咸寧市2023—2024學年度下學期高中期末考試高二數學試卷本試卷共6頁，時長120分鐘，滿分150分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知i為虛數單位，若，則（）A．B．C．2D．2．已知隨機變量X服從正態分布,則（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.73．已知向量滿足．若,則實數（）A．B．C．3D．4．已知函數,則不等式的解集為（）A．B．C．D．5．一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為：1,2,2，3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數據的的上四分位數為（）A．5B．5.5C．14D．14.56．在平面直角坐標系中，已知向量與關于x軸對稱，向量若滿足的點A的軌跡為E,則（）A．E是一條垂直于x軸的直線B．E是一個半徑為1的圓C．E是兩條平行直線D．E是橢圓7．由0,2,4組成可重復數字的自然數，按從小到大的順序排成的數列記為,即,若,則（）A．34B．33C．32D．308．已知雙曲線的左、右焦點分別為,過點的直線與雙曲線E的右支交于A,B兩點，若,且雙曲線E的離心率為，則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知A,B為隨機事件，,則下列結論正確的有（）A．若A,B為互斥事件，則B．若,則C．若A,B為互斥事件，則D．若A,B相互獨立，則10．牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種數值解法——牛頓法，用“作切線”的方法求函數零點．如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為;用代替重復上面的過程得到;一直下去，得到數列,叫作牛頓數列．若函數且,數列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A．B．數列是遞減數列C．數列是等比數列D．11．把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中橢圓長軸,短軸為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，為線段上的動點，E為線段上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合），則下列選項正確的是（）A．當平面時，P為的中點B．三棱錐外接球的表面積為C．若點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且與下底面所成的角分別為,則的最大值為D．三棱錐體積的最大值為8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的展開式中二項式系數和為32，則展開式中的常數項為__________．13．已知定義在區間上的函數的值域為，則的取值范圍為__________．14．2024年奧運會將于7月26日~8月11日在法國巴黎舉行，而承辦2024巴黎奧運會足球項目的是著名的巴黎王子公園球場（如圖），足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P,使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有兩條進攻線路可供選擇，若選擇線路,則甲帶球__________碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路,則甲帶球__________碼時，到達最佳射門位置．（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角A,B,C所對的邊為,角A的平分線交邊于點D,且．（1）求A的值；（2）若，求的面積．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面;（2）若平面,求二面角的正弦值．17．（本小題滿分15分）三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓……一路走來，講述關于湖北的歷史人文、詩詞歌賦，為廣大網友帶來一場荊楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來了旅游熱潮．咸寧的大幕東源花谷，向陽湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來，現對3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節會部分游客做問卷調查，其中75%的游客計劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會．每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀念品；若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則獲得2份文旅紀念品．假設每位來大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽花田”音樂會是相互獨立的，用頻率估計概率．（1）從大幕東源花谷的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數為X,求X的分布列及數學期望；（2）記n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為個的概率為,求的前n項和．18．（本小題滿分17分）已知為平面上的一個動點．設直線的斜率分別為，且滿足．記P的軌跡為曲線．（1）求的軌跡方程；（2）直線分別交動直線于點C、D,過點C作的垂線交x軸于點是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．19．（本小題滿分17分）羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的零點有關，是由法國數學家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達如下：如果函數滿足在閉區間連續，在開區間內可導，且,那么在區間內至少存在一點m,使得．（1）運用羅爾定理證明：若函數在區間連續，在區間上可導，則存在,使得；（2）已知函數,若對于區間內任意兩個不相等的實數，都有成立，求實數b的取值范圍；（3）證明：當時，有．

咸寧市2023—2024學年度下學期高中期末考試高二數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案CABADBBD8．D【解析】因為雙曲線E的離心率為，所以,因為,所以,由雙曲線的定義可得,所以,在中，由余弦定理得，在中，,設,則，由得,解得,所以，所以．故選D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．題號91011答案ABDACACD10．AC【解析】，所以在點處的切線方程，令,得，故A正確．，故，即，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，故B錯誤，C正確，所以,故D錯誤．故選AC．11．ACD【解析】方法1：對于A:由題設，長軸長,短軸長，則,得分別是中點，而柱體中為矩形，連接,由,∴四邊形為平行四邊形，,當平面時，平面,平面平面,則,有,中，是中點，則P為的中點，A選項正確；對于B:,則中，，外接圓半徑為,,則平面,三棱錐外接球的半徑為,所以外接球的表面積為，B選項錯誤；對于C:點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且與下底面所成的角分別為,令,則,又,則，，由橢圓性質知，則當或時，的最大值為，C選項正確；對于D:由,要使三棱錐體積最大，只需的面積和M,N到平面距離之和都最大，,令,且，則,，當時，有最大值,在下底面內以O為原點，構建如上圖的直角坐標系，且,則橢圓方程為，設,聯立橢圓得，，令，由對勾函教性質可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為,D選項正確．故選ACD．方法2：對于A:連接,因為平面平面,平面平面,所以,因為,所以,因為為中點，所以P為中點，故A正確；對于B:設球心為Q,則,所以,所以,故B錯誤；對于C:，所以，故C正確；對于D,設，則，所以，設,所以（時），所以，當時取等號，故D正確，故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．1013．【解析】方法1：法一：換元法令．方法2：目標函數+伸縮變換令．14．【解析】方法1：米勒圓選擇線路,以為弦的圓與相切于,連最大．所以甲帶球至時，到達最佳射門位置．由切割線定理，得,即,所以甲帶球碼時，到達最佳射門位置．選擇線路,以為弦的圓與相切于,連最大．所以甲帶球至時，到達最佳射門位置，由切割線定理，得,即，所以甲帶球碼時，到達最佳射門位置．方法2：代數方法若選擇線路，設，其中,則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，此時,所以，若選擇線路,則甲帶球碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路,以線段的中點N為坐標原點，的方向分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則,直線的方程為，設點，其中，所以，，令，則，所以，，當且僅當時，即當，即當時，等號成立，當且僅當時，等號成立，此時，,所以，若選擇線路,則甲帶球碼時，到達最佳射門位置．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．【解析】（1）因為,由正弦定理可得,3分，所以,故，5分又．6分（2）由題意可知,7分即,化簡得,9分在中，由余弦定理推論得，10分從而，11分解得或（舍）．12分所以．13分16．【解析】方法一：（1）如圖，取中點中點N,連接．因為,所以,所以四邊形是平行四邊形，所以．1分又,所以,所以四邊形是平行四邊形．2分因為,所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面平面,所以平面．3分同理可得平面．5分又平面平面,所以平面平面．6分又平面,所以平面．7分（2）如圖，以A為原點，以的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則,所以．8分設是平面的法向量，則，所以，所以．9分取,則,所以是平面的一個法向量．10分設是平面的法向量，則，所以，所以．11分取，則,所以是平面的一個法向量．12分設二面角的大小為,則，13分．14分所以，即二面角的正弦值為．15分方法二：（1）證明：如圖，取中，點M,連接．因為,所以,所以四邊形是平行四邊形，所以．2分又,所以,所以四邊形是平行四邊形．3分因為,所以,4分所以四邊形是平行四邊形，所以．5分又平面平面,6分所以平面,即平面．（2）如圖，以A為原點，以的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則,7分所以8分所以，9分所以是平面的一個法向量．10分設是平面的法向量，則,所以，11分取,則,所以是平面的一個法向量．12分設二面角的大小為，則13分，14分所以,即二面角的正弦值為．15分17．【解析】（1）據題意，每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為，得到1份文旅紀念品；既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會的概率為，獲得2份文旅紀念品，則X的可能取值為3,4,5,6，2分其中，3分，4分，5分，6分所以X的分布列為X3456P．7分（2）因為n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為個，則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，于是,10分則．12分于是，13分兩式相減，得，14分所以．15分18．【解析】（1）設點,則，因為，所以，3分整理得，5分所以的方程為．6分（2）方法一：設，則，故直線的斜率存在且不為0，則直線，即，則點．8分又直線，即，則點．10分又直線的斜率為，故直線，令,得．12分又在橢圓上，則，整理得，所以，則．