3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

卜課前自主預(yù)習(xí)

O基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.空間向量的夾角

如果㈤b〉=1，那么向量a,萬園互相垂直,記作因小瓦

2.空間向量的數(shù)量積

回已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|向cos〈防垃叫做a,力的數(shù)

定義

量積，記作風(fēng)力

數(shù)乘向量與向量

(%)”國23協(xié))

數(shù)量積的結(jié)合律

運(yùn)算律交換律ab=嗎萬?a

分配律a(b+c)=回.力+a?c

兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)若a,乃是非零向量，貝力=0；

(2)若a與8同向，則ab=O|a||Z>|；

若反向，則a,b=/一㈤囹；

特別地：(ra=或回⑷；

(3)若。為“，8的夾角，則cos6=%氤；

(4)|a山叵WJ姻

Si自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a,b,a〃〃是〈a,b)=0的充要條件.()

(2)若層=〃，則a=Z>或a=一5.()

(3)若m8均為非零向量，則⑷制是a與方共線的充要條件.()

(4)在△ABC中，(宓，BC)=ZB.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.做一做

(1)(教材改編P92T3)已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長都是。，點(diǎn)E,F,G

分別為AB,AD,。。的中點(diǎn)，則,等于()

A.IBA-ACB.lAD-BD

C.2FG-CAD.2EF-BC

7T

(2)若向量a與川兩足同=1,向=2且a與方的夾角為則.

(3)已知聞=/，網(wǎng)=乎，。電=—乎，則a與〃的夾角為.

(4)已知a,8是空間兩個(gè)向量，若⑷=2,向=2,|Q—例=巾，則cos〈a,b)

1

4\-

答案(1)B(2)1(3)135°z18

解析與血的夾角為60。，|必=|網(wǎng)=a,

?.2AD-BD=2的物cos60。=2XaXaX^=a2.

卜課堂互動(dòng)探究

探究1求向量的數(shù)量積

例1如圖所示，已知空間四邊形ABCO的每條邊和對(duì)角線長都等于1,點(diǎn)E,

產(chǎn)分別是AB,AO的中點(diǎn)，計(jì)算：

⑴旗威；⑵旗詼；(3)旗比;(4)赤臣

[解]⑴旗瓦=；礪切=；|物畫|cos<BD,BA)-|xiXlXcos60°=^.

(2)旗的=g|麗琳os〈詼Bit)=|xiXlXcosO°=1.

⑶旗狂;擊虎=g|物|為cos〈礪，DC)=^X1X1XCOS120°=-1.

(4)礪CE=^(Bb+冊(cè);@+CA)

=^[Bb[-BC)+BA-(-BC)+BbCA+BA-CA]

=^[-^BC-BA-BC+(Cb-CB)-CA+A3Aq

1(11,11,H1

=4Xr2-2+2-2+2j=-8-

拓展提升

1.空間向量運(yùn)算的兩種方法

(1)利用定義：利用a6=|a||b|cosQ,b)并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖

形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.

2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)代入a-A=|a||A|cos(a,b)求解.

【跟蹤訓(xùn)練1】如圖，在長方體ABCO-AIBIGQI中，AB=AA\=\,AD=

2,。為AC與B。的交點(diǎn)，E為AQi的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：

⑴礪荔；

⑵宓而；

(3)協(xié)應(yīng)

解設(shè)花=a,AD=b,AA\=c,

則|a|=|c|=l,步|=2,

{\y：BD=AD-AB=b-a,

:.BDAAi=(b—a),c=bc—ac.

又a,b,c兩兩互相垂直，

.'.bc=Q,ac=O,故協(xié)筋i=0.

⑵?森=荔+北

=篇1+；而

=c+),

又衣=9+應(yīng)Ha+力,

(。+5)

=1|Z>|2=2.

⑶：應(yīng)H葩-建1

=/麗而一(荔+殆

=1(a+6)—

1

=呼—C,

又衣=a+Z>,

/.而AC=&-c)(a+5)=；/=；.

探究2利用數(shù)量積求夾角

例2已知空間四邊形0A3C各邊及對(duì)角線長都相等，E,尸分別為AB,0C

的中點(diǎn)，求異面直線0E與BE所成角的余弦值.

［解］如下圖，

設(shè)殖=a,OB=b,OC=c,且同=|回=|c|=l,易知NA03=N30C=NA0C

=y

則ab=bc=ca=^.

因?yàn)閼?yīng)1=；（應(yīng)1+曲=%+方）,BF=OF-OB=^OC-OB=^c—b,\dE\=\BF\=^,

所以宓帝=；（4+》）（｝。-。）=；4.。+（。七―；46_382=_3，

所以cos（0E,~BP）=°*此=-*

\OE］\BF\

2

所以異面直線0E與B/所成角的余弦值是京

拓展提升

由數(shù)量積求角的方法策略

（1）求幾何體中兩個(gè)向量的夾角可以把其中一個(gè)向量平移與另一個(gè)向量的起

點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角的大小，通過解三角形得出夾角的大小，此法就是

求兩個(gè)向量夾角的平移法.

（2）由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義得cos〈a,b）=儡|,求〈a,b）的大小，

轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的數(shù)量積及兩個(gè)向量的模，求出（a,b）的余弦值，進(jìn)而求出

〈a,b）的大小.在求a0時(shí)注意結(jié)合空間圖形，把a(bǔ),分用基向量表示出來，進(jìn)

而化簡(jiǎn)得出a）的值.

（3）利用向量的數(shù)量積求出兩向量的夾角，則這個(gè)夾角就是兩異面直線所成的

角或補(bǔ)角（注意異面直線所成角的范圍）.

【跟蹤訓(xùn)練2］三棱柱ABC-A\B\C\中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，ZBAAi

=ZCA4i=60°,則異面直線A3與3G所成角的余弦值為.

較案小

口水6

解析下圖所示,

設(shè)該三棱柱的底面邊長為1,依題意有葩=葩+荔，拓=9+荔+就=衣

+AA-AB,則|葩F=(森+筋＞=衣+2宓葩+前2=2+2COS60O=3,\BC^=(AC

+筋l麗2=赤+就2+衣+2衣.而l2衣.血一2萬「漉=2,而葩.反;=(焉+

AA^(AC+AA-AB)=AB-AC+AB-AA-AB-AB+A-AC+AAx-AA-AAyAiB=\+\-l+

AgiBCi1^6

1—1,所以cos〈荔比〉=,

\ABi\\BCi\小X也6

所以異面直線A3與8a所成角的余弦值為嚕.

探究3利用向量數(shù)量積求距離

例3已知線段A3在平面a內(nèi)，線段AC，a,線段且與a所成的

角是30。，如果AB=a,AC=BD=b,求C,。間的距離.

［解］下圖，由AC_La,知ACLAA過點(diǎn)。作DO'于點(diǎn)。'，連接8。'，

則NOBO'=30°,(CA,BED=120°,所以|22=近⑦=(2+石+曲2=|德

F+麗+兩+2說而+2說語+2希弧序+/+廿+2爐cosl20°=a2+〃，

故。。=肉次+序

拓展提升

(1)線段長度的計(jì)算通常有兩種方法：一是構(gòu)造三角形，解三角形；二是向量

法，計(jì)算相應(yīng)向量的模，此時(shí)常需將待求向量轉(zhuǎn)化為關(guān)系明確的向量(一般向幾何

體的棱上轉(zhuǎn)化).

(2)應(yīng)牢記并能熟練地應(yīng)用公式

\a-\-b-\-c\=，(a+〃+c)2

=A/|a|2+|Z>|2+|c|24-2a-c+2a-6+2Z>-c.

【跟蹤訓(xùn)練3】在正四面體ABCO中，棱長為mM,N分別是棱A3,CD

上的點(diǎn)，且|MB|=2|AM，|C7V|=1|2VD|,求

解如下圖所示，

麗=而=|近|=a,把題中所用到的量都用向量位AC,而表示，于是確=礪

又血貶=^?^7=J^^?=a?acos60o=52,

??.痂MN=(一+|AD+|AcJf—+|AZ)+|AC1

41145

2衣22222

2十---&y-q--

=^AB-^AD-AB-^AB-AC+^AC-AD+^AD9-9+-+-99

故|痢=、疚.疝7=監(jiān)/,即附2=監(jiān)?.

探究4判斷或證明垂直問題

例4下圖所示，正方體ABC。一481C101中，E,F,G分別是棱CG,BC,

CO的中點(diǎn)，求證：4G，平面。EF.

［證明］設(shè)正方體的棱長為

,/A^G-DF=(期+應(yīng)葉DG)-(DC+CF)=A^A-DC+AD-DC+DG-DC+MCF+AD-CF+

DG-CF=DG-DC+AD-赤=；/-%=0,

：.A\G±DF,同理可證AiG_LOE,又DFCDE=D,

，AiG_L平面DEF.

拓展提升

利用向量數(shù)量積判斷或證明線面垂直的思路

(1)由數(shù)量積的性質(zhì)4,〃臺(tái)。電=0可知，要證兩直線垂直，可構(gòu)造與兩直線分

別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.

(2)用向量法證明線面垂直，離不開線面垂直的判定定理，需將線面垂直轉(zhuǎn)化

為線線垂直，然后利用向量法證明線線垂直即可.

【跟蹤訓(xùn)練4】如圖，四棱錐尸一A8CO中，底面A8CO為平行四邊形，

NZMB=60。，AB=2AD,底面A8CD證明：PA1BD.

證明由底面ABC。為平行四邊形，ND4B=60。，AB=2AO知，DA1BD,

則勵(lì)應(yīng)=0.

由POL底面A8CO知，PDVBD,則成的=0.

又屬1=為+^I,

PA-BD=(PD+DA)-BD=PD-BD+DA-BD=0,即出_LBD

f----------------------------------1勰瀛陽-----------------------------------

1.空間向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用

(l)a±b^ab=0,此結(jié)論可用于證明空間中的垂直關(guān)系.

(2)|印=/，此結(jié)論可用于求空間中線段的長度.

(3)cosQ,b>=品，此結(jié)論可用于求有關(guān)空間角的問題.

(4)步|cos(a,b)=瞽，此結(jié)論可用于求空間中的距離問題.

2.利用向量數(shù)量積求夾角問題的兩種方法

(1)結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角

的范圍.

(2)先求a/,再利用公式cos〈a,力=j^j會(huì)求cos〈a,b),最后確定〈a,b).

3.求兩點(diǎn)間的距離或線段長的方法

(1)將此線段用向量表示，通過向量運(yùn)算來求對(duì)應(yīng)向量的模.

(2)因?yàn)?a=|@|2,所以|0=每，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另

外，該公式還可以推廣為|a土加=d(a±5)2=卜a2±2a.<+序.

(3)可用|0e|=|a||cos砥e為單位向量，。為a,e的夾角)來求一個(gè)向量在另一

個(gè)向量所在直線上的投影.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.下列各命題中，不正確命題的個(gè)數(shù)為()

b=b；③。?(5+c)=(b+c>a；④a2b=6%.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

答案D

解析Vtz-a=|a|2,.'.y[a^a=]ai，故①正確；

m(za)-b=(mza)-b=mXa-b=(mX)ab,故②正確；

a-(b+c)=ab+ac,(b+c')-a=ba+ca=ab-{-a-c=a(b+c),故③正確；

(rb=\a\2b,bra=\b^a,故④不一定正確.

2.已知同=1,向=啦，且a—)與a垂直，則a與6的夾角為()

A.60°B.30°C.135°D.45°

答案D

解析,:a—b與a垂直，(a—6)a=0,/.a-a—a-6=|a|2—|a||6|cos(a,b)

=1一IXpXcos<a,b>=0,Acos{a,b〉=^-.V0°^(a,b)W180°,

(a,b)=45°.

3.已知在平行六面體ABCO-ABGOi中，以A為頂點(diǎn)的三條棱長都等于1,

且彼此的夾角都是60。，則此平行六面體的對(duì)角線AG的長為()

A.6B.加C.3D.小

答案B

解析如圖，由題意可知,

L

,：AC.=AB+AD+AAX,：.AC^=(AB+AD+AA^=AB+A^+AA^+,1AB-Ab+

2^-Z4,+2^/AM=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,二|花尸詬即A。

的長為觀.

4.如圖，在長方體ABC。-中，設(shè)AD=A4i=l,AB=2,P是CiDi

的中點(diǎn)，則旗與乖所成角的大小為,祀?誦=.

答案6001

解析解法一：連接AQ,則/孫。就是旗'與種所成的角，連接P。，在4

PAiD易得朋1=。4=尸。=6，即△"。為等邊三角形，從而/如1。=60。,

即瓦7與了慚成角的大小為60。.因此砧汨w&X&Xcos6（）o=l.

解法二：根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得

(啟+3筋)=初=1.

KC-A^P=W+AD)-

由題意可得雨i=BiC=啦，則/X啦Xcos?C,初=1,從而〈或C,公處

=60°.

5.已知a+3Z＞與7a—5b垂直，且a—4)與7a—25垂直，求〈a,b).

解(a+36)-(7a-56)=7|a|2-15|6|2+16al=0,

(a-46)-(7a-26)=7|a|2+8|6|2-30a-6=0,

解得步F=2a?5=|a|2,

--cos(a,b)-I^H^I—2,〈a,b)=60°.

卜課后課時(shí)精練'

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.在正方體ABCO-AiBiGOi中，有下列命題:

①（荔+池+而2=3衣；②血:（益一再j）=o；③宓與冠的夾角為60。.其中

正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

答案B

解析如圖所示,

（筋葉應(yīng)葉卷）2=（筋葉崩+而）2=花2=3禧；疵（誦一期）=/崩尸0;

葩與命的夾角是瓦7與瓦1夾角的補(bǔ)角，而能與場(chǎng)的夾角為60°,故初與彳力的夾

角為120。.綜上可知，①②正確，③不正確.故選B.

2.正方體ABC。一A'B'C'中，位B,B'^D'〉=（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

答案D

解析連接8。，A'D,因?yàn)?'D'//BD,XN8。為正三角形，所以N

A'8。=60。，由向量夾角的定義可知〈廠B,物=120°,即（曠B,B'^D'）

=120°.

3.若。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（詼+龍）.（左一而=0,則△ABC

一定是（）

A.等邊三角形B.斜三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析,：BO+dC=BC,0C-0A=AC,二擊充4c.,.△ABC一定是

直角三角形.

4.如圖，空間四邊形的各邊和對(duì)角線長均相等，￡是8c的中點(diǎn)，那么（）

N.AE-'BC<AE-CD

B建.詼=建.而

CAE-BC>AE-Cb

D.而友與荏力不能比較大小

答案C

解析易知AELBC,.,.荏友三0,亦近=（9+明?"宓（詼—反）+；而力

=|福威cos120°—麗囪cos120。+1|初商cos120°<0./.AE-~BOAE-CD.

5.已知a,〃是異面直線，A,B^a,C,D^b,ACLb,BDLb,且AB=2,

CD=1,則。與。所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

解析AB=AC+CD+DB,

二宓面=（而+而+的?而=而宓+亦+場(chǎng)面=O+12+o=i,又?福=2,?而

1=1.

.AB-CD11

..cos{AB,CD）=------=不77=不

\AB\\CD\2X12

...異面直線所成的角是銳角或直角，

:.a與b所成的角是60°.

6.正三棱柱ABC-AiBiC的各棱長都為2,E,尸分別是AB,AiC的中點(diǎn)，

則EF的長是（）

A.2B.小C.小D.由

答案C

解析如圖所示，設(shè)貶=a,AC=b,AAi=c.

G

由題意知|a|=IbI=|c|=2,且〈a,b)=60°,(a,c〉--〈b,c〉—90°.

因?yàn)榈Z=血+方i+誦=—3葩+筋1+3衣=—；a+；0+c,

所以|的2=/2+%2+。2+2(-5*+；萬。-

=1X224-1X22+22+2X^-^X2X2COS60°=1+1+4-1=5,所以|閉=

小.

二、填空題

7.已知空間向量。，b,|a|=3啦，|〃|=5,m=a+b,〃=。+勸，〈。，b)=

135°,若初，小則2的值為.

3

答案一而

解析由m±n,得(a+>>(a+2))=0,

/.a2+AZ>2+(l+A)a-ft=O,

即18+252+(1+A)X3V2X5XCOS135°=0,

?一_&

10.

8.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=O,⑷=3,|b|=l,|c|=4,則al

+bc+ca的值為.

答案一13

解析a+b+c=O,.\(a+b+c)2=O,.\a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,

8c+c?a

32+12+42

=—一2—=T3.

9.設(shè)a,b,c是任意的非零向量，且互不共線，則下列四個(gè)命題：①(a包)c

一(c?a)A=O；(2)|O|—\b\<\a-b\；③(。方)。一(c-a)》不與c垂直；④(3a+2))?(3a