第1章.素養(yǎng)綜合檢測

（滿分100分，限時60分鐘）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（2022湖南永州寧遠期中）下列各組線段的長度能構(gòu)成直角三角形

的是)

A.5,12,13B.6,7,8

C.3,4,6D.7,12,15

2.如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為名則a的值是)

A.V3B.V3-1

C.V5-1D.V5

3.如圖，已知判定RtAABD和RtACDB全等的依據(jù)是

()

A.AASB.SAS

C.ASAD.HL

4.（2022湖南懷化淑浦期中）在RtAABC中,NACg=90。,。。是AB邊上的中線且

8=5,則AB的長是（）

A.20B.10

C.5D.2.5

5.（2022福建漳州三中期中）小華和小僑合作，用一塊含30。角的直角三角板和測量

長度的工具，測量學(xué)校旗桿的高度.如圖,SLAB,測得AD=Q.5米,CQ=6米,則學(xué)校

旗桿A8的高度為

A.6.5米B.(6將0.5)米

C.12.5米D.(6?+0.5)米

6.（2022湖南師大附中博才實驗中學(xué)期中）如圖所示，甲漁船以8海里州的速度離

開港口O向北偏東45。方向航行，乙漁船以6海里附的速度離開港口O向北偏西

45。方向航行，它們同時出發(fā),一個半小時后，分別到達點4、民此時甲、乙兩漁船相

A.12海里B.13海里

C.14海里D.15海里

7.（2021湖南岳陽長嶺中學(xué)期中）如圖，在△ABC中,NC=90o,NCA8的平分線AO交

BC于點D,BC=8,CD:BD=\：2,那么點D到AB的距

離是

C

I)

A1B

2

A2

-B

3

c

8

-D

3

,4

8.【主題教育?中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的

出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中:

今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折者高幾何?意思是一根竹子，原高一丈（1丈

=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，則折斷處離

地面的高度是（）

A.5.3尺B.6.8尺

C.4.7尺D.3.2尺

9.（2022湖南永州新田期中）如圖，在四邊形ABCD中，NA3C=

NADC=90。,分別以四邊為邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S

「來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是()

A.S甲=5丁

C.S甲+S乙二S丙+S丁D.S甲-S乙二5丙-S丁

10.如圖，在△ABC中平分NA3a4P_L5P于點尸，連接尸。,若4PAB的面積為6

cm2,APBC的面積為8cm2,IJlUPAC的面積為（）

p

RC

A.2cm2B.2.5cm2C.3cm2D.4cm2

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（2022廣西北海合浦期中）如圖，在△A3c中，/。=90。,4。平分

NC4B,3D=4,點D至I」AB的距離為2,貝IBC=.

12.（2022湖南岳陽臨湘期中）如圖，在RtAABC與RtADCB中，已知

NA=NO=90。,為了使RtAA3C0RS3CB,需添加的條件是（不添加字母和

輔助線）.

AD

8C.

13.已知△ABC的三邊長分別為a力,c,則下列條件中能判定△ABC是直角三角形的

是.（填序號）

①NA：ZB：ZC=3：4：6;

②a：b：c=l：3：2;

③NONA-NB;

@Z72=a2-c2.

14.（2022江蘇泰州中考）如圖所示的象棋棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”

從圖中的位置出發(fā),不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點與出發(fā)點

間的最短距離為

15.1學(xué)科素養(yǎng)?幾何直觀]（2022北京海淀期中）圖①是中國古代著名的“趙爽弦圖”

的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若直角三角形的一個銳角為30°,

將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，設(shè)A3=2,

則圖中陰影部分的面積為

16.【新考法】（2022湖北荊州中考）如圖，在RtAABC中,NAC8=90。,通過尺規(guī)作圖

得到的直線分別交A&AC于點連接CD.若CE=]E=1,則CD=.

三、解答題（共52分）

17.【新獨家原創(chuàng)】（6分）如圖，在四邊形A3CD中43〃8人?！?。,8￡_14。于點

EQ/LAC于點兒4/=。七,求證:RQABE^RtACDF.

18.(8分)在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架25米長的云梯AC,斜靠在一面墻上,

梯子底端。離墻20米,如圖.

(1)求這個梯子的頂端A距地面的高度;

(2)如果消防員接到命令，要求梯子的頂端上升4米(云梯長度不變),那么云梯底部

在水平方向應(yīng)滑動多少米?

19.(8分)如圖，乙43C=60。,點。在AC±,B￡)=16,DE±BC,DF±AB,JLDE=DF.求:

(l)NCB。的度數(shù)；

(2)DF的長度.

I)

REC

20.（8分）小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地A3CZ）（如圖所示）的周長，其

中邊8上有水池遮擋，沒有辦法直接測量其長度.小東經(jīng)測量得知AB=AO=30m,

ZA=60°,BC=40m,ZABC=150。.小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出四邊形

ABCD的周長.你同意小明的說法嗎?若同意，請求出四邊形ABCD的周長;若不同

意,請說明理由.

21.（10分）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某同學(xué)提出了

一種證明勾股定理的方法.如圖①，點B是正方形ACDE的邊CD上一點，連接AB,

得到直角三角形ACB,三邊長分別為小b、c,將△ACB裁剪拼接至△AEb的位置,

如圖②所示，該同學(xué)用圖①、圖②的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證

明勾股定理的過程.

圖①圖②

22.【學(xué)科素養(yǎng)?推理能力】（12分）已知在aABC中，乙4BC=90。,點E在直線A3上,

與直線AC垂直,垂足為D且點M為七。的中點，連接BM,DM.

⑴如圖①，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM/BMD與N3CZ）滿足的數(shù)量

關(guān)系,并直接寫出你得到的結(jié)論；

⑵如圖②，若點E在線段84的延長線上,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?寫出你的猜想

并加以證明.

8

E

AI)

圖①圖②

答案全解全析

l.AA.52+122=132,.?.能構(gòu)成直角三角形;B「.?62+72鄭5，不能構(gòu)成直角三角

形;C.:32+42知2,不能構(gòu)成直角三角形;D.:72+12V152,

...不能構(gòu)成直角三角形.

2.C由勾股定理得直角三角形的斜邊長=<#+22=遙,.?.斫西-1,故選C.

3.D'：AB.LBD,CD±BD,：.ZABD=ZCDB=90°,

“Q=CR

在RtAABD和RtACDB中,0八二C

IBU—UD,

：.RtAABD^RthCDB（HL）.

4.BZACB=90°,CD是AB邊上的中線，且CZ）=5,/.A6=2CO=10,故選B.

5.B由題意知/48。=30。,/8。。=90。,，8。=2。=12米，

：.BD=y/BC2-CD2=V122-62=673米，

VAD=0.5米,.?.A8=（6g+0.5）米，故選B.

6.D如圖，由題意易得3O=1.5x6=9（海里）2O=1.5x8=12（海里）,N1=N2=45。，

.??N403=90°,...A6=VB02+力。2=15（海里），即甲、乙兩漁船相距15海里，故選D.

O

7.C如圖，作DELAB于點E,?:BC=8,CD：BD=\：2,CD=p

o

A￡>平分NCAB,ZC=90°,DE=CD^,

即點。到AB的距離是方

C

I)

AB

8.D設(shè)竹子折斷處離地面的高度是％尺，根據(jù)勾股定理得12+62=（10㈤2,解得

x=3.2,

.??折斷處離地面的高度為3.2尺.

9.C連接4c（圖略），

由勾股定理得AB^B^ACMD^CD^AC2,

?\S甲+S『S丙+S丁，故選C.

10.A延長AP交于點。，如圖，

,:BP平分NABGAPLBP,

.../ABP=NDBP,/APB=NDPB=90。,

ZPAB=ZPDB,：.BA=BD,

,：BP工AD,AP=DP,S&PDB=S4PAB=6cm2,

22

?:5APBC=8cm,p8=2cm,

AP=DP,:.S&PAC=SAPDC=2cn?.故選A.

11.6

解析如圖，過點D作DEA.AB于點E,

AD平分ZCAB,：.DC=DE=2,

'：BD=4,：.BC=DC+BD=2+4=6.

A

12.A3=。。（答案不唯一）

解析（答案不唯一）可以添加A8=Z）C,

ZA=ZD=90°,BC=BC,AB=DC,RtAABC^Rt^DCB(HL).

13.③④

解析①：ZA：ZB：ZC=3：4：6,

6

ZC=xl80°#90°,

3+4+6

故^ABC不是直角三角形;

②言"：c=l：3：2,

設(shè)a=k,h=3k,c=2k(k>0),

?.?杉+(2身2學(xué)3女)2,

...我/地2,故448c不是直角三角形;

(3)ZC=ZA-ZB,：.ZA=ZB+ZC,

'：NA+N3+NO180。，

.,.2ZA=180°,.,./A=90。,故^ABC是直角三角形；

④h2=a2-c2,加+/=次，故4ABC是直角三角形.

14.V2

解析走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為乒TN=VI

15.8+4V3

解析如圖,/4。。=30。48=2,設(shè)AC=%,貝!JBC=AD=2+x,

,：ZADC=30°,：.CD=2AC,

在RtAADC中,C￡>2=A02+AG,

AD=y/3AC,2+x=y/3x,x=V3+1,/.AC=V3+1,

圖中陰影部分的面積=4x］力C2=4x|X(V3+1)2=4X(2+V3)=8+4V3.

E

16.V6

解析如圖，連接BE,,：CE=^AE=1,AE=3,

：.AC=4,\'MN為AB的垂直平分線，

：.AE=BE=3,

：.在RtAECB^,BC=y/BE2-CE2=242,

：.AB=y/AC2+BC2=2V6.

???CO為直角三角形ABC斜邊上的中線,

：.C*AB=E

17.證明,：AB//CD,AD//BC,

：.ZBAC=ZDCA,ZCAD=ZACB,

"：AC=CA,：.△AOC0△CBA(ASA),

：.DC=BA.'：AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF^\iAE=CF,

?.?3EL4c于點于點F,

二.ZAEB=ZCFD=90°,

在RtAABE與RtACDF中,

iAE=CFf

ARtAABE^RtAC￡>F(HL).

18.解析⑴由題意得AC=25米,8C=20米，

則AB=yjAC2-BC2=4625-400=15（米）.

（2）由題意得￡A=4米，則BE=19米，

BD=yjDE2-BE2=4625-361=2碗（米），

,.,3020米，

。=（20-2項）米.

，云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動（20-2夜）米.

19.解析（1）；DE_LBC,DF_LAB,且DE=DF,

：.BD平分NA3C,；ZABC=60°,

1

...ZCBD=-ZABC=30°.

2

⑵易知ZABD=ZCBD=30°.

BD=16,DF±AB,：.DF=-BD=-xl6=8.

22

20.解析同意小明的說法.

理由:連接BD,'：AB=AD=30m,ZA=60°,

...△A8D為等邊三角形，

：.BD=AB=AD