<x<6—2有時，如圖⑸,

2

kSABCA-S3302一*M=?36一%

3+V3

即y=x2+18：

4

③當6-2有<》<4時，如圖(6)設AC與EF交于點H,

；AF=6-x,NAHF=NE=30°

AH=6AF=6(6-x)

1c

y=SAFHA=5(6-x).6(6-x)=3(6-x)2

綜上所述，當0WxW2時，y=-l±^ix2+4x+8

4

當2<X46—26，y=-3+^x2+1S

4

當6—26<x44時，y=y-(6-x)2

專題訓練3

25、如題25T圖，在aABC中，AB=AC,ADLAB點D,BC=lOczo,AD=8cm,點P從點B出發，在線段BC上以

每秒3c勿的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發，以每秒2金的速度沿DA

方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H,當點P到達點C時，點P與直線勿同時停止運動，設運動

時間為t秒(t>0)。

(1)當t=2時，連接DE、DF,求證：四邊形AEDF為菱形;

(2)在整個運動過程中，所形成的4PEF的面積存在最大值，當4PEF的面積最大時，求線段BP的長;

(3)是否存在某一時刻t,使4PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻I的值，若不存在，請說明理

題25-1圖題25備用圖

參考答案：

解：(1)當t=2時，DH=AH=4,由AD_LAB,AD_LEF可知EF〃BC

EH^-BD,FH^-CD

22

又,:AB=AC,AD±BC

,BD=CD

EH=FH

EF與AD互相垂直平分

圖25-1

二四邊形AEDF為菱形

(2)依題意得DH=2t,AH=8-2t,BC=10cz?,AD=8c/?,由EF〃BC知△AEFs/\ABC

,歿=變即.上"空

解得EF=10—

ADBC8102

???^--(110-j^5)-2^-j5/2+10/--|5(Z-2)2+10

即APEF的面積存在最大值10c一,此時BP=3X2=6cm。

(3)過E、F分別作EN_LBC于N,EMJ_BC于M,易知EF,=MN=10—工f

2

10-(10-；/)

EN=FM,由AB=AC可知BN=CM=----------=21

24

在放MCD和中，由tanC=—2=￡"，.即網=號

CDCM5{5

4

解得FM=EN=2t,又由BP=3f知CP=10-3f,

57Pm=10—3f—3，=10-17

PN=3t—j=-t,一t

4444

則EP2^(2t)2+(-i

353

FP2=(2/)2+(10-—Z)2=上產—857+100

416

E尸=(10—沙=—/2-50r+100

16

分三種情況討論:

，則口353—z2-50/+100,解得A=變，%=°(舍

①若/EPF=90。+—t2—85r+100=

161616'183

去）

,,,100285/+100=—r2,解得.=竺，々=4(舍

②若NEFP=90°,則一I2-50Z+100+—r2-

1616161172

去）

,則④1002L,、，?、353

③若NFEP=90°+——t-50/+100=—f2-85/+100.解得q=4,G=°(均舍

16161612

去）

上280T40

綜上所述,當/=——.或——時,△PEF為直角三角形。

18317

A

第25題備用圖

專題訓練4

25.如題25圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板與以△4加拼在一起，使斜邊〃1完

全重合，且頂點8,〃分別在力C的兩旁，NAB俏/ADO90°,ZCAD=30°,AB=B(=4cm.

(1)填空：AA(CR),DO(c/72)；

(2)點M,4分別從4點，C點同時以每秒1c勿的速度等速出發，且分別在CB上沿A-D,C-6的

方向運動，當A，點運動到尻點時，MA'兩點同時停止運動，連結助V；求當弘N點、運動了“秒時，點N

到的距離(用含x的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，取用中點只連結肺，陽設△8網的面積為y(癡)，在整個運動過程中，叢PMN

的面積y存在最大值，請求出這個最大值.

(參考數據：s〃75°,s"15°二瓜一五)

44

B

4M—D

題25圖

參考答案：

解：⑴2瓜;20；

(2)如圖，過點N作于反作ML%延長線于凡則NE=DF.

VZACD-600,N力叱45°,

:./NC273。,ZFNC=15°,

PC

sinl5°----,又NUx,

NC

.“V6-V2

..FC=---------x，

4

NE=DP-x+2y/2.

4

A

點N到AD的距離為L+2近的MED

4.9

監，

(3)Vsin75°=—,AFN=—

NC4

■:PAC用血,

...小逆苔x+=,

4

y='("+夜x+2瓜—x)(4x+24-2(2"一小應力(A".

244

（書與）

即J_&2aX+2后,

-84

7-73-272_

7-6-2及

當x=—4時’〃有最大值為

2x也芹網3

8

加2376+8^/3+972-16

即----------------------

16

專題訓練5

25、如圖12,BD是正方形ABCD的對角線，BC=2,邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記

為PQ,連接PA、QD,并過點Q作QOLBD,垂足為0,連接0A、0P.

(1)請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

(2)請判斷0A、0P之間的數量關系和位置關系，并加以證明；

(3)在平移變換過程中，設尸SA。%，BP=X(0WXW2),求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值.

圖12(1)圖12(2)“

參考答案：

解：(1)四邊形如鋁〃為平行四邊形；

(2)OA=OP,OALOP,理由如下：

??,四邊形/以力是正方形，

：.AB=BC=PQ,ZABO=ZOBQ=45°,

OQLBD,

???N戶0345°,

???N/陷/仍CN/UM5。,

???OB=OQ,

:.△AOB^XOPQ,

：?0A=OP,N/吠N/W,

：.ZAO/^ZBO^O°,

：.OA±OP；

(3)如圖，過。作膽火于￡

①如圖1,當點夕在點8右側時，

Y+2

則臥x+2,^―.

2

y=—xA+xx>BP^=—(x+lV--,

22-4V;4

又：0WxW2,

，當x=2時，y有最大值為2；

②如圖2,當點〃在6點左側時，

則的2-x,0件”三,

2

.12—X1f1\21

??y=^x2xx,En|nJy="—(x-1)+—?

又???0W%W2,

.?.當x=l時，y有最大值為:；

綜上所述，...當x=2時，y有最大值為2；

專題訓練6

23.已知頂點為A拋物線y=-2經過點1,2),點C(|,2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線與x軸相交于點軸相交于點E,拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一

點P,若N0PM=NM4F,求AP。石的面積；

⑶如圖2,點。是折線A-8-C上一點，過點。作QN//y軸，過點E作硒//無軸，直線QN與直線EN

相交于點N,連接QE,將AQEN沿QE翻折得到△QEN『若點乂落在x軸上，請直接寫出。點的坐標.

圖2

參考答案：

解：(D把點代入y=-2,解得：a=l,

???拋物線的解析式為：y=—2或y=x2_x—(；

(2)設立線A5解析式為：丁=履+〃，代入點A,B的坐標得:

-2^-k+b

2解得：卜一2

直線A3的解析式為：y=—2x—1,

b=-\

2=--k+b

2

易求E（0,l）,F（0,-1，M=，。,

若/OPM=/MAF,

CPCFj__4

則當OP//AF時，\OPE^\EAE,—T=3'

FAFE

4

22

44V5

OP=—FA=——6|+1—2H—

33243

22

解得4=---，，2=---,

1523

2

由對稱性知；當力=一亮時，也滿足NQPM=NM4尸,

15

2-2*都滿足條件

??"--，’2

153

???\POE的面積=gOE?卜|.\POE的面積為5或g.

專題訓練7

25.如題25-1圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=^x2+之叵x-遞與x軸交于點A、B（點A在點B右側）,

848

點D為拋物線的頂點.點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F,ACAD繞點C順時針旋轉得到aCFE,點

A恰好旋轉到點F,連接BE.

（1）求點A、B、D的坐標；

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（3）如題25-2圖，過頂點D作DD-x軸于點D“點P是拋物線上一動點，過點P作PM,x軸，點M

為垂足，使得APAM與aDDiA相似（不含全等）.

①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；

②直接回答這樣的點P共有幾個？

題25-1圖題25-2圖

參考答案:

⑴解:由尸/X2+典X-逋

+3）-2百得點D坐標為（-3,273）

848

令y=0得xi=-7,x2=l

?■?點A坐標為（-7,0）,點B坐標為（1,0）

（2）證明：

題25-1圖

過點D作DG，y軸交于點G,設點C坐標為（0,m）

AZDGC=ZF0C=90°,ZDCG=ZFCO

/.△DGC^AFOC

.DGCG

,FO-CO

由題意得CA=CF,CD=CE,ZDCA=ZECF,OA=1,DG=3,CG=m+2V3

VC01FA

FO=OA=1

3

十

m百

=

H-m(或先設直線CD的函數解析式為y=kx+b,用D、F兩點坐標求出y=V3x+

百，再求出點C的坐標)

二點C坐標為(0,V3)

；.CD=CE=也2+(Q+2鬲=6

VtanZCEO---73

FO

ZCF0=60°

...△FCA是等邊三角形

.,.ZCFO=ZECF

AEC/7BA

,/BF=B0-F0=6

.*.CE=BF

四邊形BFCE是平行四邊形

(3)解：①設點P坐標為(m,走m2+±叵m-2叵)，且點P不與點A、B、D重合.若^PAM與aDBA

848

相似，因為都是直角三角形，則必有一個銳角相等.由(1)得A?=4,DD,=2V3

(A)當P在點A右側時，m>l

(a)當△PAMsaDAD”則NPAM=/DAD”此時P、A、D三點共線，這種情況不存在

PMAD

(b)當△PAMS^ADM則/PAM=/ADD”此時——=——L

AMDD1

百，3g7V3

——nr+-----m--------.

衛----------------L=丁，解得3=-2(舍去)，叱=1(舍去)，這種不存在

m-12V33

(B)當P在線段AB之間時，

(a)當△PAMSADA。，則/PAM=NDA?,此時P與D重合，這種情況不存在

PMAD

(b)當△PAMS/\ADD”則NPAM=NADDI,止匕時——=——1

AMDD.

V33737V3

——m2+-----m-------.

--------------------=—產，解得niL—,m產1(舍去)

m-1--------------2-V33

(C)當P在點B左側時，m<-7

PMDD

(a)當△PAMS/XDADI,貝IJ/PAM=/DAD”此時——=——L

AMAR

V3373773

——nV2+-----m-------R

----------------,解得ni,=-11,m=l(舍去)

m-142

PMAD

(b)當△PAMs/\ADD“則NPAM=NADDI,此時——=——L

AMDD,

V33V37V3

—m2H------m-------.

----------4---------L=,解得m=-衛，|2=1(舍去)

m-12V33

537

綜上所述，點P的橫坐標為-11,,三個任選一個進行求解即可.

33

②一共存在三個點P,使得aPAM與△I)?A相似.

專題訓練8

25.如圖，拋物線丫=北走￡+。8+，與8軸交于A,8兩點，點A,B分別位于原點的左、右兩側,

6

60=340=3,過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D,BC=RD.

(1)求b,c的值；

(2)求直線的函數解析式；

(3)點尸在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點。在射線84上，當八鉆。與ABP。相似時，請喜談與

審所有滿足條件的點。的坐標.

參考答案：

解：⑴???80=349=3

/.A(-l,0),5(3,0)

3+6.n,.V3

-------A+c=0b=-l----

bl解得r-3

27+96-0nV33

-------------F3/7+C=0C=--------------

b22

……(3+揚2,63G

(2)?.?二次函數是N二'i——X*-1+—X-----

■6\3722

,:BC=/CD,B(3,0)

。的橫坐標為一百

=+1

D(-V3,V3+1)

g+l=-6k+b

設BD：y=kx+b則<解得J3

Q=3k+b

b=V3

一旦+6

直線8。的解析式為y

3

(3)(1-273,0)

(5-2^,0)

I3J

(4月-3n

3

7

專題訓練9

25.如圖，在菱形組?(力中，ZW=60°,48=2,點K為邊居上一個動點，延長力到點月使"':熊,

且CF、龍相交于點G.

備用圖

(1)當點￡運動到48中點時，證明：四邊形如5r是平行四邊形；

(2)當3=2時，求力后的長；

(3)當點C從點力開始向右運動到點6時，求點G運動路徑的長度.

參考答案：

解：(1)連接冰,,CE,如圖所示：

：.AE^AF=kAB,

2

:.EF=AB,

?.?四邊形4及力是菱形,

J.EF//AB,

四邊形力沈是平行四邊形.

(2)忤CHLBH,'設AE=FA=I小如圖所示,

???四邊形40是菱形，

???CD//EF,

???△切Gs△做;，

???CD―EF?

CGFG

:.FG=2m,

在RtZ\C如中，ZG?/=60°,BC=2,

sin60°="CH=M，

BC

cos60°=里BC=\,

BC

在RtZXO以中，CF=2+2m,CH=M，FH=3+m,

CP^C/f+F/f,

即（2+2加2=（73）2+（3+加2,

整理得：3//7+2///-8=0,

解得：Z77i=—,nk=-2（舍去），

3

4

?e*AE法，

（3）因"點沿線段"直線運動，尸點沿線段BA的延長線直線運動，并且CD//AB,線段皮與線段CF

的交點G點運動軌跡為線段/G,運動剛開始時，4、F、H、G四點重合，當〃點與6點重合時，G點運動

到極限位置，所以G點軌跡為