課時分層作業(四十三)總體離散程度的估計一、選擇題1．為評估一種農作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數2．(多選)已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數和方差均為2，則下列敘述正確的是()A．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的平均數為3B．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的方差為3C．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差為4D．2x1＋2，2x2＋2，2x3＋2，2x4＋2，2x5＋2的方差為83．甲、乙、丙三名學生在一項集訓中的40次測試分數都在[50，100]內，將他們的測試分數分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分數的標準差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關系為()A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s14．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成果統計如下表：班級人數平均數方差甲20x2乙30x3其中x甲A．3B．2C．2.6D．2.55．某選手的9個得分分別為87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一個數據的個位數模糊，無法辨別，以x表示．若去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，則7個剩余分數的方差為()A．1169B．367二、填空題6．已知樣本9，10，11，x，y的平均數是10，方差是4，則xy＝________．7．現有10個數，其平均數是4，且這10個數的平方和是200，那么這組數的標準差是________．8．為了調查公司員工的健康狀況，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的全部員工的平均體重為60kg，標準差為60，男員工的平均體重為70kg，標準差為50，女員工的平均體重為50kg，標準差為60，若樣本中有20名男員工，則女員工的人數為________.三、解答題9．某班20位女同學平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術課考試成果(單位：分)如下：甲組：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙組：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85．(1)試分別計算兩組數據的極差、方差；(2)哪一組的成果較穩定？10．一組數據中的每一個數據都乘2，再都減80，得一組新數據，若求得新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來數據的平均數和方差分別是()A．40.6，1.1 B．48.8，4.4C．81.2，44.4 D．78.8，75.611．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為xA和xB，樣本標準差分別為sA和sA．xA>xB，sA>B．xA<xB，sA>C．xA>xB，sA<D．xA<xB，sA<12．(多選)已知樣本x1，x2，…，xl的平均數為x，方差為s12，樣本y1，y2，…，ym的平均數為y，方差為s22，樣本z1，z2，…，zn的平均數為z，方差為s32，設樣本x1，x2，…，xl，y1，y2，A．ωB．ωCD．s2＝1l+m+n{l[s12＋x13．從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得頻率分布直方圖如圖，則這500件產品質量指標值的樣本方差s2＝________(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)．14．(2024·全國乙卷)某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和(1)求x，(2)推斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(假如y-x≥15．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成果狀況如圖所示．(1)填寫下表：項目平均數方差中位數命中9環及以上甲71.21乙5.43(2)請從三個不同的角度對這次測試進行分析．①由平均數和方差結合分析誰的成果更穩定；②由平均數和中位數結合分析誰的成果更好些；③由折線圖上兩人射擊命中環數及走勢分析誰更有潛力．課時分層作業(四十三)總體離散程度的估計1．B[平均數能反映一組數據的平均水平；中位數是把一組數據從小到大或從大到小排列，若該組數據的個數為奇數，則取中間的數據，若該組數據的個數為偶數，則取中間兩個數據的平均數．平均數和中位數都能反映一組數據的集中趨勢，標準差和方差都能反映一組數據的穩定程度．]2．AD[將每個數據在原基礎上加1，故平均數加1，但是方差保持不變，故其平均數是3，方差是2，故A正確，B錯誤；將每個數據乘以2，故其方差變為原來的4倍，即為8，故C錯誤；將每個數據乘以2再加2，故其方差也變為原來的4倍，即為8，故D正確．故選AD.]3．B[比較三個頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數據最多，最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數據最集中，方差最小；丙為“單峰”直方圖，但數據分布相對勻整，方差介于甲、乙之間．綜上可知s1>s3>s2．]4．C[由題意可知兩個班的數學成果的平均數為x＝x甲＝x乙，則兩個班數學成果的方差為s2＝5．B[由題意知去掉的兩個數是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4．故s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝366．91[由平均數是10，得x＋y＝20．①由方差是4，得x2＋y2＝218．②①2－②得2xy＝182，∴xy＝91．]7．2[由題意知x＝所以s＝1＝1＝200-8．200[設男、女員工的權重分別為ω男，ω女，由題意可知s2＝ω男[s男2＋x男-x2]＋ω女[s女2＋x女-x2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝609．解：(1)甲組：最高分為95，最低分為60，極差為95－60＝35，平均數為x甲方差為s甲2＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2乙組：最高分為95，最低分為65，極差為95－65＝30，平均數為x乙方差為s乙(2)由于乙組的方差小于甲組的方差，因此乙組的成果較穩定．從(1)中得到的極差也可看出乙組的成果比較穩定．10．A[法一：設原來的數據為x1，x2，x3，…，xn，則新數據為2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以2x所以2x即x11n[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2即1n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2所以14n[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝1法二：設原數據的平均數為x，方差為s2，則數據中的每一個數都乘2，再都減80，得一組新數據后，新數據的平均數為2x－80，方差為22s2由題意得2x－80＝1.2，22s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1．]11．B[由題圖知，A組的6個數分別為2.5，10，5，7.5，2.5，10；B組的6個數分別為15，10，12.5，10，12.5，10，所以xAxB明顯xA<x又由圖形可知，B組數據的分布比A組的勻整，變更幅度不大，故B組數據比較穩定，方差較小，從而標準差較小，所以sA>sB.]12．ACD[依題意，x1＋x2＋…＋xl＝l·x，y1+y[[i＝[＝1l+m+n{l[s13．110[由頻率分布直方圖得抽取產品的質量指標值的樣本平均值為(100×0.010＋110×0.020＋120×0.035＋130×0.030＋140×0.005)×10＝120，∴樣本方差s2＝[(100－120)2×0.010＋(110－120)2×0.020＋(120－120)2×0.035＋(130－120)2×0.030＋(140－120)2×0.005]×10＝110．]14．解：(1)由表格中數據可得：x＝-0y＝0.s1s22＝110×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2(2)由(1)中數據可得y-x＝15．解：(1)由題圖可知，乙的射靶環數依次為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，所以x乙乙的射靶環數從小到大排列為2，4，6，7，7，8，8，9，9，