等差數列的前n項和公式（第1課時）教學設計課時教學內容掌握等差數列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關問題．課時教學目標1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.2.掌握等差數列前n項和公式.3.熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個．教學重點、難點重點：等差數列的前n項和的應用難點：等差數列前n項和公式的推導方法教學過程設計環節一創設情境，引入課題前面我們學習了等差數列的概念和通項公式，下面我們將利用這些知識解決等差數列的求和問題．據說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：高斯的算法實際上解決了求等差數列 ①前100項的和的問題．高斯（Gauss，1777－1855），德國數學家，近代數學的奠基者之一.他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻.環節二觀察分析，感知概念問題1：你能說說高斯在求和過程中利用了數列①的什么性質嗎？你能從中得到求數列①的前項和的方法嗎？對于數列①，設，那么高斯的計算方法可以表示為．可以發現，高斯在計算中利用了這一特殊關系，這就是上一小節例5中性質的應用，它使不同數的求和問題轉化成了相同數（即101）的求和，從而簡化了運算．問題2：你能用高斯的方法求嗎？將上述方法推廣到一般，可以得到：當是偶數時，有于是有．當是奇數時，有．所以，對任意正整數，都有．環節三抽象概括，形成概念問題3：我們發現，在求前個正整數的和時，要對分奇數、偶數進行討論，比較麻煩．能否設法避免分類討論？如果對公式作變形，可得它相當于兩個相加，而結果變成個相加．受此啟發，我們得到下面的方法：將上述兩式相加，可得所以環節四辨析理解深化概念問題4：上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數列的前項和嗎？可以發現，上述方法的妙處在于將“倒序”為，再將兩式相加，得到個相同的數（即）相加，從而把不同數的求和轉化為個相同的數求和．對于等差數列，因為，由上述方法得到啟示，我們用兩種方式表示： ① ②得由此得到等差數列的前項和公式 （1）對于等差數列，利用公式（1），只要已知等差數列的首項和末項，就可以求得前項和．另外，如果已知首項和公差，那么這個等差數列就完全確定了，所以我們也可以用和來表示．把等差數列的通項公式代入公式（1），可得 （2）將（1）變形可得，所以就是等差教列前項的平均數．實際上，我們就是利用等差數列的這一重要特性來推導它的前項和的．你還能發現這一特性的一些應用嗎?問題5：不從公式（1）出發，你能用其他方法得到公式（2）嗎？環節五概念應用，鞏固內化例6已知數列是等差數列．（1）若，，求；（2）若，，求；（3）若，，，求．問題6：對于等差數列的相關量，，，，，已知幾個量就可以確定其他量?分析：對于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得．解：（1）因為，，根據公式，可得．（2）因為，，所以．根據公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或(舍去)．所以．例7已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？分析：把已知條件代入等差數列前項和的公式（2）后，可得到兩個關于與的二元一次方程．解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得和．解：由題意，知，．把它們代入公式，得，解方程組，得．所以，由所給的條件可以確定等差數列的首項和公差．一般地，對于等差數列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數列就完全確定．探究已知數列的前項和為，其中，，為常數，且．任取若干組，，，在電子表格中計算，，，，的值（圖給出，，的情況），觀察數列的特點，研究它是一個怎樣的數列，并證明你的結論．環節六歸納總結,反思提升問題8請同學們回顧本節課的學習內容,并回答下列問題：1.本節課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數學思想？1．知識清單：(1)等差數列前n項和及其計算公式．(2)等差數列前n項和公式的推導過程．(3)由an與Sn的關系求an.(4)等差數列在實際問題中的應用．2．方法歸納：函數與方程思想、倒序相加法、整體思想．3．常見誤區：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論．環節七 目標檢測，作業布置完成教材：教科書練習第24頁第1,2,3題習題第24頁第1,2,3,4題.練習（第22頁）1．根據下列各題中的條件，求相應等差數列的前項和．（1），，； （2），，；（3），，； （4），，．1．解析：（1）；（2）；（3），，，；（4）由，得，解得，．2．等差數列的前多少項的和是?2．解析：由題意知，，．∵前項和是，，即．，又，，∴等差數列的前10項和是．3．在等差數列中，為其前項的和，若，，求．3．解析：由題意知，，，，仍成等差數列，即6，14，，仍成等差數列，設該等差數列為，則，，，，，，，．4．在等差數列中，若，求．4．解析：設等差數列的公差為，則．整理