高中數學講義——平面向量的加法運算

目錄

1.教學大綱....................................................................1

2.知識點一向量加法的定義及其運算法則......................................2

3.知識點二向量加法的運算律.................................................2

4.探究點一向量的加法及其幾何意義..........................................3

5.探究點二向量的加法及運算律..............................................5

5.1.向量加法運算中化簡的兩種方法..........................................5

6.探究點三向量加法的實際應用..............................................6

7.利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟....................................6

8.［對點訓練］..................................................................6

9.作業........................................................................7

10.課時作業（二）向量的加法運算..............................................9

1.教學大綱

新課程標準學業水平要求

1.能從教材實例中抽象出向量加法的概

念，了解向量加法的物理意義與幾何意義.（數

1.借助實例和平學抽象）

面向量的幾何表示，2.掌握向量加法的三角形法則與平行四邊

水平

掌握平面向量加法運形法則，能利用這兩個法則進行兩個向量的加

算及運算法則，理解法運算.（數學抽象、直觀想象）

其幾何意義.3.掌握兩個向量的模與它們和的模的大小

2.了解平面向量關系，了解多個向量的加法及向量加法的運算

的線性運算性質及其律.（數學抽象、邏輯推理）

幾何意義.能熟練運用向量加法的三角形法則、平行

水平

四邊形法則及其幾何意義進行向量的加法運

算.（數學運算）

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2.知識點一向量加法的定義及其運算法則

1.向量加法的定義

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.

2.向量的加法運算法則

—圖示幾何意義

已知非零向量a,b,在平面

內取任意一點A,作油=a,BC

C

角形法=b,則向量運叫做a與6的和，

B

則/a'

向記作a+5,即。+卜=檢+BC

量加AC

法的已知兩個不共線向量a，b,

法則

平作為=a,OB=b,以QA,OB

行四邊為鄰邊作平行四邊形OACB,則

形法則以。為起點的向量就是向量

a與b的和，OC=a+b

3.向量a,）的模與a+5的模之間的關系：|a+b|W回土畫,當且僅當a,b

方向相同時等號成立.

4.對于零向量與任意向量a,我們規定：a+O=O+a=a.

［點撥］三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用

于兩個不共線的向量求和.

3.知識點二向量加法的運算律

交換律結合律

a+(b+c)=(〃+A)+c

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[點撥]用交換律、結合律可以將多個向量相加轉化為首尾相接的形式，實

現簡化運算.如感+QP+MN=MN+NQ+QP=MP.

1.判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)AB+BD+DC=AC()

(2)任意兩個向量的和仍然是一個向量.()

(3)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.()

(4)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.()

答案：(1)7(2)7⑶X(4)X

2.在△ABC中，ABBC=b,則a+方等于()

A.CAB.BC

C.ABD.AC

D[AB+BC=AC.故選D.]

3.已知非零向量a,b,c,則向量(a+c)+。,〃+(a+c),%+(c+a),c+S

+a),c+(a+5)中，與向量a+D+c相等的兩個數為()

A.2B.3

C.4D.5

D[由向量加法的交換律與結合律可知，所給的5個向量都與a+8+c相

等.]

4.化簡麗+0P+B0=.

解析：PB+OP+B0=(0P+PB)+B0=OB+B0=0.

答案：0

4.探究點一向量的加法及其幾何意義

(1)如圖①，用向量加法的三角形法則作出a+6

(2)如圖②，用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.

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解析：(1)在平面內任取一點。，作dX=a,AB=b,再作向量為，則

OB=a+b.

(2)在平面內任取一點。，作宓=a,OB=b,以OA,0B為鄰邊作口0AC3,

則反？=a+b.

方法技巧

1.利用三角形法則的注意點

要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量.

2.利用平行四邊形法則的注意點

利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對

角線”向量.

［對點訓練］

如圖，已知三個向量a,b,c,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向

量a+b+c.

解析：利用三角形法則作a+》+c,如圖①所示，作為=a,以A為起

點，作箱=b,再以B為起點，作m=c,則比=OB+BC=OA+AB+

BC=a+b+c.

利用平行四邊形法則作“+b+c,如圖②所示，作昂—a,OB—b,OC=

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c,以宓,OB為鄰邊作口OADB,則歷=a+),再以歷,OC為鄰邊作口0。皮?,

則無=OD+OC=a+b+c.

5.探究點二向量的加法及運算律

例國"如圖，在△A8C中，D,E分別是AB,AC上的點，F

為線段OE延長線上一點，DE//BC,AB//CF,連接CO,那么

(在橫線上只填上一個向量):

(l)Afi+DF

(2)AD+FC

(3)A。+BC+FC=

(4)CB+CF

解析:如題圖，由已知得四邊形OFCB為平行四邊形，由向量加法的運

算法則可知：

(1由+DF=AB+BC=AC.

(2)AD+FC=AD+DB=AB.

(3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.

(4)CB+序=CB+BD=CD.

答案:(1)AC(2)AB(3)AC(4)0)

5.1.向量加法運算中化簡的兩種方法

(1)代數法：借助向量加法的交換律和結合律，將向量轉化為“首尾相接”，

向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量.

(2)幾何法：通過作圖，根據三角形法則或平行四邊形法則化簡.

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［對點訓練］

在平行四邊形ABC。中，AB+CA+BD等于（）

A.ABB.AC

C.BCD.CD

D［原式+AB+BD=CD.故選D.］

6.探究點三向量加法的實際應用

例?"一架執行任務的飛機從A地按北偏西30°的方向飛行300km后到達

8地，然后向。地飛行，已知C地在A地東偏北30°的方向處，且A,C兩地

相距300km,求飛機從8地到。地飛行的方向及8,。間的距離.

解析：如圖所示，病=BA+AC,ZBAC=90°,\AB

|=|AC|=300km,所以|病|=30例km.

又因為NABC=45°,且A地在8地

的東偏南60°的方向處，可知。地在8地的東偏南15°的方向處.故飛機

從8地向。地飛行的方向是東偏南15°,B,。兩地間的距離為30麗km.

7.利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟

8.［對點訓練］

在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到

達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C

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地醫院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.

解析：設箱，冊分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km,

從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機飛行的路程指的是|荏\+\BC

\,兩次飛行的位移的和是油+BC=AC.

依題意，有|曲|+|BC1=800+800=1600(km).

因為NABC=35°+55°=90°,

所以|充尸\I\AB\2+\BC\2

=^8002+8002=80(h/2(km).

其中NBAC=45°,所以方向為北偏東35°+45°=80°.

從而飛機飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為80072km,

方向為北偏東80°.

9.作業

1.向量(屈+MB)+(BO+BC)+OM化簡后等于()

A.AMB.0

C.0D.AC

D[(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC=

AO+OM+MB+BC

+MB+BC=AB+BC=AC,故選D.]

2.(2020.江西高一期末)下列四式不能化簡為國)的是()

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CM)

C.(AB+CD)+BCD.OC+AO+CD

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A［對B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD,

故B正確；對C,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=屐)，故C正確；對

D,OC+A0+CD=AC+CD=AD,故D正確；故選A.]

3.若尸為△ABC的外心，且可+PB=PC,則NAC3=.

解析：因為戌+PB=PC,則四邊形AP3C是平行

四邊形（如圖）.

又一為△A5△的外心,所以詡\=\PB\=\PC\.

因此，NACB=120°.

答案：120°

4.如圖所示，已知等腰梯形A3CD,試分別用三角形法則和

平行四邊形法則作出向量麗+DC.

解析：三角形法則：過A作AE〃OC,交于點￡,則四邊形AOCE是

平行四邊形，于是成+DC=BA+AE=BE（如圖所示）.

平行四邊形法則:

作赤=BA，以。C,DR為鄰邊作口。CGR連接。G,于是麗+DC=麗

+DC=DG(如圖所示).

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10.課時作業（二）向量的加法運算

（本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！）

［A級基礎達標］

1.下列等式中不正確的是（）

A.a+O=aB.a+b=b+a

C.\a+b\=\a\+\b\D.AC=DC+AB+BD

C［當Q與b方向不同時，|a+〃|W|a|+|b|.故選C.］

2.已知點D,E,尸分別是△ABC各邊的中點，則下列等式中錯誤的是（）

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=0

C.DE+DA=ECD.DE+DA=FD

D［由題意，根據向量的加法運算法則，可得病+DA=FA,故A正確;

由彷+DE+EF=FE+EF=0,故B正確；根據平行四邊形法則，可得的

+DA=DF=EC,故C正確，D不正確.故選D.］

3.在平行四邊形A8CO中，AB+AD等于（）

A.ACB.BD

C.BCD.CD

A［根據向量加法的平行四邊形法則可得屈+AD=AC.故選A.］

4.若Q,5是非零向量，且M+例=|例一⑷，則（）

A.a,b同向共線

B.a,方反向共線

C.a,（同向共線且步|＞同

D.a,白反向共線且向〉同

D［由于3+方|=步|一⑷,因此向量a,1是方向相反的向量,且向〉⑷，故

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選D.]

5.（多選）如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計算正確的是（）

A.AO+B0+AB=ACB.AC+CD+D0=0A

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

ACD[由向量加法的三角形法則可知能+BO+AB=AO+OD+

DC=AD+DC=AC,故A正確；AC+CD+DO=AD+DO=AO

^OA,故B不正確；AB+AD+CD=AC+CD=AD,故C正確；AC+

BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=0,故D正確.故選ACD.]

6.在菱形ABC。中，ZDAB=60°,\AB\=2,則|反？+DC|=.

解析：如圖所示，設菱形對角線交點為O.BC+DC=AD+DC=AC.

VZDAB=60°,...△A3。為等邊三角形.

又；AB=2,：.OB=1.

在RtAAOB中，瑟＞\=\I\AB\2-\OB\2=小，

：.\AC\=2\AO1=2^3.

答案：2小

7.如圖，。為正六邊形AiAM3A4A546的中心，那么:

(l)OAi+OA2+OA3=；

(2)04+4。+A5A4—.

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解析：由0為正六邊形AiAzA3A4A546的中心可知四邊形OA3A4A5>

04A2A3,OA/3A4均為平行四邊形，由向量的加法運算法則可知:

(1)04+0A2+043=0A\+OA3+042=OA2+OA2=AsA2.

(2)OA2+A1O+A5A4=AIA2+A1A2=A6A3.

答案：(1)Aa2(2)A/3

8.已知I為|=|a|=3,108|=|例=3,ZAOB=60°,則|。+加=.

解析：如圖，因為|以1=1彷1=3,

所以四邊形OACB為菱形.

連接OC,AB,則OC±AB,設垂足為D.

因為NAOB=60°,所以AB=|醇|=3,

所以在中，，

所以|=|@+臼=￥義2=3鄧.

答案：3小

9.化簡(1)而+AB；

(2)A0+BC+0B；

(3)AB+DF+CD+BC+FA；

(4)DB+CD+BC；

(5)(AB+MB)+B0+0M.

解析：(1)就+AB+BC=AC；

(2)A0+BC+0B=A0+OB+BC=AB+BC=AC；

(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+

CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+茂=0；

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(4)5B+CD+BC=BC+CD+DB=BD+DB=0；

(5)方法一：(油+MB)+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO

+OB=AB.

方法二：(俞+MB)+BO+OM=AB+(MB+BO)+OM=AB+

MO+OM=AB+0=AB.

方法三：(油+MB)+BO+OM=(AB+BO+OM)+MB=AM+

MB=AB.

答案：(1)雙(2)AC(3)0(4)0(5)AB

10.如圖，已知向量mb,c,d.

(1)求作a+》+c+d；

(2)設間=2,e為單