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文檔簡介

甘肅省隴南市第八中學2024年中考數學四模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.若反比例函數的圖像經過點,則一次函數與在同一平面直角坐標系中的大致圖像是()A. B. C. D.2.如圖,將RtABC繞直角項點C順時針旋轉90°,得到A'B'C,連接AA',若∠1=20°,則∠B的度數是()A.70° B.65° C.60° D.55°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,BC=3,那么∠A的正切值為()A. B. C. D.4.下列計算正確的有()個①(﹣2a2)3=﹣6a6②(x﹣2)(x+3)=x2﹣6③(x﹣2)2=x2﹣4④﹣2m3+m3=﹣m3⑤﹣16=﹣1.A.0 B.1 C.2 D.35.下列各數中比﹣1小的數是()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.16.下列各數:1.414,,﹣,0,其中是無理數的為()A.1.414 B. C.﹣ D.07.已知二次函數y=ax1+bx+c+1的圖象如圖所示,頂點為(﹣1,0),下列結論:①abc>0;②b1﹣4ac=0;③a>1;④ax1+bx+c=﹣1的根為x1=x1=﹣1;⑤若點B(﹣,y1)、C(﹣,y1)為函數圖象上的兩點,則y1>y1.其中正確的個數是()A.1 B.3 C.4 D.58.如圖,半徑為3的⊙A經過原點O和點C(0,2),B是y軸左側⊙A優弧上一點,則tan∠OBC為()A. B.2 C. D.9.如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(0,1)和(﹣1,0).下列結論:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當x>﹣1時,y>0,其中正確結論的個數是A.5個 B.4個 C.3個 D.2個10.如圖,等邊△ABC內接于⊙O,已知⊙O的半徑為2,則圖中的陰影部分面積為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.二十四節氣列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.太陽運行的軌道是一個圓形,古人將之稱作“黃道”,并把黃道分為24份,每15度就是一個節氣,統稱“二十四節氣”.這一時間認知體系被譽為“中國的第五大發明”.如圖,指針落在驚蟄、春分、清明區域的概率是_____.12.現有一張圓心角為108°,半徑為40cm的扇形紙片,小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后,將剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊),則剪去的扇形紙片的圓心角θ為_____.13.分解因式:x3-9x14.如圖,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中點,AE⊥BD于點F,則CF的長是_________.15.如圖,邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O,點E是弧AB上的一動點(不與點A、B重合),點F是弧BC上的一點,連接OE,OF,分別與交AB,BC于點G,H,且∠EOF=90°,連接GH,有下列結論:①弧AE=弧BF;②△OGH是等腰直角三角形;③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化;④△GBH周長的最小值為4+2.其中正確的是_____.(把你認為正確結論的序號都填上)16.某文化用品商店計劃同時購進一批A、B兩種型號的計算器,若購進A型計算器10只和B型計算器8只,共需要資金880元;若購進A型計算器2只和B型計算器5只,共需要資金380元.則A型號的計算器的每只進價為_____元.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接DB.(1)求此拋物線的解析式及頂點D的坐標;(2)點M是拋物線上的動點,設點M的橫坐標為m.①當∠MBA=∠BDE時,求點M的坐標;②過點M作MN∥x軸,與拋物線交于點N,P為x軸上一點,連接PM,PN,將△PMN沿著MN翻折,得△QMN,若四邊形MPNQ恰好為正方形,直接寫出m的值.18.(8分)如圖1,一枚質地均勻的正六面體骰子的六個面分別標有數字1,2,3,4,5,6,如圖2,正方形ABCD的頂點處各有一個圈,跳圈游戲的規則為:游戲者每擲一次骰子,骰子朝上的那面上的數字是幾,就沿正方形的邊按順時針方向連續跳幾個邊長。如:若從圈A起跳,第一次擲得3,就順時針連續跳3個邊長,落在圈D;若第二次擲得2,就從圈D開始順時針連續跳2個邊長,落得圈B;…設游戲者從圈A起跳.小賢隨機擲一次骰子,求落回到圈A的概率P1.小南隨機擲兩次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出他與小賢落回到圈A的可能性一樣嗎?19.(8分)風電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源,風電機組主要由塔桿和葉片組成(如圖1),圖2是從圖1引出的平面圖.假設你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°,沿HA方向水平前進43米到達山底G處,在山頂B處發現正好一葉片到達最高位置,此時測得葉片的頂端D(D、C、H在同一直線上)的仰角是45°.已知葉片的長度為35米(塔桿與葉片連接處的長度忽略不計),山高BG為10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔桿CH的高.(參考數據:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)20.(8分)拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經過點A(﹣1,0),B(,0),且與y軸相交于點C.(1)求這條拋物線的表達式;(2)求∠ACB的度數;(3)點D是拋物線上的一動點,是否存在點D,使得tan∠DCB=tan∠ACO.若存在,請求出點D的坐標,若不存在,說明理由.21.(8分)如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動,△DEF運動,并滿足:點E在邊BC上沿B到C的方向運動,且DE始終經過點A,EF與AC交于M點.(1)求證:△ABE∽△ECM;(2)探究:在△DEF運動過程中,重疊部分能否構成等腰三角形?若能,求出BE的長;若不能,請說明理由;(3)當線段AM最短時,求重疊部分的面積.22.(10分)如圖,AB=AD,AC=AE,BC=DE,點E在BC上.求證:△ABC≌△ADE;(2)求證:∠EAC=∠DEB.23.(12分)[閱讀]我們定義:如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么稱這個三角形為“中邊三角形”,把這條邊和其邊上的中線稱為“對應邊”.[理解]如圖1,Rt△ABC是“中邊三角形”,∠C=90°,AC和BD是“對應邊”,求tanA的值;[探究]如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=2β,點P,Q從點A同時出發,以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動,記點P經過的路程為s.當β=45°時,若△APQ是“中邊三角形”,試求的值.24.計算:÷(﹣1)

參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】

甶待定系數法可求出函數的解析式為:,由上步所得可知比例系數為負,聯系反比例函數,一次函數的性質即可確定函數圖象.【詳解】解:由于函數的圖像經過點,則有∴圖象過第二、四象限,

∵k=-1,

∴一次函數y=x-1,

∴圖象經過第一、三、四象限,

故選:D.【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質,一次函數的圖象,解題的關鍵是求出函數的解析式,根據解析式進行判斷;2、B【解析】

根據圖形旋轉的性質得AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,從而得∠AA′C=45°,結合∠1=20°,即可求解.【詳解】∵將RtABC繞直角項點C順時針旋轉90°,得到A'B'C,∴AC=A′C,∠ACA′=90°,∠B=∠A′B′C,∴∠AA′C=45°,∵∠1=20°,∴∠B′A′C=45°-20°=25°,∴∠A′B′C=90°-25°=65°,∴∠B=65°.故選B.【點睛】本題主要考查旋轉的性質,等腰三角形和直角三角形的性質,掌握等腰三角形和直角三角形的性質定理,是解題的關鍵.3、A【解析】

根據銳角三角函數的定義求出即可.【詳解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴tanA=.故選A.【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義,熟記銳角三角函數的定義內容是解題的關鍵.4、C【解析】

根據積的乘方法則,多項式乘多項式的計算法則,完全平方公式,合并同類項的計算法則,乘方的定義計算即可求解.【詳解】①(﹣2a2)3=﹣8a6,錯誤;②(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6,錯誤;③(x﹣2)2=x2﹣4x+4,錯誤④﹣2m3+m3=﹣m3,正確;⑤﹣16=﹣1,正確.計算正確的有2個.故選C.【點睛】考查了積的乘方,多項式乘多項式,完全平方公式,合并同類項,乘方,關鍵是熟練掌握計算法則正確進行計算.5、A【解析】

根據兩個負數比較大小,絕對值大的負數反而小,可得答案.【詳解】解:A、﹣2<﹣1,故A正確;B、﹣1=﹣1,故B錯誤;C、0>﹣1,故C錯誤;D、1>﹣1,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查了有理數大小比較,利用了正數大于0,0大于負數,注意兩個負數比較大小,絕對值大的負數反而小.6、B【解析】試題分析:根據無理數的定義可得是無理數.故答案選B.考點:無理數的定義.7、D【解析】

根據二次函數的圖象與性質即可求出答案.【詳解】解:①由拋物線的對稱軸可知:,∴,由拋物線與軸的交點可知:,∴,∴,故①正確;②拋物線與軸只有一個交點,∴,∴,故②正確;③令,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,故③正確;④由圖象可知:令,即的解為,∴的根為,故④正確;⑤∵,∴,故⑤正確;故選D.【點睛】考查二次函數的圖象與性質,解題的關鍵是熟練運用數形結合的思想.8、C【解析】試題分析:連結CD,可得CD為直徑,在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,根據勾股定理求得OD=4所以tan∠CDO=,由圓周角定理得,∠OBC=∠CDO,則tan∠OBC=,故答案選C.考點:圓周角定理;銳角三角函數的定義.9、B【解析】

解:∵二次函數y=ax3+bx+c(a≠3)過點(3,3)和(﹣3,3),∴c=3,a﹣b+c=3.①∵拋物線的對稱軸在y軸右側,∴,x>3.∴a與b異號.∴ab<3,正確.②∵拋物線與x軸有兩個不同的交點,∴b3﹣4ac>3.∵c=3,∴b3﹣4a>3,即b3>4a.正確.④∵拋物線開口向下,∴a<3.∵ab<3,∴b>3.∵a﹣b+c=3,c=3,∴a=b﹣3.∴b﹣3<3,即b<3.∴3<b<3,正確.③∵a﹣b+c=3,∴a+c=b.∴a+b+c=3b>3.∵b<3,c=3,a<3,∴a+b+c=a+b+3<a+3+3=a+3<3+3=3.∴3<a+b+c<3,正確.⑤拋物線y=ax3+bx+c與x軸的一個交點為(﹣3,3),設另一個交點為(x3,3),則x3>3,由圖可知,當﹣3<x<x3時,y>3;當x>x3時,y<3.∴當x>﹣3時,y>3的結論錯誤.綜上所述,正確的結論有①②③④.故選B.10、A【解析】解:連接OB、OC,連接AO并延長交BC于H,則AH⊥BC.∵△ABC是等邊三角形,∴BH=AB=,OH=1,∴△OBC的面積=×BC×OH=,則△OBA的面積=△OAC的面積=△OBC的面積=,由圓周角定理得,∠BOC=120°,∴圖中的陰影部分面積==.故選A.點睛:本題考查的是三角形的外接圓與外心、扇形面積的計算,掌握等邊三角形的性質、扇形面積公式是解題的關鍵.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、【解析】

首先由圖可得此轉盤被平分成了24等份,其中驚蟄、春分、清明區域有3份,然后利用概率公式求解即可求得答案.【詳解】∵如圖,此轉盤被平分成了24等份,其中驚蟄、春分、清明有3份,∴指針落在驚蟄、春分、清明的概率是:.故答案為【點睛】此題考查了概率公式的應用.注意概率=所求情況數與總情況數之比.12、18°【解析】試題分析:根據圓錐的展開圖的圓心角計算法則可得:扇形的圓心角=1040考點:圓錐的展開圖13、x【解析】試題分析:要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式,若有公因式,則把它提取出來,之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考慮用公式法繼續分解因式。因此,先提取公因式x后繼續應用平方差公式分解即可:x214、【解析】試題解析:∵四邊形ABCD是矩形,∵AE⊥BD,∴△ABE∽△ADB,∵E是BC的中點,過F作FG⊥BC于G,故答案為15、①②④【解析】

①根據ASA可證△BOE≌△COF,根據全等三角形的性質得到BE=CF,根據等弦對等弧得到,可以判斷①;

②根據SAS可證△BOG≌△COH,根據全等三角形的性質得到∠GOH=90°,OG=OH,根據等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形,可以判斷②;

③通過證明△HOM≌△GON,可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積,可以判斷③;

④根據△BOG≌△COH可知BG=CH,則BG+BH=BC=4,設BG=x,則BH=4-x,根據勾股定理得到GH==,可以求得其最小值,可以判斷④.【詳解】解:①如圖所示,

∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,

∴∠BOE=∠COF,

在△BOE與△COF中,,

∴△BOE≌△COF,

∴BE=CF,

∴,①正確;

②∵OC=OB,∠COH=∠BOG,∠OCH=∠OBG=45°,

∴△BOG≌△COH;

∴OG=OH,∵∠GOH=90°,

∴△OGH是等腰直角三角形,②正確.③如圖所示,

∵△HOM≌△GON,

∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積,③錯誤;

④∵△BOG≌△COH,

∴BG=CH,

∴BG+BH=BC=4,

設BG=x,則BH=4-x,

則GH==,

∴其最小值為4+2,④正確.

故答案為:①②④【點睛】考查了圓的綜合題,關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質,等弦對等弧,等腰直角三角形的判定,勾股定理,面積的計算,綜合性較強.16、40【解析】

設A型號的計算器的每只進價為x元,B型號的計算器的每只進價為y元,根據“若購進A型計算器10只和B型計算器8只,共需要資金880元;若購進A型計算器2只和B型計算器5只,共需要資金380元”,即可得出關于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結論.【詳解】設A型號的計算器的每只進價為x元,B型號的計算器的每只進價為y元,根據題意得:,解得:.答:A型號的計算器的每只進價為40元.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用,找準等量關系,正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.三、解答題(共8題,共72分)17、(1)(1,4)(2)①點M坐標(﹣,)或(﹣,﹣);②m的值為或【解析】

(1)利用待定系數法即可解決問題;(2)①根據tan∠MBA=,tan∠BDE==,由∠MBA=∠BDE,構建方程即可解決問題;②因為點M、N關于拋物線的對稱軸對稱,四邊形MPNQ是正方形,推出點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點,即OP=1,易證GM=GP,即|-m2+2m+3|=|1-m|,解方程即可解決問題.【詳解】解:(1)把點B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得到,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣(x﹣1)2+4,∴頂點D坐標(1,4);(2)①作MG⊥x軸于G,連接BM.則∠MGB=90°,設M(m,﹣m2+2m+3),∴MG=|﹣m2+2m+3|,BG=3﹣m,∴tan∠MBA=,∵DE⊥x軸,D(1,4),∴∠DEB=90°,DE=4,OE=1,∵B(3,0),∴BE=2,∴tan∠BDE==,∵∠MBA=∠BDE,∴=,當點M在x軸上方時,=,解得m=﹣或3(舍棄),∴M(﹣,),當點M在x軸下方時,=,解得m=﹣或m=3(舍棄),∴點M(﹣,﹣),綜上所述,滿足條件的點M坐標(﹣,)或(﹣,﹣);②如圖中,∵MN∥x軸,∴點M、N關于拋物線的對稱軸對稱,∵四邊形MPNQ是正方形,∴點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點,即OP=1,易證GM=GP,即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|,當﹣m2+2m+3=1﹣m時,解得m=,當﹣m2+2m+3=m﹣1時,解得m=,∴滿足條件的m的值為或.【點睛】本題考查二次函數綜合題、銳角三角函數、正方形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造直角三角形解決問題,學會利用參數構建方程解決問題,屬于中考壓軸題.18、(1)落回到圈A的概率P1【解析】

(1)由共有6種等可能的結果,落回到圈A的只有1種情況,直接利用概率公式求解即可求得答案;

(2)首先根據題意列出表格,然后由表格求得所有等可能的結果與最后落回到圈A的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.【詳解】(1)∵擲一次骰子有6種等可能的結果,只有擲的4時,才會落回到圈A,∴落回到圈A的概率P1(2)列表得:1234561((((((2((((((3((((((4((((((5((((((6((((((∵共有36種等可能的結果,當兩次擲得的數字之和為4的倍數,即(1,3)(2,2)(2,6∴p2∵P1∴可能性不一樣【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.19、1米.【解析】試題分析:作BE⊥DH,知GH=BE、BG=EH=10,設AH=x,則BE=GH=43+x,由CH=AHtan∠CAH=tan55°?x知CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10,根據BE=DE可得關于x的方程,解之可得.試題解析:解:如圖,作BE⊥DH于點E,則GH=BE、BG=EH=10,設AH=x,則BE=GH=GA+AH=43+x,在Rt△ACH中,CH=AHtan∠CAH=tan55°?x,∴CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10,∵∠DBE=45°,∴BE=DE=CE+DC,即43+x=tan55°?x﹣10+35,解得:x≈45,∴CH=tan55°?x=1.4×45=1.答:塔桿CH的高為1米.點睛:本題考查了解直角三角形的應用,解答本題要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形.20、(1)y=﹣2x2+x+3;(2)∠ACB=45°;(3)D點坐標為(1,2)或(4,﹣25).【解析】

(1)設交點式y=a(x+1)(x﹣),展開得到﹣a=3,然后求出a即可得到拋物線解析式;(2)作AE⊥BC于E,如圖1,先確定C(0,3),再分別計算出AC=,BC=,接著利用面積法計算出AE=,然后根據三角函數的定義求出∠ACE即可;(3)作BH⊥CD于H,如圖2,設H(m,n),證明Rt△BCH∽Rt△ACO,利用相似計算出BH=,CH=,再根據兩點間的距離公式得到(m﹣)2+n2=()2,m2+(n﹣3)2=()2,接著通過解方程組得到H(,﹣)或(),然后求出直線CD的解析式,與二次函數聯立成方程組,解方程組即可.【詳解】(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣),即y=ax2﹣ax﹣a,∴﹣a=3,解得:a=﹣2,∴拋物線解析式為y=﹣2x2+x+3;(2)作AE⊥BC于E,如圖1,當x=0時,y=﹣2x2+x+3=3,則C(0,3),而A(﹣1,0),B(,0),∴AC==,BC==AE?BC=OC?AB,∴AE==.在Rt△ACE中,sin∠ACE===,∴∠ACE=45°,即∠ACB=45°;(3)作BH⊥CD于H,如圖2,設H(m,n).∵tan∠DCB=tan∠ACO,∴∠HCB=∠ACO,∴Rt△BCH∽Rt△ACO,∴==,即==,∴BH=,CH=,∴(m﹣)2+n2=()2=,①m2+(n﹣3)2=()2=,②②﹣①得m=2n+,③,把③代入①得:(2n+﹣)2+n2=,整理得:80n2﹣48n﹣9=0,解得:n1=﹣,n2=.當n=﹣時,m=2n+=,此時H(,﹣),易得直線CD的解析式為y=﹣7x+3,解方程組得:或,此時D點坐標為(4,﹣25);當n=時,m=2n+=,此時H(),易得直線CD的解析式為y=﹣x+3,解方程組得:或,此時D點坐標為(1,2).綜上所述:D點坐標為(1,2)或(4,﹣25).【點睛】本題是二次函數綜合題.熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和相似三角形的判定的性質;會利用待定系數法求函數解析式,把求兩函數交點問題轉化為解方程組的問題;理解坐標與圖形性質;會運用分類討論的思想解決數學問題.21、(1)證明見解析;(2)能;BE=1或;(3)【解析】

(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B,又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠CEM=∠BAE,∴△ABE∽△ECM;(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM;當AE=EM時,則△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5,∴BE=BC?EC=6?5=1,當AM=EM時,則∠MAE=∠MEA,∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA,又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴,∴CE=,∴BE=6?=;∴BE=1或;(3)解:設BE=x,又∵△ABE∽△ECM,∴,即:,∴CM=,∴AM=5?CM,∴當x=3時,AM最短為,又∵當BE=x=3=BC時,∴點E為BC的中點,∴AE⊥BC,∴AE=,此時,EF⊥AC,∴EM=,S△AEM=.22、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)用“SSS”證明即可;(2)借助全等三角形的性質及角的和差求出∠DAB=∠EAC,再利用三角形內角和定理求出∠DEB=∠DAB,即可說明∠EAC=∠DEB.【詳解】解:(1)在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE(SSS);(2)由△ABC≌

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