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2025屆黑龍江省齊齊哈爾市五縣數(shù)學(xué)九上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每題4分,共48分)1.如圖,以(1,-4)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn),則一元二次方程ax2+bx+c=0的正數(shù)解的范圍是()A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<62.如圖,⊙O是正△ABC的外接圓,點(diǎn)D是弧AC上一點(diǎn),則∠BDC的度數(shù)().A.50° B.60° C.100° D.120°3.某林業(yè)部門要考察某幼苗的成活率,于是進(jìn)行了試驗(yàn),下表中記錄了這種幼苗在一定條件下移植的成活情況,則下列說法不正確的是()移植總數(shù)400150035007000900014000成活數(shù)369133532036335807312628成活的頻率09230.89009150.9050.8970.902A.由此估計(jì)這種幼苗在此條件下成活的概率約為0.9B.如果在此條件下再移植這種幼苗20000株,則必定成活18000株C.可以用試驗(yàn)次數(shù)累計(jì)最多時(shí)的頻率作為概率的估計(jì)值D.在大量重復(fù)試驗(yàn)中,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,幼苗成活的頻率會(huì)越來越穩(wěn)定,因此可以用頻率估計(jì)概率4.某單行道路的路口,只能直行或右轉(zhuǎn),任意一輛車通過路口時(shí)直行或右轉(zhuǎn)的概率相同.有3輛車通過路口.恰好有2輛車直行的概率是()A. B. C. D.5.點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)25,43,28,2□,43,36,52進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)被墨水涂污看不到了,則計(jì)算結(jié)果與涂污數(shù)字無關(guān)的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.眾數(shù)6.給出下列函數(shù),其中y隨x的增大而減小的函數(shù)是()①y=2x;②y=﹣2x+1;③y=(x<0);④y=x2(x<1).A.①③④ B.②③④ C.②④ D.②③7.拋物線經(jīng)過平移得到拋物線,平移的方法是()A.向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位C.向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位D.向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位8.袋子中有4個(gè)黑球和3個(gè)白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.在看不到球的條件下,隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球,摸到白球的概率為()A. B. C. D.9.如圖,從點(diǎn)看一山坡上的電線桿,觀測(cè)點(diǎn)的仰角是45°,向前走到達(dá)點(diǎn),測(cè)得頂端點(diǎn)和桿底端點(diǎn)的仰角分別是60°和30°,則該電線桿的高度()A. B. C. D.10.拋物線可由拋物線如何平移得到的()A.先向左平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位B.先向左平移6個(gè)單位,再向上平移7個(gè)單位C.先向上平移2個(gè)單位,再向左平移3個(gè)單位D.先回右平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位11.在相同的時(shí)刻,太陽光下物高與影長(zhǎng)成正比.如果高為1.5米的人的影長(zhǎng)為2.5米,那么影長(zhǎng)為30米的旗桿的高是().A.18米
B.16米
C.20米
D.15米12.一個(gè)由小菱形組成的裝飾鏈,斷去了一部分,剩下部分如圖所示,則斷去部分的小菱形的個(gè)數(shù)可能是()A.6個(gè) B.7個(gè) C.8個(gè) D.9個(gè)二、填空題(每題4分,共24分)13.若、為關(guān)于x的方程(m≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則的值為________.14.若關(guān)于的分式方程有增根,則的值為__________.15.如圖,利用標(biāo)桿測(cè)量建筑物的高度,已知標(biāo)桿高1.2,測(cè)得,則建筑物的高是__________.16.三角形兩邊的長(zhǎng)分別是8和6,第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則該三角形的面積是.17.一個(gè)密碼箱的密碼,每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù),若要使一次撥對(duì)的概率小于,則密碼的位數(shù)至少要設(shè)置___位.18.已知某小區(qū)的房?jī)r(jià)在兩年內(nèi)從每平方米8100元增加到每平方米12500元,設(shè)該小區(qū)房?jī)r(jià)平均每年增長(zhǎng)的百分率為,根據(jù)題意可列方程為______.三、解答題(共78分)19.(8分)已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,連接BD,AE⊥BD,垂足為E.(1)求證:△ABE∽△DBC;(2)若AD=25,BC=32,求線段AE的長(zhǎng).20.(8分)如圖,點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn),過D作DE⊥OB于E,以DE為半徑作⊙D,①判斷⊙D與OA的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.②通過上述證明,你還能得出哪些等量關(guān)系?21.(8分)2019年,中央全面落實(shí)“穩(wěn)房?jī)r(jià)”的長(zhǎng)效管控機(jī)制,重慶房市較上一年大幅降溫,11月,LH地產(chǎn)共推出了大平層和小三居兩種房型共80套,其中大平層每套面積180平方米,單價(jià)1.8萬元/平方米,小三居每套面積120平方米,單價(jià)1.5萬元/平方米.(1)LH地產(chǎn)11月的銷售總額為18720萬元,問11月要推出多少套大平層房型?(2)2019年12月,中央經(jīng)濟(jì)會(huì)議上重申“房子是拿來住的,不是拿來炒的”,重慶房市成功穩(wěn)定并略有回落.為年底清盤促銷,LH地產(chǎn)調(diào)整營(yíng)銷方案,12月推出兩種房型的總數(shù)量仍為80套,并將大平層的單價(jià)在原有基礎(chǔ)上每平方米下調(diào)萬元(m>0),將小三居的單價(jià)在原有基礎(chǔ)上每平方米下調(diào)萬元,這樣大平層的銷量較(1)中11月的銷量上漲了7m套,且推出的房屋全部售罄,結(jié)果12月的銷售總額恰好與(1)中I1月的銷售總額相等.求出m的值.22.(10分)如圖1,拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),己知點(diǎn)A(-3,0)、C(1,0).(1)求此拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合).①過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D,交直線AB于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),PE最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);②如圖2,連接AP,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,當(dāng)它恰好有一個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).23.(10分)如圖,在中,,,,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接.將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.①②③④(1)問題發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí),.(2)拓展探究:試判斷:當(dāng)時(shí),的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖②的情況給出證明.(3)問題解決:當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí),如圖③,圖④,直接寫出線段的長(zhǎng).24.(10分)若拋物線y=ax2+bx﹣3的對(duì)稱軸為直線x=1,且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0).(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí),則函數(shù)值y的取值范圍為.(3)若方程ax2+bx﹣3=n有實(shí)數(shù)根,則n的取值范圍為.25.(12分)如圖,直線和反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn),已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求該反比例函數(shù)的解析式;(2)求出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(3)連接,求的面積.26.如圖1:在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),試探索AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.小明同學(xué)的思路是這樣的:將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連接EC,DE.繼續(xù)推理就可以使問題得到解決.(1)請(qǐng)根據(jù)小明的思路,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,在Rt△ABC中,AB=AC,D為△ABC外的一點(diǎn),且∠ADC=45°,線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系又是如何的,請(qǐng)證明你的結(jié)論;(3)如圖3,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D是⊙O上的點(diǎn),且∠ADC=45°.①若AD=6,BD=8,求弦CD的長(zhǎng)為;②若AD+BD=14,求的最大值,并求出此時(shí)⊙O的半徑.
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、C【解析】試題解析:∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(1,-4),∴對(duì)稱軸為x=1,而對(duì)稱軸左側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是-3<x<-2,∴右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是4<x<1.故選C.考點(diǎn):圖象法求一元二次方程的近似根.2、B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論解答即可.【詳解】解:∵△ABC是正三角形,∴∠A=60°,∴∠BDC=∠A=60°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論,屬于基礎(chǔ)題型,熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3、B【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng),并且擺動(dòng)的幅度越來越小,根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理,可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率,這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率即可得到答案.【詳解】解:由此估計(jì)這種幼苗在此條件下成活的概率約為0.9,故A選項(xiàng)正確;如果在此條件下再移植這種幼苗20000株,則大約成活18000株,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;可以用試驗(yàn)次數(shù)累計(jì)最多時(shí)的頻率作為概率的估計(jì)值,故C選項(xiàng)正確;在大量重復(fù)試驗(yàn)中,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,幼苗成活的頻率會(huì)越來越穩(wěn)定,因此可以用頻率估計(jì)概率,故D選項(xiàng)正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用頻率估計(jì)概率,大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率,掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.4、B【分析】用表示直行、表示右轉(zhuǎn),畫出樹狀圖表示出所有的種等可能的結(jié)果,其中恰好有輛車直行占種,然后根據(jù)概率公式求解即可.【詳解】解:若用表示直行、表示右轉(zhuǎn),則畫樹狀圖如下:∵共有種等可能的結(jié)果,其中恰好有輛車直行占種∴(恰好輛車直行).故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合兩步或兩步以上完成的事件;注意概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.5、B【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都與第4個(gè)數(shù)有關(guān),而這組數(shù)據(jù)從小到大排序后,位于中間位置的數(shù)是36,與十位數(shù)字是2個(gè)位數(shù)字未知的兩位數(shù)無關(guān),∴計(jì)算結(jié)果與涂污數(shù)字無關(guān)的是中位數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了標(biāo)準(zhǔn)差:樣本方差的算術(shù)平方根表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,它也描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度.也考查了中位數(shù)、平均數(shù).6、D【解析】分別根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行解答即可【詳解】解:①∵y=2x中k=2>0,∴y隨x的增大而增大,故本小題錯(cuò)誤;
②∵y=-2x+1中k=-2<0,∴y隨x的增大而減小,故本小題正確;
③∵y=(x<0)中k=2>0,∴x<0時(shí),y隨x的增大而減小,故本小題正確;
④∵y=x2(x<1)中x<1,∴當(dāng)0<x<1時(shí),y隨x的增大而增大,故本小題錯(cuò)誤.
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì),熟知一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.7、D【解析】∵拋物線y=-3(x+1)2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),平移后拋物線y=-3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),∴平移方法為:向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位.故選D.8、A【分析】根據(jù)題意,讓白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到白球的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,袋子中有4個(gè)黑球和3個(gè)白球,∴摸到白球的概率為:;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的基本計(jì)算,摸到白球的概率是白球數(shù)比總的球數(shù).9、A【分析】延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,設(shè)PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE,根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng),則PQ的長(zhǎng)度即可求解.【詳解】解:延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,設(shè)PE=x.
在直角△APE中,∠PAE=45°,
則AE=PE=x;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,,∵AB=AE-BE=6,則解得:∴在直角△BEQ中,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.10、A【分析】先將拋物線化為頂點(diǎn)式,然后按照“左加右減,上加下減”的規(guī)律進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋詫佄锞€先向左平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位即可得到拋物線,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律,熟練掌握“左加右減,上加下減”的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比,即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體,影子,經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似.【詳解】根據(jù)題意解:標(biāo)桿的高:標(biāo)桿的影長(zhǎng)=旗桿的高:旗桿的影長(zhǎng),即1.5:2.5=旗桿的高:30,∴旗桿的高==18米.故選:A.【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用,本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,求解即可得出旗桿的高.12、C【解析】觀察圖形,兩個(gè)斷開的水平菱形之間最小有2個(gè)豎的菱形,之后在此基礎(chǔ)上每增加一個(gè)也可完整,即可以是2、5、8、11……故選C.點(diǎn)睛:探索規(guī)律的題型最關(guān)鍵的是找準(zhǔn)規(guī)律.二、填空題(每題4分,共24分)13、-2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,,代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可.【詳解】∵,,∴,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)關(guān)系,熟記:兩根之和是,兩根之積是,是解題的關(guān)鍵.14、3【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,并求出x的值,然后再令x+2=0,即可求得m的值.【詳解】解:由得:x=4-2m令x+2=0,得4-2m+2=0,解得m=3故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根,解分式方程和把增根代入整式方程求得相關(guān)字母的值是解答本題的關(guān)鍵.15、10.5【解析】先證△AEB∽△ABC,再利用相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】解:由題可知,BE⊥AC,DC⊥AC∵BE//DC,∴△AEB∽△ADC,∴,即:,∴CD=10.5(m).故答案為10.5.【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì).利用相似的性質(zhì)列出含所求邊的比例式是解題的關(guān)鍵.16、24或.【解析】試題分析:由x2-16x+60=0,可解得x的值為6或10,然后分別從x=6時(shí),是等腰三角形;與x=10時(shí),是直角三角形去分析求解即可求得答案.考點(diǎn):一元二次方程的解法;等腰三角形的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì).勾股定理.17、1.【分析】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率,再根據(jù)所在的范圍解答即可.【詳解】因?yàn)槿∫晃粩?shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為;取兩位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為;取三位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為;取四位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為.故一次就撥對(duì)的概率小于,密碼的位數(shù)至少需要1位.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用,一般方法為:如果一個(gè)事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)=.18、【分析】根據(jù)相等關(guān)系:8100×(1+平均每年增長(zhǎng)的百分率)2=12500即可列出方程.【詳解】解:根據(jù)題意,得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用之增長(zhǎng)降低率問題,一般的,若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為:.三、解答題(共78分)19、(1)證明見解析;(2)1【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可知∠ABD=∠ADB,由AD∥BC可知,∠ADB=∠DBC,由此可得∠ABD=∠DBC,又因?yàn)椤螦EB=∠C=90°,所以可證△ABE∽△DBC;
(2)由等腰三角形的性質(zhì)可知,BD=2BE,根據(jù)△ABE∽△DBC,利用相似比求BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理求AE即可.【詳解】(1)證明:∵AB=AD=25,
∴∠ABD=∠ADB,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=∠C=90°,
∴△ABE∽△DBC;
(2)解:∵AB=AD,又AE⊥BD,
∴BE=DE,
∴BD=2BE,
由△ABE∽△DBC,
得,
∵AB=AD=25,BC=32,
∴,
∴BE=20,
∴AE==1.【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理解題.20、(1)⊙D與OA的位置關(guān)系是相切,證明詳見解析;(2)∠DOA=∠DOE,OE=OF.【分析】①首先過點(diǎn)D作DF⊥OA于F,由點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn),DE⊥OB,根據(jù)角平分線的性質(zhì),即可得DF=DE,則可得D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE,則可證得⊙D與OA相切.
②根據(jù)切線的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:①⊙D與OA的位置關(guān)系是相切,
證明:過D作DF⊥OA于F,
∵點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn),DE⊥OB,
∴DF=DE,
即D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE,
∴⊙D與OA相切.
②∠DOA=∠DOE,OE=OF.21、(1)30(2)2【分析】(1)設(shè)推出大平層x套,小三居y套,根據(jù)題意列出方程求解即可;(2)由題意得,12月大平層推出套,單價(jià)為,12月小三居推出套,單價(jià)為,根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)推出大平層x套,小三居y套,由題意得②①故11月要推出30套大平層房型;(2)解:由題意得,12月大平層推出套,單價(jià)為,12月小三居推出套,單價(jià)為∴解得或∵∴.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程組和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,掌握解一元一次方程組和一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.22、(1)y=x2+2x﹣3;(2)①(﹣,),②(﹣-1,2)或(,)或(-1,-4)【分析】(1)直接用待定系數(shù)法求解即可;(2)①由拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3,令x=0,y=﹣3,求出點(diǎn)B(0,-3),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,把A(﹣3,0)和B(0,﹣3)代入y=kx+b求出k=-1,b=-3,直線AB的解析式為y=﹣x﹣3,設(shè)E(x,﹣x﹣3),則PE=﹣(x+)2+,從而得當(dāng)PE最大時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,);②拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1,A(﹣3,0),正方形APMN的頂點(diǎn)落在拋物線對(duì)稱軸上的情況有兩種情況,i)當(dāng)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸直線x=﹣1上;ii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸直線x=﹣1;根據(jù)這兩種情況,作出圖形,找到線段之間的等量關(guān)系,解之即可..【詳解】(1)把A(﹣3,0)和C(1,0)代入y=ax2+bx﹣3得,,解得,∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3;(2)設(shè)P(x,x2+2x﹣3),直線AB的解析式為y=kx+b,①由拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3,令x=0,y=﹣3,∴B(0,﹣3),把A(﹣3,0)和B(0,﹣3)代入y=kx+b得,解得,∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣3,∵PE⊥x軸,∴E(x,﹣x﹣3),∵P在直線AB下方,∴PE=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+,當(dāng)x=﹣時(shí),y=x2+2x﹣3=,∴當(dāng)PE最大時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,).②拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1,A(﹣3,0),正方形APMN的頂點(diǎn)落在拋物線對(duì)稱軸上的情況有三種:i)當(dāng)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸直線x=﹣1上時(shí),作PR⊥x軸于點(diǎn)R,設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為L(zhǎng),如圖①,∵四邊形APMN為正方形,∴AN=AP,∠PAR+∠RAN=90°,∵∠PAR+∠APR=90°,∴∠APR=∠RAN,在△APR和△NAL中∴△APR≌△NAL(AAS),∴PR=AL,∵AL=﹣1-(﹣3)=2,∴PR=2,此時(shí)x2+2x﹣3=2,解得x1=-1,x2=﹣-1,∵P在直線AB下方,∴x=﹣-1,∴P(﹣-1,2);ii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸直線x=﹣1上時(shí),如圖②,過點(diǎn)P作PH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H、作AG⊥HP于點(diǎn)G,∵四邊形APMN為正方形,∴PA=PM,∠APM=90°,∴∠APG+∠MPH=90°,∵∠APG+∠GAP=90°,∴∠GAP=∠HPM,在△APG和△PMH中∴△APG≌△PMH(AAS),∴AG=PH,PG=MH,∴GH=PG+PH∵P(x,x2+2x-3)∴x+3+(-x2-2x+3)=2,解得x1=,x2=,∵P在直線AB下方,∴x=,∴P(,)ⅲ)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸直線x=-1.上時(shí),P(-1,-4),終上所述,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(﹣-1,2)或(,)或(-1,-4).【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式、配方法求二次函數(shù)最值、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),有一定綜合性,難度適中.第(3)問的兩種情況當(dāng)中,根據(jù)圖形,構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵.23、(1);(2)無變化,理由見解析;(3)圖③中;圖④中;【分析】(1)問題發(fā)現(xiàn):由勾股定理可求AC的長(zhǎng),由中點(diǎn)的性質(zhì)可求AE,BD的長(zhǎng),即可求解;(2)拓展探究:通過證明△ACE∽△BCD,可得;(3)問題解決:由三角形中位線定理可求DE=1,∠EDC=∠B=90°,由勾股定理可求AD的長(zhǎng),即可求AE的長(zhǎng).【詳解】解:(1)問題發(fā)現(xiàn):∵∠B=90°,AB=2,BC=6,∴AC=,∵點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),∴AE=EC=,BD=CD=3,∴,故答案為:;(2)無變化;證明如下:∵點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),,,∵,,∴,∴,∴;(3)如圖③,∵點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),∴DE=AB=1,DE∥AB,∴∠CDE=∠B=90°,∵將△EDC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),∴∠CDE=90°=∠ADC,∴AD=,∴AE=AD+DE=;如圖④,由上述可知:AD=,∴;【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,考查了相似三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,正確尋找相似三角形解決問題,屬于中考常考題型.24、(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)﹣1≤y≤5;(3)n≥﹣1.【分析】(1)由對(duì)稱軸x=1可得b=-2a,再將點(diǎn)(3,0)代入拋物線解析式得到9a+3b-3=0,然后列二元一次方程組求出a、b即可;(2)用配方法可得到y(tǒng)=(x﹣1)2﹣1,則當(dāng)x=1時(shí),y有最小值-1,而當(dāng)x=-2時(shí),y=5,即可完成解答;(3)利用直線y=n與拋物線y=(x﹣1)2﹣1有交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程ax2+bx-3=n有實(shí)數(shù)解,再根據(jù)根的判別式列不式、解不等式即可.【詳解】解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,∴﹣=1,即b=﹣2a,∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0).∴9a+3b﹣3=0,把b=﹣2a代入得9a﹣6a﹣3=0,解得a=1,∴b=﹣2,∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;(2)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣1,∴x=1時(shí),y有最小值﹣1,當(dāng)x=﹣2時(shí),y=1+1﹣3=5,∴當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí),則函數(shù)值y的取值范圍為﹣1≤y≤5;(3)當(dāng)直線y=n與拋物線y=(x﹣1)2﹣1有交點(diǎn)時(shí),方程ax2+bx﹣3=n有實(shí)數(shù)根,∴n≥﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其與二元一次方程的關(guān)系,把求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.25、(1);(2)的坐標(biāo)為;(3)的面積為.【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中即可出答案;(2)將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立求出B點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征寫出C的坐標(biāo)即可;(3)利用正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求出的面積.【詳解】(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,得解得∴反比例函數(shù)的解析式為(2)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中,得解得∴一次函數(shù)的解析式為解得或∴B的坐標(biāo)為∵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是∴C的坐標(biāo)為(3)如圖【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合,掌握待定系數(shù)法,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.26、(1)CD2+BD2=2AD2,見解析;(2)BD2=CD2+2AD2,見解析;(3)①7,②最大值為,半徑為【分析】(1)先判斷出∠BAD=CAE,進(jìn)而得出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,∠B=∠ACE,再根據(jù)勾股定理得出DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在Rt△ADE中,DE2=AD2+
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