專題16數(shù)列（選填壓軸題）1．（2024·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿意：對(duì)每個(gè)滿意的不為常數(shù)的數(shù)列，存在，使得，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】令，則.故.下證：當(dāng)時(shí)滿意條件.①存在，已經(jīng)成立；②存在，則，成立；③存在，則，成立.假設(shè)存在，使得對(duì)每個(gè)，設(shè).則.令，則，沖突.故總存在，滿意①，②，③其中之一.故選：C2．（2024·北京八中高三階段練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列，給出如下三特性質(zhì)：①；②；③，.定義：同時(shí)滿意性質(zhì)①和②的數(shù)列為“數(shù)列”，同時(shí)滿意性質(zhì)①和③的數(shù)列為“數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．若，則為“數(shù)列”B．若，則為“數(shù)列”C．若為“數(shù)列”，則為“數(shù)列”D．若為“數(shù)列”，則為“數(shù)列”【答案】A【詳解】若，則，滿意①，，，因?yàn)椋裕瑵M意②，故A正確；若，則，滿意①，，令，若為奇數(shù)，此時(shí)，存在，且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿意，若為偶數(shù)，此時(shí)，則此時(shí)不存在，使得，綜上：B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，此時(shí)滿意，也滿意，，即，但不滿意③，，因?yàn)椋C上C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不妨設(shè)，滿意，且，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，使得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，取，使得，故為“數(shù)列”，但此時(shí)不滿意，不妨取，則，而，則不是“數(shù)列”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.3．（2024·上海市洋涇中學(xué)高三開學(xué)考試）已知表示大于的最小整數(shù)，例如，，下列命題中正確的是（

）①函數(shù)的值域是；②若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；③若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；④若，則方程有2024個(gè)解.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，，，則，，因此的值域是，是等差數(shù)列，但，，不成等差數(shù)列；是等比數(shù)列，但，，不成等比數(shù)列；由前分析可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，所以，即是周期為的函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)過，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，去交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，必有一個(gè)交點(diǎn)；則后面每個(gè)周期都有一個(gè)交點(diǎn)，所以，則方程由個(gè)根.①④正確，故選：D.4．（2024·河南信陽·高二期末（理））二進(jìn)制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，二制數(shù)(）對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)記為，即其中，，則在中恰好有2個(gè)0的全部二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的總和為（

）A．1910 B．1990 C．12252 D．12523【答案】D【詳解】依據(jù)題意得，因?yàn)樵谥星『糜?個(gè)0的有=28種可能，即全部符合條件的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為28．所以全部二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，出現(xiàn)=28次，，…，2，均出現(xiàn)=21次，所以滿意中恰好有2個(gè)0的全部二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為故選：D．5．（2024·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，，所以，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列且，，所以，所以，所以，.當(dāng)，得，由得，則，同上由累加法得，所以，所以，則.故選：C.6．（2024·江蘇南京·高二期末）將等比數(shù)列按原依次分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由已知得，，，等比數(shù)列的公比．令，則，，所以數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，故．故選：A．7．（2024·遼寧·渤海高校附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿意，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【詳解】設(shè)函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿意其中數(shù)列的前項(xiàng)和為若恒成立，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿意則時(shí)，，則又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)都不為0，則又由，可得則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為則則數(shù)列的前項(xiàng)和又，即恒成立，則恒成立又當(dāng)時(shí)的最大值為20，則故選：D10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)隨意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得則得，即，令得，即①，即得.因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，則得，即.又因?yàn)椋裕擘俚?當(dāng)時(shí)，由得即，所以即因此當(dāng)或11時(shí)，的最小值為.故選：C11．（2024·浙江·模擬預(yù)料）記．對(duì)數(shù)列和U的子集T，若，定義；若，定義．則以下結(jié)論正確的是（

）A．若滿意，則B．若滿意，則對(duì)隨意正整數(shù)C．若滿意，則對(duì)隨意正整數(shù)D．若滿意，且，則【答案】D【詳解】因?yàn)椋裕珹錯(cuò)，取，，則，，所以，B錯(cuò)，因?yàn)椋?因此，，C錯(cuò)，若是的子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，，.于是，，進(jìn)而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，從而，故，所以，即.所以D對(duì)，故選：D.12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿意，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①不存在a，使得數(shù)列單調(diào)遞減；②對(duì)隨意的a，不等式對(duì)全部的恒成立；③當(dāng)時(shí)，存在常數(shù)C，使得對(duì)全部的都成立．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【詳解】由，可得，則，，則，都有數(shù)列單調(diào)遞增，故①正確；由可得，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則，則，即，②正確；由可得，則，，，，將以上等式相加得，又，單調(diào)遞增，則，又由可得，又，則，即，則，設(shè)，，易得，當(dāng)時(shí)，，則，，故不存在常數(shù)C，使得對(duì)全部的都成立，故③錯(cuò)誤.故選：A.13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2024年其次十四屆北京冬奧會(huì)開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵漂亮的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，隨意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．始終重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．【答案】B【詳解】據(jù)題意知：，∴，A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤；∴，由也滿意上式，則，所以不構(gòu)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；由上，，則，B正確.故選：B．14．（2024·浙江·赫威斯育才中學(xué)模擬預(yù)料）已知數(shù)列中，，，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，故，依次類推有，令，則，，又因?yàn)樵谏线f增，故，即，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，故有，即，亦即，則，又因?yàn)椋蔬x：B.15．（2024·浙江金華·三模）已知數(shù)列，滿意，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋裕裕蔄正確；由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；所以，即所以，又，，所以，，故B正確；又所以所以所以，故C正確；所以即所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿意，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則①；由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立可得；因?yàn)椋约矗?/p>

所以，故，所以，則．故選：A17．（2024·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知三角形數(shù)表：現(xiàn)把數(shù)表按從上到下、從左到右的依次綻開為數(shù)列，記此數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則的最小值是_____．【答案】95【詳解】設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，以此類推．設(shè)第組的項(xiàng)數(shù)為，則組的項(xiàng)數(shù)和為，因?yàn)椋畹眉闯霈F(xiàn)在第13組之后，第組的和為，組總共的和為，若，則項(xiàng)的和應(yīng)與互為相反數(shù)，

設(shè)項(xiàng)總共有項(xiàng)，則其前項(xiàng)和為所以解得當(dāng)時(shí)，，則的最小值為.故答案為：95.18．（2024·浙江·高二期末）已知數(shù)列滿意，對(duì)于每一個(gè)，，，構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，，，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，若，不等式恒成立，則正整數(shù)的最小值為______.【答案】5【詳解】，，，，∴，∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，則，，，則，不等式恒成立，等價(jià)于或，即或，故正整數(shù)的最小值為5.故答案為：519．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿意，，數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，給出下列兩個(gè)命題：①若，則；②存在等差數(shù)列，使得成立．關(guān)于上述兩個(gè)命題，以上說法正確的是______．（填寫序號(hào)）【答案】①②【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，，，，，，由于當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故可得，，，，所以①正確；由知，所以，要使得成立，只需即可，所以只需，即，又，不妨取，，滿意，，所以存在這樣等差數(shù)列，所以②正確．故答案為：①②.20．（2024·廣東深圳·高三階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)，其中，記，當(dāng)時(shí)，___________（用含的代數(shù)式表示）.【答案】【詳解】，又，所以，同理，，所以，，所以，，所以.，所以，又，所以.故答案為：21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知有窮數(shù)列各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”.例如數(shù)列，，滿意，則其序數(shù)列為1，3，2.若有窮數(shù)列滿意，（n為正整數(shù)），且數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，則___________.【答案】【詳解】解：的序數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，，，而，，，，①的序數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，同理可得，，②由①②可得，∴.故答案為：.22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某校建立了一個(gè)數(shù)學(xué)網(wǎng)站，本校師生可以用特殊密碼登錄網(wǎng)站免費(fèi)下載學(xué)習(xí)資源.這個(gè)特殊密碼與如圖數(shù)表有關(guān).數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推，每年的特殊密碼是由該年年份及數(shù)表中第年份行（如2024年即為第2024行）自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字構(gòu)成的五位數(shù).如：2024年特殊密碼前四位是2024，第五位是第2024行自左向右第1個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字.按此規(guī)則，2024年的特殊密碼是___________.【答案】20248【詳解】解：由數(shù)表可得，每一行的數(shù)都構(gòu)成等差數(shù)列，且第行的公差是，記第行第個(gè)數(shù)為，則，則，，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，故，故第2024行的第一個(gè)數(shù)為，的個(gè)位數(shù)是2，的個(gè)位數(shù)是4，的個(gè)位數(shù)是8，的個(gè)位數(shù)是6，的個(gè)位數(shù)是2，，的個(gè)位數(shù)以4為周期循環(huán)，而，故的個(gè)位數(shù)是6，又，故第2024行的第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)為，故2024年的特殊密碼是20248.故答案為：20248．23．（2024·全國·模擬預(yù)料（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若存在常數(shù)使得恒成立，則常數(shù)的值為___________.【答案】2或4【詳解】由題意，化簡(jiǎn)得，故，由，得或，當(dāng)時(shí)，明顯；當(dāng)時(shí)，，滿意條件，所以或4.故答案為：2或424．（2024·寧夏·吳忠中學(xué)三模（理））在第24屆北京冬奧會(huì)開幕式上，一朵朵六角雪花漂流在國家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起向?qū)怼钡钠娈愒妇?如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：圖1，正三角形的邊長為1，在各邊取兩個(gè)三等分點(diǎn)，往外再作一個(gè)正三角形，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的各邊作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形，記第個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的全部外圍線段長的和為，則滿意的最小正整數(shù)的值為______.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】9【詳解】由圖形變更規(guī)律可得，，則有，所以最小正整數(shù)的值為9.故答案為：9.25．（2024·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿意，則存在正整數(shù)n，使得成立的實(shí)數(shù)組成的集合為___________【答案】【詳解】由題，，累加可得，故，明顯，故要存在正整數(shù)n，使成立，即，即或，故存在正整數(shù)n，使或，故或，即或，故干脆分析的最小值即可.又，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，綜上有，故或.故答案為：26．（2024·北京·北師大試驗(yàn)中學(xué)高二期中）設(shè)正整數(shù)，其中，記.例如，那么.則下列說法正確的有_______.①；②；③；④.【答案】①②④【詳解】由，那么，①正確；由則所以，②正確；由所以，故，③不正確；由所以，故，④正確．故答案為：①②④27．（2024·上海市七寶中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿意對(duì)隨意都成立，則能使成立的正整數(shù)的最小值為_________．【答案】【詳解】由知：或；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則，解得：（舍）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，解得：（舍）；數(shù)列應(yīng)是等差與等比的交叉數(shù)列，又，或；若要最小，則，，，，，的最小值為.故答案為：.28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在區(qū)間上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿意，，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，，，令，則，，有，所以，當(dāng)時(shí)，，同理可得，時(shí)，，依據(jù)規(guī)律，明顯可見當(dāng)，，且此時(shí)的