第2課時基本不等式的應用

課堂探究?素養提升——強化創新性

題型1利用基本不等式證明不等式［經典例題］

2u2r2

例1已知〃、b、c>0,求證：—a4--1——^a+h+c.

bca

判的i。，b,c,-j,

2

狀元隨紇22疝1--F2a

b

—,土均大孑0

方法'la林i

(1)在利用a+b，2前時，一定要注意是否滿足條件a>0,b>0.

(2)在利用基本不等式a+6》2相或早2面(。>0,。>0)時要注意對所給代數式通過

添項配湊，構造符合基本不等式的形式.

(3)另外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用.

跟蹤訓練1已知x>0,y>0,z>0.

求證：e++

\xx/\yy/\zz/

分別對乂+三，-+乙+Y用基本不等式n同向不等式相乘.

xxyyzz

題型2利用基本不等式解決實際問題

［教材P71例3］

兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；

兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值.

例2(1)已知矩形的面積為100,則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？

最短周長是多少？

(2)已知矩形的周長為36,則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是

多少？

【分析】在⑴中，矩形的長與寬的積是一個常數，要求長與寬之和的兩倍的最小值;

在(2)中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數，要求長與寬的積的最大值.

【解析】⑴設矩形的長與寬分別為x與y,依題意得孫=100.

因為x>0,y>0,所以節10,

所以2(x+y)240.

當且僅當x=y時，等號成立，由1x=y，可知此時

(xy=100

x=y=10.

因此，當矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40.

(2)設矩形的長與寬分別為x與y,依題意得2(x+y)=36,即x+y=18.

因為x>0,y>0,所以弓=等>，對，

因此J討W9,即xyW81.

當且僅當x=y時，等號成立，由］x=y,可知此時

(x+y=18

x—y—9.

因此，當矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81.

教材反思

利用基本不等式解決實際問題的步驟

解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數

及不等式性質等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

(1)理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數.

(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題.

(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值.

(4)正確寫出答案.

跟蹤訓練2某漁業公司今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費

用12萬元.從第二年起包括維修費在內每年所需費用比上一年增加4萬元.該船每年捕撈總

收入50萬元.

(1)問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？

(2)問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少？

狀元隨筆1.盈利等于總收入一支出，注意支出，由兩部分組成.

2.利用基本不等式求平均利潤.

第2課時基本不等式的應用

課堂探究?素養提升

例1【證明】?.&b,c,1，三均大于0,

___bca

???1+心2l^b=2a.

bb

2

當且僅當a時等號成立.

-+c^2l--c^2b.

C\C

當且僅當Q=c時等號成立.

c___

-+a^2l--a=2c,

ayJa

當且僅當貯=。時等號成立.

a

a2u2r2

相加得7~+方+—+c+—+422〃+2/?+2C,

bca

：.^-+-+-^a+b+c.

bca

跟蹤訓練1證明：因為x>0,y>0,z>0,

所以沁孑2亞>0,

XXX

。匕2>0,

yyy

。生返>0,

zzz

所以G+'G+'G+D2當叵匣返=8,當且僅當x=y=z時等號成立.

\xx/\yy/\zz/xyz

跟蹤訓練2解析：(1)設該船捕撈”年后的總盈利y萬元.則

>=50"-98-[12xn+x4)

=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,

???當捕撈1