9.3一元一次不等式

解集的分類討論

【典型例題】

【例1】解關于X的不等式組：［°<5K+3Q41,其中。為參數.

10<5%—3a<1

0<5x+3a<1①

【答案】解:

0<5x-3a<1②'

解不等式①得：-3a〈5xWl-3a,

--3a<7x<,l-3a

解不等式②得：3〃V5%Wl+3m

37,l+3a

55

,當一時，a=0,

55

1-3(11+3Q.J_L八

當\iz工一=—^一時，a=0,

31+3G_L1

3—a=UH于,a——，

556

、［,,31—3CI_L1

芻-。=---U時，a=一，

556

...當a2：或aw—：時，原不等式組無解；

當OWaV*時，原不等式組的解集為：|?<%<^

當—工VaVO時，原不等式組的解集為：—jaV%W

65

ax+3>2x+4

【例2】試求出所有的實數對a、b,使得關于尤的不等式組

3bx—4<—5x+1

的解集為2Vx<5.

ax+3>2x+4((a—2)%>1①

【答案】解:3bx-4<-5x+1[(3b+5)%V5'

因為①的解為2Vx<5,所以a-2W0,且％+5WO,

a-2>0

則①0A<%<5

(1)若3b+5'

、3b+5>0

(—=2(a=-

從，解得I24,符合要求;

■=5

⑵若f一2>°,則①=x>—a-2

13b+5<0x>-/~

3b+5

這顯然不是2<xV5,不合要求;

、x<—

zJa-2Voa-2

(3)右，則①Q.

13b+5>0X<—

3b+5

這不合要求，

Q—2Vo5

(4)若則①Q

(3b+5Vo3匕+5

(1(11

-----5rct———

從而,解得《5$

——=2b=——

、3匕+5\6

這與a-2V0矛盾！不合要求!

綜上所述,

【專題訓練】

x2—x—2>0

1.若不等式組的整數解只有x=-2,求實數攵的取值

、2%2+(5+2k)x+5k<0

范圍.

【答案】解：因為x=-2是不等式組的解，把x=-2代入第2個不等式得:

(2x+5)Cx+k)=[2*(-2)+5]?(-2+k)<0,

解得上<2,

所以I，即第2個不等式的解為一|VxV3

而第1個不等式的解為xV-1或x>2,

x<-1

這兩個不等式僅有整數解X=-2,應滿⑴或

、x為整數

rx>2

（2）<-|<x<-fc

、x為整數.

對于（1）因為XV-1,

所以僅有整數解為x=-2此時為滿足題目要求不等式組（2）應無整數解，

這時應有-2<-&W3,-

綜合（1）（2）有-34AV2.

2.若關于"的不等式組｛之點3有實數解.求.的取值范圍.

'2%>3%-30

【答案】解:

、3x—a>5②

由①得，x<3,

由②得，x>g++

?..不等式組有實數解,

33

解得a<4.

x—3（%—b）W4

a+2x、]一的解集為lWxV2,求a、方的值.

（丁>“-1

（2）已知關于x的不等式組｛言;1一5a無解，試化簡口+1|T3-外

【答案】解：（1）由①，得

、3b

,

xN-2--2

由②，得

x〈3+a,

所以不等式組的解集為弓-2WxV3+a,

因為已知不等式組的解集委1WXV2,

所以F—2=1，3+a—2,

所以a=-1,b=2.

(2)?.?關于x的不等式組{晨;35a無解，

?二a-3>15-5〃

原式=。+1-(a-3)=4.

X+2Q>4

的解集是0VxV2,求。。的值.

{2x-b<5

(X+2a>4(x>4—2a

【答案】解：由不等式組得，5+b

(2x-b<5x<^

2

x+2a>4

的解集是0VxV2,

(2x-b<5

4—2Q=0

3=2

,2

解得，仁i

：.ab=2X(-1)=-2.

5.若不等式組(10-x<-1(Q—21)的解集為-2VxV4,求出。、。的值.

13b-2%>1

【答案】解：解不等式10-xV-(a-2),得:x>a+8,

解不等式初-2x>l,得：x<—2,

..?解集為-2<x<4,

(a+8=-2

解得：a=-10,b=3?

(2y+5<3(y+t)

6.若關于y的不等式組匕的整數解是-3、-2、-1、0、1,求

(236

參數f的取值范圍.

(2y+5<3(y+t)①

【答案】解：二川7之，

---、----(Z)

236

由①得，y》5-3r,2012

由②得，y<3t-l,

(2y+5<3(y+t)

???關于y的不等式組上<2_二的整數解是-3,-2,-1,0,1,

，236

此不等式組的解集為5-3t^y<3t-7,

?.?不等式組的整數解為-3,-2,-1,0,1,

.解得：卜<3

ll<3t-7<23

X+Q>0

1-。有3個整數解，則。的取值范圍是多少.

{9

【答案】解：由x+a20,得：-a,

由1-2x>x-2,得：x<l,

?.?不等式組有3個整數解，

-3V-aW-2,

解得2Wa<3.

(2y+5<3(y+t)

8.關于y的不等式組匕的整數解是-3,-2.-1,0,1,求參

、236

數f的取值范圍.

'2y+5<3(y+t)①

【答案】解:

23-3②

由①得yN5-3t,

由②得y<3r-7.

則不等式組的解集是5-3fWyV3L7.

?.?不等式組的整數解是-3,-2.-1,0,1,

-4<5-3W-3,l<3f-7W2,

3

綜上，|<z<3

故參數，的取值范圍為g〈fV3.

9.若三個代數式滿足：只要其中有兩個代數式之和大于另外一個代數式的解集

為大于1的實數，則稱這三個代數式構成“雅禮不等式”.例如：三個代數式

2x-5,2-x,-2有：當2x-5+2-x>-2時的解集為x>l,則稱2x-5,2

-x,-2構成“雅禮不等式”.

(1)x-2,1,九+1可以構成“雅禮不等式”嗎？請說明理由；

(2)若ax,a+1,x構成“雅禮不等式”，求。的值或取值范圍；

(3)若mx+m,-2nx,n構成“雅禮不等式”，求關于x的不等式組

2nx—n<mx—m

J的t解集.

(2mx>n+m

【答案】解：(1)x-2,1,x+1可以構成“雅禮不等式”，

'：x-2+x+l>l,即2x-1>1的解集為x>l,

：.x-2,1,x+1可以構成“雅禮不等式”.

(2)①若辦+a+l>x,即(a-1)x>-(a+1),

則a-1>0即且一小=1,

a-1

解得a=0(舍)；

②若4x+x>〃+l,即(a+l)x>a+l,

則〃+1>0且尤>1,符合題意；此時。>-1；

③若a+l+x>ar,即(a-1)九Va+1,

則a-lVO,即aVl且二=1(此方程無解)；

a-1

綜上，。>-1;

(3)①若-即(m+2n)x<n-m,

則m+2n<0即m<-2n且m"+一2n二1,

化簡得n=-2m,

代入m+2n<0得-3m<0,即m>0,貝Un<0,

由2ruc-n<mx-m,得：Gn-2n)x>m-B|J5mx>3m,

由2mx>m+n9得：2租x>-m.

此時不等式組的解集為x>點

②若+唐+〃>-2nX,即(m+2〃)x>~(m+幾),

、八

則m.icm+2n1

m+2n>0,----m--+--n-=1,

化簡得n——