2023-2024學年度上海市田家炳特色課程班九下5月月考卷（滿分：150分考試時間：100分鐘）一、選擇題（共24分）1.通過嚴格實施低碳管理等措施．2022年北京冬奧會和冬殘奧會全面實現了碳中和．根據測算．北京冬奧會三個賽區的場館使用綠電4億千瓦時，可以減少燃燒12.8萬噸標準煤，減少排放二氧化碳32萬噸．實現了“山林場館.生態冬奧”的目標．將32萬這個數用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，先將32萬表示成數的形式，再按科學記數法要求表示即可．解：萬，根據科學記數法要求，的3后面有5個數位，從而用科學記數法表示為，故選：D．【點睛】本題考查科學記數法，按照定義，確定與的值是解決問題的關鍵．2.關于x一元二次方程有一個根是，則另一個根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系解答即可.解：設方程的另一個根為，則，解得：；故選：A.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，若是方程的兩個根，則.3.我國古代數學著作《九章算術》中記載：“今有大器五小器一容九斛，大器一小器五容三斛，問大小器各容幾何”其大意為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒9斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒3斛．問1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？若設1個大桶可以盛酒x斛，1個小桶可以盛酒y斛，根據題意，可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據“5個大桶加上1個小桶可以盛酒9斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒3斛”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：依題意，得：，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．4.演講比賽共有8位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分，這6個有效評分與原始評分相比，不變的數字特征是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差【答案】B【解析】【分析】根據題意，由中位數、平均數、方差、眾數的定義，判斷即可．解：根據題意，將8個數據從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分．這6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分數不變，即不變的數字特征是中位數，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了平均數、中位數、眾數、方差的意義．平均數是指一組數據中所有數據之和再除以數據的個數；中位數是指將一組數據從小到大或者從大到小重新排列后，最中間的那個數；一組數據中出現次數最多的數叫做眾數；一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差．5.如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的圓心坐標是，將沿x軸正方向平移，使與y軸相切，則平移的距離為（）A.1 B.1或5 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，分圓心在y軸的左側和y軸的右側兩種情況，根據半徑等于圓心到直線的距離寫出答案即可，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑，注意分類討論．解：當位于y軸的左側且與y軸相切時，此時圓心P到y軸的距離是2，P的坐標為，所以平移的距離為；當位于y軸的右側且與y軸相切時，此時圓心P到y軸的距離是2，P的坐標為，所以平移的距離為，故選：B．6.如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查動態問題與函數圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當與重合時，及當時圖象的走勢，和當時圖象的走勢即可得到答案．解：當與重合時，設，由題可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴當時，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，當在下方時，設，由題可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴當時，，∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．二、填空題（共48分）7.因式分解：＝________．【答案】【解析】分析】提公因式，即可解答．解：故答案為：【點睛】本題考查了提公因式法進行因式分解，解決本題的關鍵是熟記提公因式法．8.若關于的一元二次方程的兩個根均為正整數，寫出滿足條件的一個的值為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式組的應用，熟練求解一元二次方程是解題的關鍵，先解一元二次方程，然后根據個根均為正整數列不等式組求解即可．解：∵，∴，∴，，∵關于的一元二次方程的兩個根均為正整數，∴，且為正整數，解得，且為正整數，∴可以為故答案為：（答案不唯一）．9.已知代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_____________．【答案】##【解析】【分析】利用二次根式被開方數是非負數，分式的分母不等于零解題即可．解：依題意，得，

解得．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．考查了二次根式的意義和性質．概念：式子

叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．10.方程有兩個實數根，則實數m的取值范圍為__________【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和解不等式等知識點，由已知中關于x的方程有兩個實根，則方程的，由此構造一個關于m的不等式，解不等式即可得到實數m的取值范圍，其中根據已知條件，結合一元二次方程的根的情況，構造一個關于m的不等式，是解答本題的關鍵．∵方程有兩個實數根，∴，∴或，故答案為：或．11.計算：______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查實數混合運算，原式分別化簡，，，，然后再合并即可得出答案解：，故答案為：212.___________【答案】【解析】【分析】本題考查了向量的加減，根據向量的加減運算法則計算即可得出答案．解：，故答案為：．13.生肖也稱屬相，是中國傳統文化中的一種記年方式，是一種十二年一個循環的紀年系統，每年用一種動物來代表，是由十二地支演變而來的．小明手繪了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準備將其中的兩張送給好朋友小亮．小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上（手繪生肖卡背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了求概率．熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率，是解決問題的關鍵．畫樹狀圖列舉出所有等可能情況，看所求的情況占總情況多少，即可．畫出樹狀圖，共6種等可能結果，恰好抽到子鼠和丑牛的結果有2種，∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率為，．故答案為：．14.莜麥是世界公認的營養價值很高的糧種之一．某莜麥標準化種植基地在改良前總產量為，改良后總產量不變，但種植面積減少了25畝，平均畝產量為原來的1.5倍，則改良前的平均畝產量為_______【答案】【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，設改良前的平均畝產量為，則改良后的平均畝產量為，根據“改良后總產量不變，但種植面積減少了25畝”列出分式方程，解分式方程即可得出答案．解：設改良前的平均畝產量為，則改良后的平均畝產量為，由題意得：，解得：，經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，∴改良前的平均畝產量為，故答案為：．15.如圖，的內切圓與、、分別相切于點、、，且，的周長為14，則的長為______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關鍵．根據切線長定理得到，，，由的周長為14，可求的長．解：與，，分別相切于點，，，，，，的周長為14，，，．故答案為：516.正八邊形中心角的正切值為_________【答案】【解析】【分析】本題考查了中心角的概念、特殊角的三角函數值，先求出正八邊形的中心角為，再根據特殊角的三角函數值即可得出答案．解：正八邊形的中心角為，∴正八邊形中心角的正切值為，故答案為：．17.在平面直角坐標系中，我們把橫坐標和縱坐標互為相反數的點稱為“相反點”，例如點，．．．．，都是“相反點”，若二次函數的圖象上有且只有一個“相反點”，當時，二次函數的最小值為，最大值為，則的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的最值、二次函數與一元二次方程等知識點，把代入二次函數得出，根據二次函數的圖象上有且只有一個“相反點”，得出，即有且只有一個根，推出，求出，，從而得出，最后由二次函數的性質即可得出答案．解：∵點是二次函數的“相反點”，∴，∴，∵二次函數的圖象上有且只有一個“相反點”，∴，即有且只有一個根，∴，∴，解得：，∴，∴，∴二次函數的圖象的對稱軸為直線，函數的最大值為，當時，，解得：，，∴當時，函數的最小值為，最大值為，故答案為：．18.如圖，已知正方形的邊長為4，E是邊延長線上一點，，F是邊上一點，將沿翻折，使點E的對應點G落在邊上，連接交折痕于點H，則的長為__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查正方形與折疊，勾股定理與折疊，正確求出和的長度是解題關鍵．根據正方形和折疊的性質結合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可．解：∵正方形的邊長為4，∴，，∴．由翻折可知，，，，∴，∴．設，則，．在中，，即，解得：，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：．三、解答題（共78分）19.計算：．【答案】0【解析】【分析】先根據絕對值的意義，分數指數冪，負整數指數冪和零指數冪的運算法則進行化簡，然后再根據實數混合運算法則進行運算即可．解：原式【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握絕對值的意義，分數指數冪，負整數指數冪和零指數冪的運算法則，是解題的關鍵．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程和解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步驟．先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行求解即可．解：，，，，，，，檢驗，當時，，∴是原方程的解，當時，，∴不是原方程的解．21.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點A作⊙O的切線，交BC的延長線于點D，取AD的中點E，延長CE交BA的延長線交于點P．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）AB＝2AP，AB＝8，求AD的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接AC，OC，欲證PC是⊙O的切線，只需證明OCP＝90°即可．（2）利用直角三角形斜邊上的中線證明AOC是等邊三角形，進而可得BD＝2AD，運用勾股定理即可得到解答．【小問1】證明：連接AC，OC，

∵AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，∴BAD＝ACB＝90°，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE＝CE，∴ACE＝CAE，∵OC＝OA，∴OAC＝OCA，∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°，∴OCP＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；【小問2】解：∵AB＝2AP，AB＝2AO，∴AP＝AO，∵OCP＝90°，∴AC＝OA＝OC，∴AOC是等邊三角形，∴AOC＝60°，∴B＝30°，∵BAD＝90°，∴BD＝2AD，在RtADB中，∵，∴，∴AD＝．【點睛】本題考查了切線的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、含30°的直角三角形的性質和勾股定理的應用，解決本題的關鍵是掌握以上基本的性質并加以運用．22.某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動豐富同學們的居家生活．由1至4號的專業評委和5至10號的大眾評委進行評分．例如A節目演出后各個評委所給分數如下：評委編號12345678910評分/分7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4評分方案如下：方案一：取各位評委所給分數的平均數，則該節目的得分為．方案二：從評委所給的分數中先去掉一個最高分和一個最低分，再取其余八位評委所給分數的平均數，則該節目的得分為．回答下列問題：（1）小樂認為“方案二”比“方案一”更合理，你______小樂的說法嗎（填“同意”或“不同意”）？理由是______；（2）小樂認為評分既要突出專業評審的權威性又要尊重大眾評審的喜愛度，因此設計了“方案三”：先計算1至4號評委所給分數的平均數，5至10號評委所給分數的平均數，再根據比賽的需求設置相應的權重（表示專業評委的權重，表示大眾評委的權重，且）．如：當時，則．該節目的得分為．Ⅰ．當按照“方案三”中評分時，A節目的得分為______；Ⅱ．關于評分方案，下列說法正確的有______．①當時，A節目按照“方案三”評分的結果比“方案一”和“方案二”都高；②當時，A節目按照“方案三”和“方案一”評分結果相同；③當時，說明“方案三”評分更注重節目的專業性．【答案】（1）同意，理由見解析；（2）Ⅰ．7.68；Ⅱ．①③．【解析】【分析】（1）根據算術平均數的概念和意義，即可得到答案；（2）I．根據，直接代入數據，即可求解；Ⅱ．根據對①②③進行判斷，即可得到結論．【小問1】解：同意小樂的說法，理由是：評委的評分常帶有主觀性，去掉最高分和最低分，能夠使評分更具公平性．【小問2】解：I．∵，，，，∴，∴A節目的得分為：7.86；Ⅱ．①當時，A節目按照“方案三”評分的結果=，比“方案一”和“方案二”都高，故原說法正確；②當時，A節目按照“方案三”的評分結果，與“方案一”的評分結果不一樣，故原說法錯誤；③當時，A節目按照“方案三”的評分結果，與“方案一”的評分結果一樣；當時，說明專業評委的權重占比大于大眾評委的權重，即“方案三”評分更注重節目的專業性，故原說法正確；綜上所述：①③正確．【點睛】本題主要考查平均數，掌握算術平均數和加權平均數的定義，是解題的關鍵．23.平面幾何圖形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．（1）一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；（2）學完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．【答案】（1）（2）的面積為84；邊上得高的長為12【解析】【分析】（1）利用兩個公式分別代入即可；（2）設，則，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可．【小問1】解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．【小問2】解：設，則，，，，，解得；∴∴．∴．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關鍵．24.在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點和點（點在點的左側），與軸交于點，對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達式；（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點（點在點的左側），且，點關于直線的對稱點為，求線段的長；（3）點是該拋物線上一點，且在第一象限內，聯結、，交線段于點，當時，求點的坐標．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．【解析】【分析】（1）根據拋物線與軸交于點可得出c的值，然后由對稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；

（2）令y=0得出關于x的一元二次方程，求出x，可得出點A、B的坐標，從而得到AB的長，再求出MN的長，根據拋物線的對稱性求出點M的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標，再根據點的對稱可求出OE的長；

（3）過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設點F的坐標為（a，-a+3），則EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點的坐標，根據P在拋物線的圖象上，可得關于a的方程，把a的值代入P點坐標，可得答案．解：（1）將點C（0，3）代入得c=3，又拋物線的對稱軸為直線x=1，∴-=1，解得b=2，∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3；（2）如圖，令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴點A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，

∵，∴MN=×4=3，

根據二次函數對稱性，點M的橫坐標為，代入二次函數表達式得，y=，∴點M的坐標為，又點C的坐標為（0，3），點C與點E關于直線MN對稱，∴CE=2×（3-）=，∴OE=OC-CE=；（3）如圖，過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，∴直線BC的解析式為y=-x+3，設點F的坐標為（a，-a+3），則EG=a，FG