第4講隨機事件與概率1.[多選]從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，則下列說法正確的有（BCD）A.至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件B.至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件D.至少有一個黑球與都是紅球是對立事件解析解法一（列舉法）設兩個紅球分別為a，b，兩個黑球分別為1，2.則從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，所有可能的情況為{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，共6種.對于A，至少有一個黑球與都是黑球都包含事件{1，2}，故二者不是互斥事件，A錯誤；對于B，至少有一個黑球與至少有一個紅球都包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，故二者不是互斥事件，B正確；對于C，恰好有一個黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，恰好有兩個黑球包含事件{1，2}，故二者是互斥事件，C正確；對于D，至少有一個黑球包含事件{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，都是紅球包含事件{a，b}，故二者是對立事件，D正確.故選BCD.解法二從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，設取出的黑球個數為X，則取出的紅球個數為2－X，X的所有可能取值為0，1，2.對于A，“至少有一個黑球”對應X≥1，即X＝1或X＝2，“都是黑球”對應X＝2.顯然當X＝2時，兩個事件同時發生，故A錯誤.對于B，“至少有一個黑球”對應X≥1，即X＝1或X＝2，“至少有一個紅球”對應2－X≥1，即X≤1，即X＝0或X＝1，顯然當X＝1時，兩個事件同時發生，故B正確.對于C，“恰好有一個黑球”對應X＝1，“恰好有兩個黑球”對應X＝2，顯然二者不能同時發生，是互斥事件，故C正確.對于D，“至少有一個黑球”對應X≥1，即X＝1或X=2，“都是紅球”對應2－X＝2，即X＝0，顯然二者不能同時發生，且二者的并事件包含X的所有取值，故兩事件是對立事件，故D正確.2.[命題點2/北京高考]電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.（1）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（2）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；（3）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？（只需寫出結論）解析（1）由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25＝50，故所求概率為502000＝（2）由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估計為1－3722000＝（3）增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.3.[2023濟南3月模擬]從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（C）A.310 B.12 C.35 解析如圖所示，正六邊形ABCDEF的外接圓為圓O，則AD，BE，CF均為圓O的直徑.從正六邊形的6個頂點中任取3個頂點，共有C63＝20（種）等可能結果.取定A，D兩點時，在B，C，E，F中任取一個點均可構成直角三角形，即此時可構成4個直角三角形；同理，當取定B，E兩點或取定C，F兩點時，均可構成4個直角三角形.故共可構成4×3＝12（個）直角三角形.所以所得三角形是直角三角形的概率P＝1220＝34.[多選]某次數學考試對多項選擇題的要求是：在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是（ABC）A.甲同學僅隨機選一個選項，能得2分的概率是1B.乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是1C.丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是1D.丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是1解析對于A，甲同學僅隨機選擇一個選項，有四種方式，即A，B，C，D，能得2分的選項為C，D，概率為12對于B，乙同學可能選擇的情況有AB，AC，AD，BC，BD，CD，僅在選CD時才能得5分，概率為16對于C，丙同學可能選擇的情況有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共15種，能得分的情況有C，D，CD，共3種，故丙同學能得分的概率為315＝1對于D，丁同學可能選擇的情況為AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11種，能得分的情況只有CD1種，故丁同學能得分的概率為111.故選5.[全國卷Ⅲ]若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的