絕密★啟用前大聯考2023—2024學年（下）南陽六校高二年級期末考試數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的：1.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.05B.0.1C.0.3D.0.42.如圖，均為直角三角形，為直角頂點，，且，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為，則（）A.B.C.D.3.已知函數，且，則實數（）A.1B.2C.D.4.已知是正項等比數列，若成等差數列，則（）A.3B.4C.5D.65.已知為虛數單位，則的展開式中的系數為（）A.-10B.10C.-15D.156.已知數列滿足，且，設，則數列的前2024項和為（）A.674B.673C.-673D.-6747.已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知雙曲線，如圖，過的右焦點作直線與的兩條漸近線分別交于點，與軸交于點，若，且，則的離心率為（）A.B.C.2D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個家庭中共有3個孩子，用表示事件“該家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“該家庭中最多有1個女孩”，則（）A.B.C.D.與相互獨立10.已知數列的前項和，則下列說法中正確的是（）A.一定為等差數列B.可能為等比數列C.若，則一定為遞增數列D.若，則存在，使得11.已知函數，若不等式恰有一個整數解，則實數的取值不可能是（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.把4個不同顏色的球放入3個不同的盒子里，每個盒子里至少有1個球，則不同的放法種數為__________.13.已知點在圓上運動，則的最小值是__________.14.已知函數及其導函數的定義域均為，且為偶函數，若時，，且，則不等式的解集為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.16.（15分）揚子鱷是中國特有的一種小型鱷類，是國家一級重點保護野生動物，活動區域主要在長江下游流域.研究人員為了解揚子鱷的生長發育情況，隨機抽取了6只揚子鱷，測量它們的頭長（單位與體長（單位：），得到如下數據：樣本編號123456頭長1515.315.316.616.817體長125128130138142153并計算得（1）求這6只揚子鱷的平均頭長與平均體長；（2）求揚子鱷的頭長與體長的樣本相關系數；（精確到0.01）（3）已知與可以用模型進行擬合，若某只揚子鱷的頭長為，利用所給數據估計這只揚子鱷的體長.附：相關系數.17.（15分）已知數列滿足，當時，.（1）求的通項公式；（2）設為數列的前項和，證明：.參考結論：當時，.18.（17分）已知函數，其中.（1）討論在區間上的單調性；（2）若，函數在區間內存在唯一的極值點，求實數的取值范圍.19.（17分）已知拋物線的焦點到直線的距離為為直線上的動點，過點作直線分別與相切于點.（1）求的方程；（2）證明：直線過定點；（3）若直線分別交軸于點，求的最小值.大聯考2023—2024學年（下）南陽六校高二年級期末考試數學·答案一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案B命題意圖本題考查正態分布的性質.解析根據正態分布的基本性質可知.2.答案C命題意圖本題考查等比數列的概念.解析根據題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個三角形的相似比為，從而這些三角形的周長從小到大組成的數列是等比數列，公比，首項為的周長，因此.3.答案B命題意圖本題考查導數的計算.解析由題意知，所以，所以，又，所以.4.答案D命題意圖本題考查等比數列的性質.解析設等比數列的公比為.由成等差數列，可得，即，解得（負值舍去）.所以.5.答案C命題意圖本題考查二項式定理的應用.解析展開式的通項，當時，，因此的系數為-15.6.答案D命題意圖本題考查數列的遞推關系.解析因為奇數與奇數之和為偶數，奇數與偶數之和為奇數，所以數列的各項的奇偶情況依次為奇?偶?奇?奇?偶?奇所以數列的各項依次為，以3為周期，且相鄰3項之和為-1，因為，所以數列的前2024項和為.7.答案A命題意圖本題考查利用導數研究函數的性質.解析當時，.當時，恒成立等價于恒成立，因為當時，，所以.當時，恒成立等價于恒成立.記，則在區間上為增函數，并且零點為，因此，所以.綜上，.8.答案命題意圖本題考查雙曲線與直線的位置關系.解析根據雙曲線漸近線的性質，可知在中，，由三角形相似可知.，因此.因為，所以.設，則，因此，又，所以，即，從而，得，故離心率.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.答案ACD命題意圖本題考查條件概率與相互獨立事件.解析，故A正確.，所以，故B錯誤，C正確.因為，所以與相互獨立，故D正確.10.答案BD命題意圖本題考查數列的通項與前項和.解析對于A，根據等差數列的求和公式，只有當時，才是等差數列，故A錯誤；對于B，當時，，滿足要求，故B正確；對于C，若，則，所以，故C錯誤；對于D，若，函數的圖象關于直線對稱，因此，從而，故D正確.11.答案BCD命題意圖本題考查利用導數研究函數的性質.解析因為，所以，即.若，不等式化為，此不等式對任意恒成立，不符合條件.若，不等式化為，即恰有一個整數解.記，則，可得在上單調遞增，在上單調遞減，并且，因此恰有一個整數解時，實數的取值不可能是B，C，D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案36命題意圖本題考查計數原理的應用.解析將4個球按分為3部分，再放入3個盒子里，所以不同的放法種數為.13.答案命題意圖本題考查直線與圓的位置關系.解析由得，表示以為圓心，1為半徑的圓.令，則表示直線，從而圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，即的最小值為.14.答案命題意圖本題考查函數與導數?不等式的綜合.解析因為時，，所以，即，因此，從而在上單調遞增，又是上的偶函數，從而是上的偶函數，并且在上單調遞減.由于，因此即，即，因此的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查空間垂直關系的推理和空間向量的應用.解析（1）由平面，可得.，且平面..四邊形是正方形，與重合，.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設為平面的法向量，則即可取.設為直線與平面所成的角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16.命題意圖本題考查一元線性回歸分析的應用.解析（1）平均頭長為，平均體長為.（2）由題可知.（3）由題意知.所以，所以，令，得，因此估計這只揚子鱷的體長為.17.命題意圖本題考查數列的通項公式?等差數列與等比數列的求和.解析（1）當時，.又，因此的通項公式為.（2）由（1）知，因此.因為，所以當時，.因為當時，，所以，此時.綜上，.18.命題意圖本題考查利用導數研究函數的單調性和極值點.解析（1）.設，則.因為，所以當時，，所以在上單調遞減，所以，因此在上單調遞減.（2）因為，所以.若，由（1）知在上恒成立，從而在內無極值點，不符合題意.若，設，則，且.設，則在上恒成立，因此在上單調遞減.若，即，則在上恒成立，因此在上單調遞增，可知在上恒成立，從而單調遞增，無極值點，不符合題意.若，即，則在上存在零點，且在上單調遞增，在上單調遞減.又，所以要使有極值點，必須有，即，從而的取