第8講函數模型的應用1.[2024合肥市二檢]Malthus模型是一種重要的數學模型.某探討人員在探討一種細菌數量N（t）與時間t的關系時，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0時刻的細菌數量，e為自然對數的底數.若t時刻細菌數量是t0時刻細菌數量的6.3倍，則t約為（ln6.3≈1.84）（C）A.2 B.3 C.4 D.5解析因為t時刻細菌數量是t0時刻細菌數量的6.3倍，所以N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3，則0.46t＝ln6.3≈1.84，得t≈4.故選C.2.[2024山西晉中模擬]2024年5月10日21時22分，搭載天舟六號貨運飛船的長征七號遙七運載火箭，在我國文昌航天放射場點火放射，約10分鐘后，天舟六號貨運飛船與火箭勝利分別并進入預定軌道.據測算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料質量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質量m（單位：kg）的函數關系為v＝2ln（1＋Mm）.若火箭的質量約為3100kg，火箭的最大速度為11km/s，則火箭須要加注的燃料質量約為（參考數值：ln244.69≈5.50，結果精確到0.01t，1t＝1000kg）（BA.890.23t B.755.44tC.244.69t D.243.69t解析由2ln（1＋M3100）＝11，得ln（1＋M3100）＝5.5，1＋M3100≈244.69，M3100≈243.69，所以M≈3100×243.69＝755439kg3.[2024北京高考]在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”運用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了確定條件下二氧化碳所處的狀態與T和lgP的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是（D）A.當T＝220，P＝1026時，二氧化碳處于液態B.當T＝270，P＝128時，二氧化碳處于氣態C.當T＝300，P＝9987時，二氧化碳處于超臨界狀態D.當T＝360，P＝729時，二氧化碳處于超臨界狀態解析對于A選項，當T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026＞lg103＝3時，依據圖象可知，二氧化碳處于固態；對于B選項，當T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈（lg102，lg103），即lgP∈（2，3）時，依據圖象可知，二氧化碳處于液態；對于C選項，當T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987＜lg104＝4時，依據圖象可知，二氧化碳處于固態；對于D選項，當T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈（lg102，lg103），即lgP＝lg729∈（2，3）時，依據圖象可知，二氧化碳處于超臨界狀態.故選D.4.[多選/2024廣東七校聯考]盡管目前人類還無法精確預報地震，但科學家經過探討，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE＝4.8＋1.5M，則下列說法正確的是（ACD）A.地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級為七級B.八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C.八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍D.記地震里氏震級為n（n＝1，2，…，9），地震釋放的能量為f（n），則f（n+1解析對于A，當E＝1015.3時，由題意得lg1015.3＝4.8＋1.5M，解得M＝7，即地震里氏震級為七級，故A正確；對于B，八級地震即M＝8，由lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，所以E11015.3＝1016.對于C，六級地震即M＝6，由lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，解得E2＝1013.8，所以E1E2＝1016.81013對于D，由題意得f（n）＝104.8＋1.5n，則f（n+1）f（n）＝105.[2024江蘇常州模擬]牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：θ＝（θ1－θ0）e－kt＋θ0，其中t為時間（單位：min），θ0為環境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度.假設在室內溫度為20°C的狀況下，一杯飲料由100℃降低到60℃須要20min，則此飲料從60℃降低到25℃須要60min.解析由已知得（100－20）e－20k＋20＝60，得e－20k＝12，－20k＝ln12，k＝ln220，由（60－20）e－tln220＋20＝25，得e－tln220＝6.某污水處理廠為使污水經處理后達到排放標準，須要加入某種藥劑，加入該藥劑后，藥劑的質量濃度C（單位：mg/m3）隨時間t（單位：h）的變更關系可以近似地用函數C（t）＝100（t+1）t2+4t+19刻畫，由此可以推斷，經過3解析依題意t＞0，所以t＋1＞1，所以C（t）＝100（t+1）t2+4t+19＝100（t+1）（t+1）2+2（t+17.[2024寧夏銀川一中模擬]某公司經過測算，支配投資A，B兩個項目.若投入A項目資金x（單位：萬元），則該項目一年創建的利潤為x2（單位：萬元）；若投入B項目資金x（單位：萬元），則該項目一年創建的利潤為f（x）＝10x（1）當投入A，B兩個項目的資金相同且B項目比A項目一年創建的利潤高時，求投入A項目的資金x（單位：萬元）的取值范圍.（2）若該公司共有資金30萬，全部用于投資A，B兩個項目，則該公司一年分別投入A，B兩個項目多少萬元時，創建的總利潤最大？解析（1）當0≤x≤20時，由x2＜10x30－x，解得10＜x≤20；當x＞20時，由x2＜20綜上，投入A項目的資金x（單位：萬元）的取值范圍為（10，40）.（2）設對A項目投入資金x萬元，0≤x≤30，則對B項目投入資金（30－x）萬元.設創建的總利潤為W（x），則W（x）＝x2＋f（30－x）＝當10≤x≤30時，W（x）＝x2＋10（30－x）x＝x2＋300x－10，由對勾函數的圖象和性質可得，當x＝106時，W（x）取得最小值，又W（10）＝25＞W（30）＝15，故W（x）的最大值為25.（W（x）在[10，30]上與對勾函數相像，其最小值在x＝106處取得，且當0≤x＜10時，W（x）∈[20，25）.綜上，當投入A項目10萬元、投入B項目20萬元時創建的總利潤最大.8.[2024江蘇省南京市第九中學模擬]天宮空間站的軌道高度為400～450千米，傾角為42～43度，設計壽命為10年，長期駐留3人，總質量可達180噸，以進行較大規模的空間應用.某項試驗在空間站進行，試驗起先時，某物質的含量為1.2mg/cm3，每經過1小時，該物質的含量就會削減20％，若該物質的含量不超過0.2mg/cm3，則試驗進入其次階段，那么試驗進入其次階段至少須要（須要的小時數取整數，參考數據：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（B）A.7小時 B.8小時C.10小時 D.11小時解析設試驗進入其次階段至少須要的小時數為n（n∈N*），由題意得，1.2×0.8n≤0.2，即（54）n≥6，兩邊取以10為底的對數可得lg（54）n≥lg6，即nlg（5×28）≥lg2＋lg3，所以n≥lg2+lg31－3lg2，因為lg2≈0.30，lg3≈0.48，所以lg2+lg31－3lg2≈0.30+0.481－3×0.30＝7.8，所以n≥9.[多選/2024安徽六校聯考]某地下車庫在排氣扇發生故障的狀況下測得空氣中一氧化碳含量達到了緊急狀態，經搶修，排氣扇復原正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為81ppm，接著排氣4分鐘后又測得濃度為27ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分鐘）之間存在函數關系y＝f（t），其中f'(t）f（t）＝R（R為常數）（注：[lnf（x）]'＝f'(x）fA.R＝－ln3B.R＝eC.排氣20分鐘后，人可以平安進入車庫D.排氣24分鐘后，人可以平安進入車庫解析因為[lnf（t）]'＝f'(t）f（t）＝R（R為常數），所以lnf（t）f（t）＝eRt＋C，由題意可得方程組81=e4R＋C，27=e8R＋C，解得R＝－ln34，C=5ln3，故A正確，B錯誤；此時f（t）＝e－ln34t+5ln3，排氣20分鐘后，f（20）＝e－ln34×10.[2024河北省衡水市第十三中學模擬]為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區以“綠水青山”為主題，特殊制作了旅游紀念章，并確定近期投放市場.依據市場調研狀況，預料每枚紀念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下表上市時間x/天2632市場價y/元1486073（1）依據上表數據，從①y＝ax＋b（a≠0），②y＝ax＋b（a≠0），③y＝alogbx（a≠0，b＞0，b≠1），④y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）中選取一個恰當的函數描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的（2）記你所選取的函數y＝f（x），若對隨意x∈[k，＋∞）（k＞0），不等式kf（x）－32k－210≥0恒成立，求實數k的取值范圍.解析（1）由題表知，隨著時間x的增大，y的值先減小后增大，而所給的函數y＝ax＋b（a≠0），y＝ax＋b（a≠0）和y＝alogbx（a≠0，b＞0，b≠1）在（0，＋∞）上明顯都是單調函數，不滿意題意，故選擇y＝ax＋bx（a＞0，b＞0把（2，148），（6，60）分別代入y＝ax＋bx（a＞0，b＞0），得2a＋所以y＝2x＋288x，x∈（0，＋∞）.經檢驗，（32，73）在y＝2x＋288xy＝2x＋288x≥22x·288x＝48，當且僅當2x＝288x時，即x＝12時，故當該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元.（2）原不等式可以整理為f（x）≥32＋210k，x∈[k，＋∞因為對隨意x∈[k，＋∞）（k＞0），不等式kf（x）－32k－210≥0恒成立