選修不等式選講教學札記

一、課程目標解讀

選修系列專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等

式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、數(shù)學歸納法與不等式。

通過本專題的教學，使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系

和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學關(guān)系，它們在數(shù)學研究和數(shù)學應(yīng)用中起著重要的作用；使學生了

解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的

邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。

二、教材內(nèi)容分析

作為一個選修專題，雖然學生已經(jīng)學習了高中必修課程的個模塊和三個選修模塊，教材

內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性.整個專題內(nèi)容分為四講，

結(jié)構(gòu)如下圖所示：

第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學過

的不等式個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法。回顧了二

元基本不等式，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到個正數(shù)的情形，但教學中只要求理解

掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。

對于絕對值不等式，借助兒何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，

并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的

一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。

第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式

的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的

課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。這些方法大多在選修“推理與證明”已經(jīng)學過，

此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實際例子，使學生明確不

等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母,

應(yīng)用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學設(shè)計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。

第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，

教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不

等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學的重點。事實上，柯西不等

式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如

課本頁，習題第四題。

排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學生閱讀自學，了解教材中展示的“探究一

猜想一一證明一一應(yīng)用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關(guān)知識。

第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”.數(shù)學歸納法在選修中也學過，建議放在第二講，

結(jié)合放縮法的教學，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學估

算方面的初步運用。

三、教學目標要求

.不等式的基本性質(zhì)

掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形。

.含有絕對值的不等式

理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。

.不等式的證明

通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮

法、數(shù)學歸納法教學札記

.幾個著名的不等式

()認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行

簡單的證明與求最值。

0理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式并應(yīng)用。

()了解個正數(shù)的均值不等式，維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式

,利用不等式求最大(小)值

會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。

.數(shù)學歸納法與不等式

了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式。

會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式。

四、教學重點難點

、本專題的教學重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及

其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；

、本專題的教學難點：三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式解法；

用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。

五、教學總體建議

、回顧并重視學生已學知識

學習本專題，學生已掌握的知識有：

第一、初中課標要求的不等式與不等式組

0根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。

()解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不

等式組，并會用數(shù)軸確定解集。

()根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題

第二、高中必修不等式內(nèi)容：

()不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不

等式(組)的實際背景。

()一元二次不等式。

0二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。

()基本不等式及其應(yīng)用(求最值)。

第三、高中選修推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內(nèi)容。

回顧并重視學生在學習本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當指導(dǎo)學生閱讀自學，設(shè)置梯度恰

當?shù)牧曨}，采用題組教學的形式，達到復(fù)習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)

習，構(gòu)建知識體系。

、控制難度不拓展

在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于

未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來

加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；

不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、

數(shù)學歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。

代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學生來說，

往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，對一些

技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。

、重視不等式的應(yīng)用

不等式應(yīng)用的教學，主要是引導(dǎo)學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問教學札記

題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過個正數(shù)的均

值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。

、重視展現(xiàn)著名不等式的背景

幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當引導(dǎo)學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾

何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于

元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學生閱讀了解相關(guān)背景知識。

第一講不等式和絕對值不等式

課題：第課時不等式的基本性質(zhì)

教學目標：

1.理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎(chǔ)。

2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用

比較法，反證法證明簡單的不等式。

教學重點：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。

教學難點：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。

教學過程：

一、引入：

不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學關(guān)系。《列子?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：

“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；

日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢？”、

“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一

個小正方形,制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大,應(yīng)當剪去多大的小正方形？”

等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)

學研究中也起著相當重要的作用。

本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、

排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學歸納法和它的簡單應(yīng)用等。

人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表

現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相

對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：克糖水中含有克糖(>>),若再加(>)

克糖，則糖水更甜了，為什么？

分析：起初的糖水濃度為夕，加入克糖后的糖水濃度為空巴，只要證即可。

aa+ma+ma

怎么證呢？

二、不等式的基本性質(zhì)：

、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可

知：

a>ba-b>0

a-b<^>a-b—O

a<b<^>a-b<0

得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。教學札記

、不等式的基本性質(zhì)：

①、如果〉，那么＜,如果。那么〉。（對稱性）

②、如果》，且〉，那么〉，即〉，＞=＞。

③、如果〉，那么＞，即＞=＞。

推論：如果》，且〉，那么》.即〉，＞=?.

④、如果〉，且〉，那么〉；如果〉，且〈，那么＜.

⑤、如果＞＞,那么a"＞勿'（e,且〉）

⑥、如果＞＞,那么標＞好（€,且＞）。

三、典型例題：

例、比較（x+3）（x+7）和（x+4）（%+6）的大小。

分析：通過考察它們的差與的大小關(guān)系，得出這兩個多項式的大小關(guān)系。

例、己知a＞Z?,c＜d,求證：a-c＞b-d.

例、已知〉，?,求證：監(jiān)。

四、課堂練習：

:已知x＞3,比較V+1卜與6/+6的大小。

：已知＞＞,＜〈,求證：一也＜，一。

a-cb-d

五、課后作業(yè)：

課本與第、、、題

六、教學后記：

課題：第課時基本不等式

教學目標：

.學會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；

.能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。

教學重點：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。

教學難點：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。

教學過程：

一、知識學習：

定理：如果、G,那么十》（當且僅當=時取“=”號）

證明：H■一=（-）

當W時，（一）〉,當=時，（一）—

所以，（一）》即+》

由上面的結(jié)論，我們又可得到教學札記

定理（基本不等式）：如果，是正數(shù)，那么》（當且僅當=時取“=”

號)

證明：???()+()》

.?.+2，即》

顯然，當且僅當=時，=

說明：)我們稱為，的算術(shù)平均數(shù)，稱為，的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩

個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

)+》和，成立的條件是不同的：前者只要求，都是實數(shù)，而后者要求，都是正數(shù).

)“當且僅當”的含義是充要條件.

)幾何意義.

二、例題講解：

例已知，都是正數(shù)，求證：

()如果積是定值，那么當=時，和+有最小值；

()如果和+是定值，那么當=時，積有最大值

證明：因為，都是正數(shù)，所以＞

()積為定值時，有》.??+2

上式當=時，取“=”號，因此，當=時，和+有最小值.

()和+為定值時，有

上式當時取“=”號，因此，當時，積有最大值.

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：

i)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)；

ii)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

iii)等號成立條件必須存在。

例：已知、、、都是正數(shù)，求證：

(+)(+)》

分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時

加強對均值不等式定理的條件的認識.

證明：由、、、都是正數(shù)，得

＞〉,＞〉,

即(+)(+)》

例某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為，深為，如果池底每的造價為元，

池壁每的造價為元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最

值，其中用到了均值不等式定理.

解：設(shè)水池底面一邊的長度為，水池的總造價為元，根據(jù)題意，得

—+(+)2+x)

=+xx=

當=,即=時，有最小值

因此，當水池的底面是邊長為的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是元.

評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建

立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.

三、課堂練習：課本練習，，，.

四、課堂小結(jié)：教學札記

通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，

并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

課本習題第，，題

六、教學后記：

課題：第課時三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式

教學目標：

.能利用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；

.了解基本不等式的推廣形式。

教學重點：三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式

教學難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題

教學過程：

一、知識學習：

定理：如果。力,ceR+，那么"+"+'之倔：。當且僅當。=6=c時，等號成立。

3

推廣：o當且僅當q―電〃時，等節(jié)成立。

n

語言表述：個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

思考：類比基本不等式，是否存在：如果那么/+〃+c323az7c（當且僅當

a=b=c時，等號成立）呢？試證明。

二、例題分析：

例：求函數(shù)y=2/+—（冗>0）的最小值。

X

222

解一：y=2x+-=2x+-+->3^2x----=3^4ymin=3^4

XXXVXX

解二：y=2x2+->2』2/工=2瘋當2/=之即x=膽時

XVxx2

??.An=2卜.半=2）3值=2^324

上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？

變式訓(xùn)練若R且a>。,求a+——-——的最小值。

（a-b）b教學札記

由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要

例：如下圖，把一塊邊長是的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名

著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切去的正…一團

方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？?0

，[90

10a

1D

?tUQ

J___L.

變式訓(xùn)練已知：長方體的全面積為定值S,試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的

體積最大，求出這個最大值.

由例題，我們應(yīng)該更牢記一二三，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定,

和定.

三、鞏固練習

12

.函數(shù)y=3》+）（%>0）的最小值是（）

x~

.6A/6

,16

.函數(shù)y=4x2+,,的最小值是

（尸+1）-

.函數(shù)y=x4（2—x2）（o<x<J5）的最大值是（）

1632

'27'27

.（浙江自選）已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,求4*+4V+4?的最小值。

（,江蘇，）設(shè)a,。,c為正實數(shù)，求證：二+二+二+阪;22百

abc

四、課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學習，要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，

并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

習題第，，題

六、教學后記：

課題：第課時絕對值三角不等式

教學目標：

：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進行簡教學札記

單的應(yīng)用。

:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學

思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。

教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。

教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。

教學過程：

一、復(fù)習引入：

關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。

本節(jié)課探討不等式證明這類問題。

.請同學們回憶一下絕對值的意義。

x,如果r>0

W=<0,如果c=0。

-x,如果x<0

幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。

.證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還

要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：

()\ci\>a,當且僅當。20時等號成立，a當且僅當。40時等號成立。

()\a\=-Ja^,()時.忖O§='"0)

那么時+網(wǎng)=1+4？時―設(shè)==+母？

二、講解新課：

oAB

探究：問,網(wǎng),|a+W，|a—4之間的什么關(guān)系？T——a-------h―X

結(jié)論：卜+萬隆向+阿(當且僅當"20時，等號成立.)

已知a,〃是實數(shù)，試證明：|a+"W同+何(當且僅當時，等號成立.)

方法一：證明.當，時，.當〈時，

cib=-\ah\,

ah=\^_______|a+昨&+療

|a+：|=W+b)=冊+2帥+/

=^a2+2ab+b2=7|?|2-2\ah\+\b\i

=7l?P+2\a\\h\+\b\2<^\a\2+2\a\\b\+\b\2

=J(⑷+⑸y=^\a\+\b\y

=\a\+\b\=\a\+\b\

綜合，知定理成立.

方法二：分析法，兩邊平方(略)

教學札記

定理如果a,b是實數(shù)，則,+4碼4+可(當且僅當"20時，等號成立.)

根據(jù)定理,有卜+.+卜月習a+人一小就是，,+4+忖？同。所以，卜+母之同一|小

定理(絕對值三角形不等式)

如果方是實數(shù),則||a|-|*||W卜土耳W悶+向

注：當。力為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.

推論：|%+。2++”"降同+同++|??|

推論：如果a、b、C是實數(shù)，那么|a-c|W|a-W+B—c],當且僅當(a—b)S-c)20時,

等號成立.

思考：如何利用數(shù)軸給出推論的幾何解釋？

(設(shè)，，為數(shù)軸上的個點，分別表示數(shù)，，，則線段ABVAC+CA當且僅當在，之間時,

等號成立。這就是上面的例。特別的，取=(即為原點)，就得到例的后半部分。)

三、典型例題：

例、已知|x-<a|<y,|y-Z?|<^,求證|(x+y)—(?+Z?)|<c.

證明|(x+y)—(tz+Z?)|=|(x-t2)+(y—Z?)|<|x-a|+|y-Z?|()

|x-+1j-Z?|<|+1-=c()

由()，()得：|(x+y)—(a+b)|vc

例、已知求證：|2x—3y|va。

證明,?,國<*可<(，?,?網(wǎng)<*|34<泉

4o2Z

由例及上式，|2x—3y|<|2x|+|3y|<]+W=a。

教學札記

注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于

不等號方向相同的不等式。

例兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑

的第公里和第公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生

活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何

處？

解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第處，兩施工隊每天往返的路程之和為0

那么()()

10%20

四、課堂練習：

.(課本七0習題第題)求證：

(l)|a+fe|+|a-b|22同；(2)|a+ft|—|a—

.(課本習題第題)求證：

(l)|x—a|+|x-Z>|^|a—;(2)|x-a|—|x—Z>|^|a-Z>|

.()、已知[A—忸一.求證：|(A—5)—(a—b)|<c。

()、己知—.<言.求證：|2x—3y—加+招<c。

五、課堂小結(jié)：

.實數(shù)a的絕對值的意義：

[a(a>0)

⑴同=03=0)；(定義)

-a(a<0)

⑵時的幾何意義：

.定理(絕對值三角形不等式)

如果a,)是實數(shù)，則|同一也||W|a±⑷W同+向注意取等的條件。

六、課后作業(yè)：課本第，，題

七.教學后記：

教學札記

課題：第課時絕對值不等式的解法

教學目標：

：理解并掌握N<。和國>。型不等式的解法。

：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學

思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。

教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。

教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。

教學過程：

一、復(fù)習引入：

在初中課程的學習中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。

請同學們回憶一下絕對值的意義。

在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即

x,如果r>0

|x|=<0,如果x=0o

—x,如果x<0

在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。

二、新課學習：

關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等

式。下面分別就這兩類問題展開探討。

、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對值符

號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.

、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型：設(shè)為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是

{x\-a<x<a],它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于的點的集合是開區(qū)間（一，），

如圖所示。

—CL圖d

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。

第二種類型：設(shè)為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式同>。的解集是

{x|x>a或x<—a},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于的點的集合是兩個開區(qū)間

（一8,-a）,（a,8）的并集。如圖所示。

-aa教學札記

圖

同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。

、Wc和2c型不等式的解法。

<c<=>—c<ax+h<c

\ax+4之coax+b<-c或ax+b>c

、和4+k一目Nc型不等式的解法。（三種思路）

三、典型例題：

例、解不等式|3%—1|<%+2。

例、解不等式|3x-l|>2—%。

方法：分類討論。

方法：依題意，原不等式等價于3x-l>2-x或3x-l<x—2,然后去解。

例、解不等式|2%+1]+|3%—2|25。

例、解不等式上一[+,一1|25。

解：本題可以按照例的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的

點到，的距離的和大于等于。因為，的距離為，所以在的右邊，與的距離大于等于（=（-）

+2）：或者在的左邊，與的距離大于等于。這就是說，》24或》<-1.

例、不等式|x-l|+|x+3|>?,對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)a的取值范圍。

四、課堂練習：解下列不等式：

、2|2x-l|>l.、4|1-3A|-1<0,\3-2^<X+4.

、|x+1|>2-x.>|x2-2x—<1、卜~—1|>x+2.

、+|x—2|>4>|x—l|+|x+3|^6.->|A|+|X+1|<2

、忖-卜-4|>2.

五、課后作業(yè)：課本第、、、題。

六、教學后記：

教學札記

第二講證明不等式的基本方法

課題：第課時不等式的證明方法之一：比較法

教學目標：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

教學重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

教學過程：

一、新課學習：

要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：

a>hoa-h>0

a=h=a—b=O

a<b<^>a—b<0

二、典型例題：

3322

例、設(shè)。力都是正數(shù)，且求證：a+b>ab-^abo

例、若實數(shù)求證：3(1+，+]4)>(]+工+工2)2.

證明：采用差值比較法：

3(1+廠+x4)-(1+x+x~y

3+3x2+3x4—1—x2—x4—2.x—2廠—2x?

2(%4-1—x+1)

2(X-1)2(X2+X+1)

13

2(x—l)9^[(x+—)9+—].

I3

???尤H1,從而(元—1)2>0,一且(%+/)24-->0,

***2(%—l)"[(x+5)“+[]>。，

3(1+X?+X，)>(1+X+X?)2.

討論：若題設(shè)中去掉XR1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

例、已知a,beR+,求證aabb>abba.

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。

證明：)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè)人>0.教學札記

a—b>0

h,,,,,從而原不等式得證。

aabb-abba=abb\aa-b-ba-b)>0

)商值比較法：設(shè)。26>0,

=鏟卜>].故原不等式得證。

例、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度現(xiàn)行走，另一半時

間以速度〃行走；乙有一半路程以速度加行走，另一半路程以速度〃行走。如果相。〃，問

甲、乙兩人誰先到達指定地點。

分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為

r,,r2o要回答題目中的問題，只要比較KJ的大小就可以了。

解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為

山1日X上*4八0ssr的2SS(m+n)

，根據(jù)遨意有一mH—n=S,-----1----=72，可得。=------，t?—------------，

222m2nm+n"2nm

..2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]n)2

從而t-t=---------------------=-----------------------=-----------------，

A2~m+n2mn+n)mn2(m+n)mn

其中S,根,〃都是正數(shù)，且加工〃。于是。一，2<0，即G〈J。

從而知甲比乙首先到達指定地點。

討論：如果加=〃，甲、乙兩人誰先到達指定地點？

三、課堂練習：

.比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大小：

()X2^X2-X4-1;()/+X+1與0+1)2.

°

.已知awl.求證：()a2>2?-1;()——\<1?

\+a2

a+b+c

.若a282c>0,求證aubbcc>(abc)3.

四、課時小結(jié)：

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作

差(或作商)、變形、判斷符號。“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊

成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

五、課后作業(yè)：

教學札記

課本頁第、、、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法

教學目標：

1、結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。

2、了解分析法和綜合法的思考過程。

教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

教學難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法。

教學過程：

一、引入：

綜合法和分析法是數(shù)學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由

于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比

研究兩種思路方法的特點。

所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證

的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知

中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援

人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地,

這是“分析法”。

二、典型例題：

例、已知。力,c>0,且不全相等。求證：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：用綜合法。

例、設(shè)a〉0,b>0,求證a，+/2

證法一分析法

要證a，+Z?3>a'b+ab1f^sL.

只需證(a+))(42-ab+b2)>ab(a+b)成立，又因a+b>0,

只需證a?-ab+h2之a(chǎn)b成立,又需證a?—2ab+h2NO成立，

即需證(a-力)2NO成立.而(a—A->。顯然成立.由此命題得證。

證法二綜合法

教學札記

(a—h)2>0=>a2—2ab+b2>0=>a2—ab+b2>ab

注意到a>0,b>0,即a+b>0,

23

由上式即得(4+。)(。2—ab+b)2ab(a+b),從而d+b>+成立。

議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？

a4-ma

例、己知，，都是正數(shù)，并且求證：-->-.()

b+mb

證法一要證()，只需證伙a+〃?)>aS+機)()

要證()，只需證加2>，"7?()

要證()，只需證。>。()

已知()成立，所以()成立。

上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。

證法二因為人>。,機是正數(shù)，所以bm>am

兩邊同時加上次?得伙a+m)>a(b+in)兩邊同時除以正數(shù)伙b+/〃)得()。

例、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是

圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為

L,則周長為L的圓的半徑為-二，截面積為；/上]；周長為L的正方形為由，截面積為

241J4

(4)。所以本題只需證明d。

證明：設(shè)截面的周長為L,則截面是圓的水管的截面面積為萬(總)，截面是正方形的

水管的截面面積為。只需證明：>[()。

為了證明上式成立，只需證明多>二。

4/16

411

兩邊同乘以正數(shù)F，得：->-0因此，只需證明4>開。

[3714

上式顯然成立，所以《卷)>(4)。

這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面

是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

教學札記

例、證明：a2+b2+c2>ab+bc+ca?

證法一：因為a2+b2>2ab()

b2+c2>2bc()

c2+a1>2ca()

所以三式相加得2(/+b2+c2)>2(ab+bc+cd)()

兩邊同時除以即得()。

證法二：

ci~+b~+c~—(ab+be+ctz)=—(<z—+—(/>—c)"+—(c—tz)-NO,

所以()成立.

例、證明：(/+〃)92+筋)2(公+兒/)2.()

證明()。(。2+62)(02+/)一(ac+bJ)2NO()

22

oa2c2+匕2c2+a2d2+b2d2一(a2c2+2abcd+bd)>0()

h2c2+a2d2-2abcd>0()

<=>(be-ad)2>0()

()顯然成立。因此()成立。

例、已知a,b,c都是正數(shù)，求證。3+。3+￡?323。兒：并指出等號在什么時候成立？

分析：本題可以考慮利用因式分解公式

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)著手。

證明：a，+Zx'+—3abe

(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-cd)

^(a+Z?+c)[(a-Z7)2+(Z?-c)2+(c-?)2J.

由于a,"c都是正數(shù)，所以a+Z?+c>0.而(a-Z?)2+g—c)2+(c-a)2>0)

可知a'++c，-3abeN0

即/+/+。3N3abe(等號在“=。=。時成立)

探究：如果將不等式N3"c中的"3力3"3分別用名慶。來代替，并在兩邊

教學札記

同除以，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式：

(l+a+0)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,。,c是互不相等的正數(shù)，且出七=1.

三、課堂小結(jié)：

解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上(或減去)一

個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得

到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常

用到的技巧。

四、課堂練習：

、已知x>0,求證：x+—>2.

x

114

、已知x>0,y>0,x工y,求證一?I——>-----.

xyx+y

、已知a>h>0,求證yja-b>4a-4b.

、已知a>OS>0.求證:

()(a+b)(a-'+b'')>4.()(a+b)(a2+b2)(a3+b3)>Sa3b\

、已知都是正數(shù)。求證：

()a+b+c+d^O金；()a+b+c+d>^.

24

、已知a,Z?,c都是互不相等的正數(shù)，求證(a+Z?+c)(a人+bc+ca)>9aZ?c

五、課后作業(yè)：

課本頁第、、、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之三：反證法

教學目標：

通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明

簡單的命題。

教學重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。

教學難點：會用反證法證明簡單的命題。

教學過程：

一、引入：教學札記

前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系

列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這

時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是

證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是

間接證明的一種基本方法。

反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法

不直接證明命題“若則”，而是先肯定命題的條件，并否定命題的結(jié)論，然后通過合理的邏輯

推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。

利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

二、典型例題：

例、已知a>b>0,求證：yfa>y/b(〃6"且〃>1)

例、設(shè)</+入3=2,求證a+b<2.

證明：假設(shè)a+Z?>2,則有。>2-8，從而

a3>S-12b+6b2-b\

/+/>6。2_⑵+8=6(>-1-+2.

因為6(0—1)2+222,所以。3+〃>2,這與題設(shè)條件/+〃=2矛盾，所以，

原不等式。42成立.

例、設(shè)二次函數(shù)/(xWY+'x+q,求證：|/⑴|,火2)|,|7(3)］中至少有一個不小于g.

證明：假設(shè)/⑴|,|/(2)|,|/(3)|都小于;，則

|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|<2,()

另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有

|/(1)|+2|/⑵|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|()

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)\-2

0.0兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。

注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通

常采用反證法進行。

議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出

的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。

試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？

例、設(shè),求證：(-4),(-),(-C),不可能同時大于

4

、-111教學札記

證：設(shè)(一)>:，(-)>—,(-)>—,

444

則三式相乘：■①

64

一~12

又?:<,,<.,.0<(l-a)?<(1—""a=-

_2J4

同理：(\-b)b<~,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(-〃)?(-)?(-，)<—與①矛盾，原式成立

64

例、已知>,>,>,求證：，，>

證：設(shè)<,>,.?.<又由>,貝

()<與題設(shè)矛盾又：若，則與>矛盾，.??必有>

同理可證：>,>

三、課堂練習：

、利用反證法證明：若已知，，都是正數(shù)，并且。<8,則

b+mb

、設(shè),求證：(-a),不可能同時大于

、若，>，且>,則3和匕土中至少有一個小于。

Xy

提示：反設(shè)必學，匕土學；，>,可得w與>矛盾。

xy

四、課時小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

五、課后作業(yè)：

課本頁第、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之四：放縮法

教學目標：

.感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

.探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。

教學重、難點：

.掌握證明不等式的兩種放縮技巧。

教學札記

.體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。

教學過程：

一、引入：

所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯?或縮小)，使之得出明顯的不等量關(guān)

系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等

式中的常用方法，尤其在今后學習高等數(shù)學時用處更為廣泛。

下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。

二、典型例題：

例、若〃是自然數(shù)，求證二+±+2+…+±<2.

I22232n2

證明：???《<---=----,k=2,3A,---,n.

k2k(k—l)k—1k

11111111

-+—+—++——+——+…+-