4.4積分計算4.4.1換元積分法4.4.2分部積分法4.4.1換元積分法

1．不定積分的換元法

將復合函數的微分法反過來用于積分，得到一種有效的積分方法，稱為換元積分法．通常把換元積分法分成兩類：第一換元積分法和第二換元積分法.(1)第一類換元積分法(湊微分法)定理4.4

若，且是可導函數，則有用上式求不定積分的方法稱為第一類換元積分法或湊微分法．用湊微分法求函數不定積分的思路可用下式表示：湊微分基本公式變量替換變量回代例4.1

求解

湊微分法的關鍵是將被積函數中的哪一部分湊成這是一種技巧，需要掌握一些湊微分的形式，歸納如下：（1）線性函數：（）．（2）冪函數：（3）指數函數：（4）三角函數：（5）其他函數：

例4.2

求解

例4.3

求解

例4.4

求．解

．例4.5

求解

類似可得

例4.6

求解

．因為所以上述不定積分又可以表示為同理可得例4.7

求解

例4.8

求解

例4.9

求解

(2)第二類換元積分法定理4.5(第二類換元積分法)，如果，則有單調可導，且函數應用第二類換元積分法求不定積分的思路為：連續，設函數例4.10

求解，則,于是

．令一般的，積分中出現根式(為正整數)，這種換元稱為根式置換，目的是使積分有理化．積分計算完成后，還要換回到原來的變量，這叫回代．，則可作代換例4.11

求解

，于是令圖4．9為把還原成的函數，可以根據作一輔助直角三角形，如圖4．9所示，于是例4.12

求解

令．由作輔助三角形，如圖4．10所示，得，因此圖4．10如果積分中出現的根式內含有二次多項式，直接置換無法有理化，但用三角函數可以奏效，這種代換稱為三角代換．三角代換有三種形式：(1)含根式時，可作代換(2)含根式時，可作代換(3)含根式時，可作代換從上面的例子看出，第二類換元積分法主要解決根式有理化問題．積分中出現根式，當用直接積分法和湊微分法無法解決時，就要考慮實施第二類換元積分法．當根號內為一次式時，用根式置換；當根號內為二次式時，用三角代換．2．定積分的換元法

定理4.6（1）在區間[

，

]上單調且有連續導數的值在上變化，（2）當在區間[

，

]上變化時，則有上連續，在區間若函數滿足下列條件：函數且【注意】換元必換限．原上限對新上限，原下限對新下限．例4.13

求半徑為的圓的面積．解

令

，則

當時，；當時，圓的面積可以表示為根據定積分的幾何意義，如圖4．11，由圖形的對稱性，所以所以，圓的面積為例4.14

設函數在區間上連續,則（2）當為奇函數時，為偶函數時，（1）當證由定積分的區間可加性，有令，則有為偶函數，（1）因為所以代入上式得即例4.15

求解的奇函數也不是的偶函數，的偶函數，但是是是的奇函數，于是有所給積分區間為對稱區間，而被積函數既不是4.4.2分部積分法1．不定積分的分部積分法移項得根據乘積的微分公式對等式兩邊求不定積分，得具有連續導數，

設函數上式稱為不定積分的分部積分公式．利用上式求不定積分的方法稱為分部積分法．分部積分公式和換元積分公式一樣，也提供了積分轉化的機會．這個公式說明，如果計算積分較困難，而積分容易計算，則可以利用分部積分法計算．應用分部積分法求不定積分的思路為：例4.16

求解函數，這個過程可通過湊微分來實現．例4.17

求解

運用分部積分法，首先要公式化，以便顯示例4.18

求解

其中對再用一次分部積分公式，得【注意】有些不定積分需要多次使用分部積分法才能得到結果．例4.19

求解

．例4.20

求解

例4.21

求解

移項，得

于是

2．定積分的分部積分法設函數在區間上有連續導數，則有上式稱為定積分的分部積分公式．例4.22

計算解

．例4.23

計算解

．例4.24

計算解令則當時，于是；當時，被積函數中有無理式，通常要先用換元法使被積函數有理化．4.4.3小結重點:不定積分與定積分的