返回高等數(shù)學(xué)GAODENGSHUXUE典型例題分析第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課課堂練習(xí)內(nèi)容概括第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課1.了解無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散概念及性質(zhì),會(huì)利用比較法、比值法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性,會(huì)用萊布尼茲判別法判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性,了解絕對(duì)收斂與條件收斂概念.2.理解冪級(jí)數(shù)及收斂半經(jīng)的概念,掌握簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂半徑及收斂區(qū)間的求法.3.會(huì)用公式及性質(zhì)將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),了解冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)應(yīng)用.一、要求與重點(diǎn)

重點(diǎn)：無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散概念,正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,冪級(jí)數(shù)概念與收斂半徑求法，將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義與性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)冪級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)應(yīng)用收斂域與運(yùn)算第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法比較判別法斂散性質(zhì)定義級(jí)數(shù)發(fā)散交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)萊氏判別法判別級(jí)數(shù)類(lèi)型絕對(duì)收斂判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的過(guò)程第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

三、內(nèi)容概括1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

定義

若數(shù)列u1,u2,···,un,···，按其給定次序用加號(hào)將其連接起來(lái)所得和式簡(jiǎn)記為.稱(chēng)其為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)其第n項(xiàng)un為通項(xiàng)或一般項(xiàng).稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.若存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)的收斂，否則發(fā)散.第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.

性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)中加上、減去、更改有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.

性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和.定理級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

4.充要條件

定義

若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定理第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法

定理

設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與如果滿足條件則(1)若收斂，則收斂.(2)若發(fā)散，則發(fā)散.

定理

設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與，若極限則與同斂散.常用的比較級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)斂散性表達(dá)式p-級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)名稱(chēng)第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

收斂發(fā)散發(fā)散收斂第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

比值審斂法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)定理設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則時(shí)級(jí)數(shù)收斂;時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;時(shí)失效.根值審斂法(柯西判別法)定理

設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則時(shí)級(jí)數(shù)收斂;時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;時(shí)失效.定義

正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).即3.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

萊布尼茨定理

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值

定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).4.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

定理

若收斂，則收斂.定義

若收斂，則稱(chēng)為絕對(duì)收斂;若發(fā)散,而收斂,則稱(chēng)為條件收斂.5.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

定義

設(shè)是定義在上的函數(shù),則稱(chēng)為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù).第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

定義

如果，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，否則稱(chēng)為發(fā)散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為收斂域.

收斂域上級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)稱(chēng)為和函數(shù).

定義形如或的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).其中為冪級(jí)數(shù)系數(shù).6.冪級(jí)數(shù)第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

冪級(jí)數(shù)的收斂性

定理(Abel定理)如果級(jí)數(shù)在處收斂,則它在滿足不等式的一切x處絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.

定理如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散;

當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

定義

正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

定理

如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)且極限則（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)（3）當(dāng)時(shí)

收斂區(qū)間的求法：先求收斂半徑，再判別時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，得出收斂區(qū)間.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):（其中

）6.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

（1）（2）b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

（1）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).

（2）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積,且對(duì)可逐項(xiàng)積分.

（2）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)可逐項(xiàng)求導(dǎo).7.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

定義如果在點(diǎn)處任意階可導(dǎo)，則冪級(jí)數(shù)稱(chēng)為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù).

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

稱(chēng)為在點(diǎn)的麥克勞林級(jí)數(shù).

定理函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)，收斂于的充要條件為第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

定理如果函數(shù)在能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)則其系數(shù)且展開(kāi)式是唯一的.