期中考測(cè)試（基礎(chǔ)）

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2021?四川資陽(yáng)）已知復(fù)數(shù)卷

=()

1-1

A3in13i33i1i

C.——D.一+一

22222222

【答案】A

2-i_(2-i)(l+i)3+i_3i

【解析】1-i一(1-i)(l+i)-2一T+".故選：A.

22

2.（2021?四川資陽(yáng)）已知平面向量；（L2）,b=（-2,t）.若落區(qū)，則f=（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄浚?。，2）,否=（—2/）且入?yún)^(qū)，所以lxf=2x（-2）,解得：LY.故選：D

3.（2021?廣東?普寧市華僑中學(xué)）已知非零向量海滿足同=煙=0且（萬(wàn)+5）,則￡與3的夾

角為（）

71-兀「71c71

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【解木斤】（2G-l（a+b）^2a-bj-（a+b）=2d2+ab-b=2+萬(wàn)?5-2=0,

■-a-b=0,￡與石的夾角為gIT，故選：D

2

4.（2021?河南三門(mén)峽）如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75。，30°,此時(shí)氣

球的高是60m,則河流的寬度8c等于（）

A.240(V3-l)mB.18O(0-l)mC.120(百-l)mD.30(g+l)m

【答案】C

【解析】如圖所示,

A,30°

陷廠一

60ml\、、、、

心…一二

DBC

過(guò)點(diǎn)4作力〃，必，且交⑦的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，歷60°,/期ZM5°,

...tan60°-tan45°^3-1,/r

tanl5°=tan（z60°-45°oX）=---------------------=--產(chǎn)=2—J3.

'7l+tan60°tan45°l+g

在/中，0>/aan60°=60石，在股△/如中，仍=4aanl5°=60（2-6），所以BOCD~BD=

60G-60（2-g）=120（6-1）（m）.

故選：C

5.（2021?河南南陽(yáng)）在4人8c中，a,b,c分別是角A,B,C對(duì)邊的長(zhǎng)，根據(jù)下列條件解三角形，有

兩解的是（）

A.a=7,匕=14,4=30°B.。=30,6=25,A=l50°

C.a=72,b=5O,A=135°D.a=30,6=40,A=26°

【答案】D

214

【解析】根據(jù)正弦定理：三=名

T^77，sinB=l,8=90。，有一解,A不滿足;

sinAsinB

2

3025zx

硒，而5=透鞏。,71都有斛B不滿足;

￡

6

2

72=50

25>/2,Befo兀ol有一解，C不滿足;

&sinB,sinB=

724

2

3040?X。.4sin2604sin30°2c

---------=-------,sin26<sin8o=---<---=-,0<ZB<154°,有兩解,D滿足.

sin26°sinB

故選：D.

（。?安徽?六安一中）若干白會(huì)）是純虛數(shù)，滿足（

6.221z?Z2a+-p=5,則復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

4-1=0

［解析］【『霜是純虛數(shù),故.a=\此時(shí)Z[=-i

1+1(1+1)1件1-1)I-"2)!a+1NO

z,(a+l—zj=5,所以Zz(2+i)=5,即z2=魯=/(,、=2—i,所以復(fù)數(shù)z?在夏平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

2+1(2+i)(2-i)

(2,-1)位于第四象限.故選：D

7.(2021?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué))在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,已知3=45。，a=2五，

為使此三角形有兩個(gè)，貝伊滿足的條件是()

A.2cz><20B.0</?<2C.0<b<272D.夜或分=2

【答案】A

【解析】如下圖所示：

因?yàn)锳ABC有兩解，且8=45。，4=2夜，則asinB<6<a,即2<匕<2&.故選：A.

8.(2021?黑龍江?鐵人中學(xué))定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算￡合石=忖卡卜山?石)，則關(guān)于空間向量上述

運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有()

A.

B.(a?石)?c=

C.(a+q<8)c=(a(8)c)+(B8c)

D.若。二(%,y),8二(和力)，則aM=|%y2fl

【答案】D

【解析】A.(>l?)?=|>l6z||^|sin<A,a,b>,

4>0時(shí)，<Aa,b>=<a,b>,(/la)?b=/l|67||5|sin<a,b>=2(ti0S),

"=0時(shí),2(a?5)=0,(2a)06=0,成立，

%<0時(shí),<Aa,b>=7r-<a,b>,sin<Aa,b>=sin(乃一<a,b>)=sin<a,b>

(Aa)?b=-21^||&|sin<a,b>=-/t(a?b),

綜上，A不恒成立；

B.￡麗是一個(gè)實(shí)數(shù)，(￡甌)③2無(wú)意義，B不成立；

C.若a=(0,1),石=(1,0),2=(1,1),則￡+〃=(□),

<^+S,c>=0,(n+Z?)0c=pz+^||c-|sin0=V2xV2x0=0,

--71:'--71

<a,c>=一,vb,c>=一,

44

(a③c)+0?c)=Ix>/2xsin?+1x&xsin?=2,

(3+5)③2x(3③")+(很兇,,C錯(cuò)誤；

D.若”=(占,乂)，b=(^x2,y2),則卜卜Q(chēng)x；+y；,|^|=yjx1+y；,

COS<斕>=,中2+中

Jx：+y：x&+￡

2

sin<a,h>=1/1-cos<a,h>=h(書(shū)+丫跖>

V(x；+y；)@+￡)J(x；+y；)(x；+￡)

所以￡0B=忖欠sin<ayb>=\xiy1-x2y\,成立.

故選：D.

二、多選題（每題至少有2個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?福建?莆田第十五中學(xué)）若復(fù)數(shù)2=衿，則（）

1-1

A.z的實(shí)部與虛部之差為3B.|z|=V17

C.z=4+iD.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【答案】BCD

(3-5i)(l+i)8-2i

【解析】z=4-zz的實(shí)部與虛部之差為5,故A錯(cuò),

22

|2|=^4+(-1)=717,故B對(duì)，z=4+z,故C對(duì),

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,故D對(duì),故選：BCD.

10.（2021?江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué)高一月考）已知M為AABC的重心，。為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的

是（）

A.AD=^-AB+\ACB.MA+MB+MC=0

22

___2__i_____i__2__

C.BM=-BA+-BDD.CM=-CA+-CD

3333

【答案】ABD

【解析】如圖，根據(jù)題意得用為A。三等分點(diǎn)靠近。點(diǎn)的點(diǎn).

對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得而=1而+故A正確；

22

對(duì)于B選項(xiàng)，彼+砒=2礪，由于M為AD三等分點(diǎn)靠近。點(diǎn)的點(diǎn)，宓=-2而，所以何+礪+砒=6,

故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，BM=BA+-AD=BA+-^BD-BA^=-BA+^Bb,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，GM=CA+|AD=C4+|（C￡>-C4）=1C4+|CD,故D正確.

故選:ABD

AB

11.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）下列命題中，正確的是（）

A.在A/WC中，A>B,sinA>sinB

B.在銳角AA3C中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在AA8C中，若acosA=bcos8,則AMC必是等腰直角三角形

D.在A48C中，若8=60°,b2=ac,則A48c必是等邊三角形

【答案】ABI）

【解析】對(duì)于A,由A>3，可得：a>b,利用正弦定理可得：sinA>sinB.正確;

TT

對(duì)于5,在銳角AABC中，A,Be（0,-）,

sinA>sin(--B)=cosB,因此不等式sinA>cosB恒成立,正確；

2

對(duì)于C,在AABC中，由.cosA=bcosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB.

sin2A=sin2B,

?..A,B￡(0,/r),

.?.2A=23或2A=2加一28,

、7C

;.A=B或A+B-,

2

...AABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯(cuò)誤.

對(duì)于￡>，由于3=60",b1=ac>由余弦定理可得：h2=ac=a2+c2-ac,

可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A=C=B=60°,故正確.

故選：ABD.

12.(2021?廣東?東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校)已知i為虛數(shù)單位，下面四個(gè)命題中是真命題的是()

A.3+i>2+iB.4+(a+2)i(aeR)為純虛數(shù)的充要條件是a=2

C.z=(l+i)2(l+2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-4,2)D.z=老的模為平

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，故A為假命題；

對(duì)于B,q2-4+(“+2)i(aeR)為純虛數(shù)，

\2A

所以；+[])，解得。=2，當(dāng)。=2時(shí)，〃_4+(a+2)i(awR)為純虛數(shù),

所以4+(4+2)MwR)為純虛數(shù)的充要條件是〃=2,故B真命題;

對(duì)于C,因?yàn)閦=(l+i)2(l+2i)=2i(l+2i)=T+2i,

所以z=(l+i)，l+2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-4,2),故C為真命題;

1+i(l+i)(2+i)1+3i

對(duì)于D,2^i-(2-i)(2+i)-^-所以|z|=,故D為真命題.

故選：BCD.

三、填空題(每題5分，4題共20分)

13.（2021?吉林長(zhǎng)春）已知復(fù)數(shù)z=l+i（i是虛數(shù)單位），貝?z|=.

【答案】V2

【解析】由z=l+i,得|2|=廬下=應(yīng)；故答案為：V2.

14.（2021?河南三門(mén)峽?高三月考（文））設(shè)九B為單位向量，且它叫=6,則'+』=.

【答案】6

【解析】因?yàn)锽為單位向量，且歸-q=6,

所以|力『=3,即？一2泊+抹=3,所以標(biāo)=一；.

所以12a+4=J"+0=J（2a+t>）=>/￡+4；:+%=，4-2+1=6.故答案為:@.

15.（2021?海南?北京師范大學(xué)萬(wàn)寧附屬中學(xué)高三月考）如圖，為測(cè)量山高/,選擇A和另一座山的山頂歸山

為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從M8=MC點(diǎn)測(cè)得“ABC點(diǎn)的仰角APOM,C點(diǎn)的仰角/C43=45。，以及/M4C=75。；

從C點(diǎn)測(cè)得/MC4=6O。，已知山高3c=100m,則山高M(jìn)V=m.

【答案】150

【解析】在直角AABC中，ZC4B=45°,BC=100m,所以AC=100&m,

在AA例C中，ZMAC=75,ZMCA=60,從而NM4C=45，

由正弦定理得4MACsin6°=100^m,

sin45s

在直角中，AM=100>/3m,AMAN=60,

MNr-

又由-；77=sin60,可得MV=10()Kxsin60=15()m.

AM

故答案為：150

16.(2021?江西贛州)AA3C的內(nèi)角/、B、。的對(duì)邊分別為a、b、c,已知ccosB+^AinC-〃=0,設(shè)〃

為AB邊的中點(diǎn)，若。。=夕且63。=23。，則8C=.

【答案】2

【解析】由正弦定理可得：sinCcosB+—sinBsinC-sinA=0.又在三角形中，sinA=sin(8+C),

3

/o

/.sinCeosB4--^-sinBsinC=sin(B+C)=sinZ?cosC+cosBsinC,——sinBsinC=sin3cosc.

33

乂在三角形中，sinB>0?/.^sinC=cosC?tanC=V3.'**Ce(0,zr),C=y.

由點(diǎn)〃為AB的中點(diǎn)，CBC=2BD,得6BC=AB即G〃=C,

而c2=a2+廿-ab得廿一ab-2a2=0得/?=2。或\=-?(舍去)，

/.cosB=a'+C~~b'=0,則8=工，在△5CD中有，CD=不由BC=2BD,B=%,

2ac22

則BO?+BC?=CD?,解得BC=2,即a=2.

故答案為:2.

四、解答題(17題10分，其余每題12分，共70分)

17.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(/+5m+6)+(瘍-2加-15"

(1)與復(fù)數(shù)2-12，相等

(2)與復(fù)數(shù)12+16/互為共軌復(fù)數(shù)

(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方.

【答案】(l)m=-l(2)m=l(3)m<-3或m>5.

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得

+5m+6=2

解得m=-1.

-2,??-15=-12

(2)根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義得

m1+5m+6=12

解得m=l.

m2-2m-15=-16

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸的上方可得m2—2m—15>0,解得m<—3或m>5.

18.(2021?山西懷仁)在448。中，內(nèi)角4、B、。的對(duì)邊分別是a、b、c,ZA=p6=5時(shí).

⑴若。=7,求c；

(2)記。=成，AABC是直角三角形，求A的值.

【答案】(1)8(2)%=3或%=2叵

33

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理得°2=〃+。2-勸ccosA,A72=52+c2-2x5ccosy

即C2-5C—24=0，C>0,所以C=8.

(2)AABC是直角三角形，

若NB=—,則tanA=—=tan—=乖>,k=—=,

2c3a3

若NC=[,則sinA=g=sin?=立，k=巫.故k力或k二”.

19.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))要將一件重要物品從某港口。用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇

出發(fā)時(shí)，輪船位于港口0北偏西30°且與該港口相距20海里的4處，并正以30海里/B寸的航行速度沿正東

方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)1小時(shí)與輪船相遇.

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最短，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/忖，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，

使得小艇能在最短時(shí)間內(nèi)與輪船相遇，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)306海里/W；(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里H寸，理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s,

貝Is=7900/2+400-2x30/x20xcos(90o-30°)

=4900/-6()07+400=/00錯(cuò))+300,

,10后

故當(dāng)時(shí)，海里，y=1=30石，

33

即小艇以306海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最短.

(2)設(shè)小艇與輪船在6處相遇，如圖所示,

貝!!//N00均00產(chǎn)一2X20X30fXcos（90。-30°）,即J=900-竿+等.

'.'0<^r^30>900-600T■—^W900,即-y—°W0,解得.又匕—-時(shí)，(z=30.

tttt33

2

故『40時(shí)，，取得最小值，且最小值等于

此時(shí)，在[\0AB中，有OA=OB=AB心,

故可設(shè)計(jì)航行方案如下:航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里麗.

此時(shí)小艇能在最短時(shí)間內(nèi)與輪船相遇.

20.（2021?浙江?高一單元測(cè)試）已知在△ABC中，cosA=—,〃也c分別是角ARC所對(duì)的邊.

3

⑴求tan2A；

'，c=2A/2，求△A3c的面積.

（2）若sin^+B

【答案】（1）2及；（2）半.

【解析】（1）因?yàn)閏osA=半且Aw（0,1）,sinA=A/1-cos2A=等?

.sinAV2

??tanA4=-------=—

cosA2

-42tanArr

,?tan2A=-------z-=2j2

1-tan2A

]=述，得八述

⑵由sinj^+Bcos

）33

由Bw（0,乃），所以sin8=Jl-cos?B=—，

3

則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=,

,十#csmAc

由正弦定理，Z得H”=.=2,

smC

二△ABC的面積為S=-acsinB=述

23

21.（2021?福建漳州?高一期末）如圖，在直角回中，點(diǎn)〃為斜邊理的靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，點(diǎn)￡為

/〃的中點(diǎn)，AB=3,AC=6

B

D

A

⑴用而，元表示而和麗；

(2)求向量麗與反夾角的余弦值.

【答案】(1)AIUOT=-2A皿B+-]AHCU,E―B-=-2A―B---1A-C,-(2)-V

3336130

【解析】(1)因?yàn)椤樾边?c,的靠近點(diǎn)6的三等分點(diǎn)，

所以8力=2BC=±(AC-AB)=-AC-2A8,

3333

uumUUDuuu2I

所以AD=/W+8O=-A8+—AC,

33

因?yàn)橄樵隆ǖ闹悬c(diǎn)，

所以荏=：亞=福+：/卜;而十熹正，

所以由=AQ-ZE=—A*--AC,

36

(2)EC=AC-