第第頁試卷第=page22頁，共=sectionpages3333頁限時練習：40min完成時間：月日天氣：作業01相交線知識點1．相交線（1）相交線：兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交．相對的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數量關系和位置關系的有對頂角和鄰補角兩類．知識點2．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質：對頂角相等．（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．知識點3．垂線（1）垂線的定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．（2）垂線的性質在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．知識點4．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質：垂線段最短．正確理解此性質，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．知識點5．點到直線的距離（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．知識點6．同位角、內錯角、同旁內角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．（2）內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．（3）同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．（4）在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．題型一：基礎概念辨析1．下列能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A．兩釘子固定木條 B．木板上彈墨線C．測量跳遠成績 D．彎曲河道改直【答案】C【詳解】解：A、能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；B、能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；C、能用垂線段最短進行解釋，符合題意；D、能用兩點之間，線段最短進行解釋，不符合題意；故選C．2．下列說法不正確的是（）A．與是同位角 B．與是同旁內角C．與是內錯角 D．與是同位角【答案】D【詳解】解：A、與是同位角，故本選項不符合題意；B、與是同旁內角，故本選項不符合題意；C、與是內錯角，故本選項不符合題意；D、與不是同位角，故本選項符合題意；故選：D．3．如圖，，對于：①點C到直線的距離為3；②；③若點P為直線上的任意一點（不與點C重合），則線段的長度一定大于4．正確的是（

）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】A【詳解】①∵，點C到直線的距離為3，故①正確；②，，，，，，故②正確；③∵，點為直線上的任意一點，則線段的長度一定大于4，故③正確；故選：A．4．按下列要求畫圖并填空：如圖，直線和相交于點O，M是上的一點，

(1)過點M畫出直線的垂線，交直線于點N；(2)過點M畫出直線的垂線，垂足為點F；(3)點M到點N之間的距離是線段________的長；(4)點O到直線的距離是線段________的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)(4)【詳解】（1）解：如圖所示：直線即為所求：

（2）解：如上圖所示，直線即為所求：（3）解：點M到點N之間的距離是線段的長故答案為：，（4）解：點O到直線的距離是線段的長，故答案為：題型二：對頂角的計算5．如圖，直線，相交于點，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵直線，相交于點，，∴，∵，∴．故選：C．6．如圖，直線相交于點O，，平分，求的度數．【答案】【詳解】解：因為，，所以．因為平分，所以．所以．題型三：鄰補角的計算7．如圖，直線和相交于點O，，那么下列選項中與互為鄰補角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：直線和相交于點O與互為鄰補角的有：，，故選：A8．如圖，直線，相交于點O，把分成兩部分．(1)的對頂角為__________，的鄰補角為__________；(2)若，且，求的度數．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：的對頂角為，的鄰補角為，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴題型四：與直線垂直有關的角度計算9．如圖，直線相交于點O，，垂足為點O，若，則．【答案】/【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．10．如圖所示，直線與直線相交于點平分，．(1)若，求的度數；(2)猜想與之間的位置關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【詳解】（1），，平分，，；（2）解：，理由如下：設，，，平分，，，，，，．11．如圖，點是直線上的一點，，，平分．(1)試說明；(2)求的度數．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴，∴；（2）∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．12．（23-24七年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，l是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點A，小球從B到C從左向右擺動，在這一過程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是（

）A．變短 B．變長 C．先變短，后變長 D．先變長，后變短【答案】D【詳解】解：如圖，過點A作軸與點E，交弧于點G，由“垂線段最短”可知，，，，即，，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是：先變長，后變短，故選D．13．如圖，直線相交于點，，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A、直線相交于點，（對頂角相等），故本選項說法正確，不符合題意；B、直線相交于點，（對頂角相等），，，故本選項說法正確，不符合題意；C、無法判斷與是否相等，故原說法錯誤，符合題意；D、三點共線，，故本選項說法正確，不符合題意；故選：C．14．如圖，直線，交于點，，，平分．給出下列結論，其中正確的結論是（

）①當時，；

②平分；③與相等的角有3個；④．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【詳解】解：①，，∴，，，當時，，∴，∵平分，∴，故①正確；②不能證明，無法證明為的角平分線，故②錯誤；③平分，．直線，交于點，．，，與相等的角有三個，故③正確；④，，，故④正確；所以正確的結論有①③④．故選：C．【點睛】本題考查了垂線，余角、對頂角以及角平分線的性質，注意結合圖形，發現角與角之間的關系，難度適中．15．下圖是投影屏上出現的搶答題，需要回答括號內符號所代表的內容，則回答錯誤的是（

）如圖，是直線上一點，，是的平分線，于點．求的度數．（請補全下面的解題過程）解：是直線上一點，，§．是的平分線，@．（角平分線的定義）．于點，（已知），（&）__#_．

A．“§”表示130 B．“@”表示C．“&”表示垂直的定義 D．“#”表示35【答案】D【詳解】解：是直線上一點，，．是的平分線，．（角平分線的定義）．于點，（已知），（垂直的定義）．綜上所述，“§”表示130；“@”表示；“&”表示垂直的定義；“#”表示25；故選：D．16．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，于點D，，若點E在邊（不與點A，B重合）移動，則線段最短為【答案】6【分析】此題主要考查了垂線段的性質，三角形的面積公式，根據“垂線段最短”得：當時，為最短，然后根據三角形的面積公式求出即可．【詳解】根據“垂線段最短”得：當時，為最短．∵，∴，∵，，∴．∴的最短為．故答案為：．17．如圖，直線b、c被直線a所截，如果，，那么與其內錯角的角度之和等于．【答案】/135度【分析】本題考查了三線八角，對頂角、鄰補角性質，解題的關鍵在于找準的內錯角，再根據對頂角、鄰補角性質求解，即可解題．【詳解】解：，的內錯角為，，，與其內錯角的角度之和為，故答案為：．18．如圖，點是直線上的一個動點，點是直線外一定點，現給出以下結論：①點在運動過程中，使直線的點有兩個；②若，當點從出發，沿射線的方向運動時，先變大再變小；③若，則三角形的面積是三角形的面積的倍；④當時，線段的長度就是點到直線的距離．其中正確的是．(寫出所有正確結論的序號)【答案】②④【詳解】解：①點在運動過程中，使直線的點有兩個，說法錯誤，只有一個；②若，當點從出發，沿射線的方向運動時，先變大再變小，說法正確；③若，則三角形的面積是三角形的面積的倍，說法錯誤，因為點在線段點左邊或在點右邊時，但點不是線段中點，不能使三角形的面積是三角形的面積的倍；④當時，線段的長度就是點到直線的距離，說法正確．綜上，正確的是②④，故答案為：②④．19．如圖，為了探清一口深井的底部情況，在井口放置一面平面鏡可改變光路，此時，當太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡與地面的夾角°．

【答案】71【詳解】∵,∴,∵,∴∵,∴,∴.故答案為：.20．一副直角三角尺疊放如圖所示，現將的三角尺固定不動，將含的三角尺繞頂點A順時針轉動（旋轉角不超過180度），使兩塊三角尺至少有一組邊互相垂直．則的度數為．

【答案】或或或【詳解】解：當時，如圖所示：

∵，∴，∴，∴；當時，如圖所示：

此時；當時，如圖所示：

此時；當時，如圖所示：

此時；綜上分析可知：的度數為或或或．故答案為：或或或．21．如圖，點都在格點上（小正方形的頂點叫做格點），

(1)請僅用無刻度的直尺完成畫圖（不要求寫畫法）．①過點畫直線的平行線，并標出直線所經過的格點；②過點畫直線的垂線，并標出直線所經過的格點及垂足；(2)線段______的長就是點到直線的距離；(3)比較大小：______（填“”“”或“”）【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)；(3)．【詳解】（1）解：①如圖所示，直線即為所求；②如圖所示，直線即為所求；

（2）解：線段的長度是點到直線的距離，故答案為：；（3）解：，故答案為：．22．如圖，直線、相交于點，，．(1)寫出的所有補角，并說明理由；(2)若，求的度數．【答案】(1)是的補角，理由見解析；(2)．【詳解】（1）的補角有和，理由如下：∵，∴是的補角，∵，，∴，∵，，∴，∴是的補角；（2）∵，∴，解得．23．如圖，點在直線上，，射線在內部．

(1)如圖1，當時，用量角器畫出射線，求度數：(2)如圖2，當時，，垂足為點，求度數．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：如圖1，射線即為所畫的射線，

，，，；（2）解：如圖2，當在上方時，

，，，如圖3，當在下方時，

，，，．綜上所述：或．24．直線、、相交于點O，且，平分．(1)如圖1，①的余角有________________．（填寫所有符合情況的角）②若，求的度數．(2)如圖2：探究與是否存在數量關系，如果存在，請直接寫出與的數量關系，若不存在，請說明理由．【答案】(1)①；②(2)【詳解】（1）解：①，，，，，的余角有，故答案為：；②，，，，，平分，，設，則，，，；（2）解：，理由如下：，，，即，平分，，，即，，．25．數學課上，老師給出如下問題：直線、相交于點O，，平分，射線，求的度數．小麗：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖1，因為射線，（已知）所以______°．（_______________________）因為與互補，，（已知）所以______＝______°．（_______________________）因為平分，（已知）所以______°．（_______________________）因為是直線下方的一條射線，所以______°．(1)請補全小麗的解答過程；(2)小聰說：“小麗的解答并不完整，符合題意的圖形還有一種情況．”請在圖2中畫出小聰說的另一種情況，并解答．【答案】(1)，平面上一條直線與另一條直線相交并成直角，這兩條直線互相垂直；，在同一平面內，如果兩個角的和等于，那么這兩個角互補；，一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線；(2)見解析【詳解】（1）解：∵，∴，（平面上一條直線與另一條直線相交并成直角，這兩條直線互相垂直）∵與互補，，∴，（在同一平面內，如果兩個角的和等于，那么這兩個角互補）∵平分，∴，（從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線）∵是直線下方的一條射線，∴．（2）解：當射線在直線的上方時，如圖，∵，∴，∵與互補，，∴，∵是直線上方的一條射線，∴．【點睛】本題考查垂線的定義、補角的定義、角平分線的定義、角的和差運算，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．26．點為直線上一點，在直線同側任作一個，使得．(1)如圖1，過點作射線，當恰好為的角平分線時，請直接寫出與之間的倍數關系，即______（填一個數字）；(2)如圖2，過點作射線，使恰好為的角平分線，另作射線，使得平分，求的度數；(3)在（2）的條件下，若，作射線，使得，求的度數．【答案】(1)2(2)，詳見解析(3)或，詳見解析【詳解】（1）；理由如下：∵．∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴；故答案為：2；（2）∵為的角平分線，平分，∴設，∴，∴，∴；（3）由（2）知，，∵，∴，∴，∴，∴∴，當在左側時，，，當在右側時，．27．問題提出已知一副直角三角尺按如圖方式拼接在一起，其中與直線重合，，．（1）在圖中，的度數為______．問題探究（2）如圖，三角尺固定不動，將三角尺繞著點以每秒的速度順時針方向旋轉，且在旋轉過程中，兩塊三角尺均在直線的上方．設三角尺的旋轉時間為秒，當平分時，請求出的值．問題解決（3）如圖，若三角尺繞著點以每秒的速度順時針方向旋轉的同時，三角尺也繞著點以每秒的速度逆時針方向旋轉．在旋轉過程中，兩塊三角尺均在直線的上方，且當三角尺停止旋轉時，三角尺也停止旋轉．設三角尺的旋轉時間為秒．在旋轉過程中，是否存在某一時刻？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒【詳解】解：（1）∵，，∴,故答案為：；（2）當邊平分時，∵，∴，∴旋轉角為：，∴（秒）；（3）存在，理由是：在旋轉過程中，，當在左側時，∵，∴，解得：；當在右側時，∴綜上：的值為秒或秒．28．張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上．如圖①，是量角器的直徑，點是圓心，教鞭與重合，直角三角板的一個頂點放在點處，一邊與重合，．如圖②，現將教鞭繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉，同時將直角三角板繞點逆時針方向以每秒的速度旋轉，當與重合時，三角板和教鞭同時停止運動．設旋轉時間為秒．(1)在旋轉過程中，求的度數（用含的代數式表示）．(2)在旋轉過程中，當為何值時，．(3)在旋轉過程中，若射線，，中的兩條射線組成的角（指大于0°而不超過180°的角）恰好被第三條射線平分，求出此時的值．【答案】(1)或度或(2)當秒時，(3)當秒或秒或秒時，射線，，中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分【詳解】（1）解：如圖1，∵，．∴．；（2）如圖2，∵當時，，∴，解得：（秒）．∴當秒時，；（3）分3種情況：①如圖3，當平分時，．∴，解得：（秒）．②如圖4，當平分時，．∴，即解得：（秒）．③如圖5，當平分時，．∴．解得：（秒）∴綜上所述，當秒或秒或秒時，射線，，中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分．29．（2022·北京·中考真題）如圖，利用工具測量角，則的大小為（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【詳解】解：量角器測量的度