2022-2023學年貴州省銅仁市高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={%|%2—％-2<0},8={劃一2<%<0},則41）8=（）

A.{%|-2<%<—1}B.{%|-1<%<0]

C.{%|-2<x<2]D.{x|0<x<2]

2.若復數z滿足z-（2+i）=2i+l（i是虛數單位），則復數z的共朝復數3在復平面內對應的點

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若a>b>0,則下列不等式成立的是（）

A.yj~a<y/_bB.log2a<log2bC.a+b<2VabD.1.5a>1.5s

4.設a,P，y為不同的平面，m,"為不同的直線，則戊〃￡的一個充分條件是（）

A.a1y,/?1yB.m1a,n1/?,m//n

C.a內有無數條面線與￡平行D.a內有不共線的三點到￡的距離相等

5.甲、乙、丙三人玩踢健子游戲，第一次由甲把健子踢給其他二人中的一人，第二次由得

到穰子的人再踢給其他二人中的一人，這樣一共踢了3次，則第3次偎子仍回到甲的概率為（）

6.若sin/+a）=|,貝ijcos（2a-y）=（）

A.B.4C.|D.

7.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的4倍，母線長為5,圓臺的側面積為25兀，則該圓

臺的體積為（）

A.147rB.287rC.527rD.847T

8.已知函數/（x）=<2sin（2wx-6+1（3>0）在[0,河上恰好有3個零點，則3的最小值為

（）

A5R13「13八15

A-3B.運C.-D.彳

二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某汽車制造廠分別從4,B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪

胎可使用的最遠路程（單位：1。3人小）.

A類輪胎：94,96,99,99,105,107；

B類輪胎：95,95,98,99,104,109.

根據以上數據估計這兩類輪胎的總體情況，下列說法正確的是()

A.A類輪胎行駛的最遠路程的眾數大于B類輪胎行駛的最遠路程的眾數

B.4類輪胎行駛的最遠路程的極差小于8類輪胎行駛的最遠路程的極差

C.4類輪胎行駛的最遠路程的平均數大于B類輪胎行駛的最遠路程的平均數

D.4類輪胎的性能更加穩定

10.設向量d=(—1,1),b=(0,—2);則()

A.\a+2b\=10B.(a+b)//a

C.(a+fe)1aD.B在3上的投影向量為(L一1)

11.在棱長為2的正方體4BCO-4/iCiDi中，點E,F分別是棱BC,的中點，M為的

中點,則()

A.4G〃平面DEF

B.平面ADiM〃平面DEF

C.異面直線DE與。/所成角的余弦值為

D.點8到平面DEF的距離為|

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

12.(本小題12.0分)

為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養學生良好的科學素養，某學

校組織學生參加航空航天科普知識團體答題闖關競賽，甲、乙、丙三人組成一組，三人各自

獨立闖關，其中甲、乙都闖關成功的概率為|,甲、丙都闖關成功的概率為|,乙，丙都闖關

成功的概率為工，每人闖關成功記3分，不成功記0分，三人得分之和記為小組團體總分.

1O

(1)求甲、乙、丙各自闖關成功的概率；

(2)若團體總分不小于6分，則該小組闖關成功，求該小組闖關成功的概率.

13.(本小題12.0分)

己知函數/'(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-x)(a>0且a豐1).

(1)求函數f(%)?g(x)的定義域，并判斷/(x)?g(x)的奇偶性；

(2)若/(l)+g(；)<1,求a的取值范圍.

14.(本小題12.0分)

在4ABC中，2asinAcosB+bsin2A+2HacosC=0.

(1)求角C的大小；

(2)若4c=2,C。=門，點。為AB的中點，求△BCO的面積.

15.(本小題12.0分)

某校有高中生4200人，其中男、女生比例為3：2,為了獲得該校全體高中生的身高信息，采

取了以下兩種方案：

方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了樣本容量為n的樣本，得到頻數分布表

和頻率分布直方圖.

身高(單位：cm)[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

頻數420Pq4

方案二：采用簡單隨機抽樣的方法，抽取了樣本容量為50的樣本，其中男生有20人，女生有

30人，計算得到男生樣本的均值為170.5,方差為16,女生樣本的均值為158,方差為20.

(1)已知方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，求n,p,q的值并補充完整頻率分布直

方圖，估計該校高中生的身高均值；(同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值為代表)

(2)計算方案二總樣本的均值及方差;

(3)你覺得方案一和方案二的樣本均值哪個用來估計總體均值更合適?

頻率/組距

0.040...................

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

D.012

0.008

。?004乂身高/cm

0^145155165175185195_

16.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC1底面4BCZ),四邊形2BCD是直角梯形,AZ)_LDC,AB〃DC,

AB=2AD=2CD=2,點E是PB的中點.

(1)證明：AC1CE；

(2)若直線PC與平面ABC所成角的正弦值為?，求二面角P-AD-C的余弦值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4={x[—1<x<2},B={x\-2<x<0],

A\JB={x\—2<x<2].

故選：C.

可求出集合4,然后進行并集的運算即可.

本題考查了并集的定義及運算，一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：z-(2+i)=2i+l,

川Z=1+2?=<+2i)(2T)=43

人JZ-2+i—(2+i)(2-i)-5+51,

取’55

故復數Z的共輪復數2在復平面內對應的點(,-|)位于第四象限.

故選：D.

先結合復數的四則運算及共輾復數的概念求出然后結合復數的幾何意義可求.

本題主要考查了復數的四則運算，共軌復數的概念及復數的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：若a>b>0,則產>，T，A錯誤；

log2a>log2h,B錯誤;

由a>b>0及基本不等式可得a+b>2V_ah-C錯誤；

由指數函數單調性可知，1.5a>1.56,。正確.

故選：D.

由己知結合事函數單調性檢驗選項A；

結合對數函數單調性檢驗選項B；

結合基本不等式檢驗選項C；

結合指數函數單調性檢驗選項D.

本題主要考查了函數單調性在不等式大小比較中的應用，還考查了基本不等式的應用，屬于基礎

題.

4.【答案】B

【解析】解：4中，a，y，01y,可能a〃0，也可能a,3相交，所以4不正確；

B中，m1a,nip,m//n,所以nJLa,所以a//0,所以B正確；

C中，a內有無數條直線與6平行，可能a〃/?，也可能a,口相交，所以C不正確；

。中，a內有不共線的三點到0的距離相等，當三個點在少的兩邊時，則a,/?相交，所以。不正確.

故選:B.

由線面平行的定義或判定定理可判斷出三個命題的真假.

本題考查面面平行的判斷方法，屬于基礎題.

5.【答案】C

由樹狀圖可知，總情況有8種，滿足要求的有2種,

所以第3次犍子仍回到甲的概率為：=士

o4

故選：C.

畫出樹狀圖求解即可.

本題主要考查古典概型和樹狀圖，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：因為sin(￡+a)=sing+(a—初=COS(Q—芻=：,

所以cos(2a—y)=cos2(a—1)=2cosz{a—1)—1=2x(|)2-1=-

故選：A.

由已知利用誘導公式可求得cos(a-金=I，進而利用二倍角公式即可求解.

本題考查了誘導公式以及二倍角公式在三角函數求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：設圓臺較小的半徑為r,

???圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的4倍，所以另一底面的半徑為4r,

又母線長為5,圓臺的側面積為25幾，

??.S蒯=5兀(r+4r)=25兀，解得「=i,圓臺的高為：h=yj52-(4-l)2=4.

???該圓臺的體積為:inx4x(I2+42+1x4)=287r.

故選:B.

直接利用圓臺的側面積公式、全面積公式以及體積公式求解即可.

本題考查圓臺全面積的求法，考查圓臺的側面積公式、全面積公式等基礎知識，考查運算求解能

力，是基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：因為3>0，

當％G[0,7l]時，(DX6[0,a)7l],2COX-6[―2C07T——],

令V"^sin(237r—m+1=0,得sin(237r—盍)=—年，

又因為函數/(%)=Csin(23%-工)+1(3>0)在[0,可上恰好有3個零點，

所以y=sin(23/r-*)與y=一行在[0,捫上有3個交點，

令t=2371—工，

即y=sint與y=—?在t￡[一卷，237r—勺上有3個交點，

2AZ

由正弦函數的性質可得：苧st〈字，

44

日(1371/on.157r

即1丁工237r一誦〈丁，

解得：1<60<

所以3的最小值為余

故選：A.

令t=2a)7i—各則t6[―a2a)n—勺，將問題轉化為y=sint與y=—在t6[-2a)n—e)

上有3個交點，結合正弦函數的性質，可得容423兀-工〈等，解得JW3〈普，即可得答案.

4124312

本題考查了轉化思想，正弦函數的性質，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對4：4類輪胎行駛的最遠里程的眾數為99,

B類輪胎行駛的最遠里程的眾數為95,選項A正確；

對C：4類輪胎行駛的最遠里程的平均數為100+-6-4-11+5+7=I。。，

B類輪胎行駛的最遠里程的平均數為100+-5-5-裂+4+9=I。。，選項c錯誤.

對B：A類輪胎行駛的最遠里程的極差為107-94=13,

B類輪胎行駛的最遠里程的極差為109-95=14,選項8正確.

對D：4類輪胎行駛的最遠里程的方差為(94T0°)2+(96-100)2+(99-100)2X2+(105-100)2+(107-100)2=

6

64

T'

R類輪胎行駛的最遠里程的方差為(95-10°)“2+(98-100)2+(99-100)2+(104-100)2+(109-100)2=76

6~3

64

T'

故A類輪胎的性能更加穩定，選項。正確.

故選：ABD.

根據眾數、極差、平均數和方差的定義以及計算公式即可求解.

本題考查眾數、極差、平均數和方差的定義，屬于基礎題.

10.【答案】CD

【解析】解:向量d=(―1,1)，b=(0,-2)>

則記+2石=(一1,一3)，\a+2b\=V1+9=故A錯誤；

a+b=(-1,-1).(a+K)-a=-1X(-1)+(-1)x1=0,可得伍+h)la>故B錯誤，C正確;

施五上的投影向量為碧?各=浮=-五=(LT)，故。正確.

|a||a|2v

故選：CD.

由向量的加減和數乘運算、數量積坐標表示，以及向量垂直、投影向量的定義可得結論.

本題考查向量的數量積的坐標表示和性質，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題.

11.【答案】BCD

假設4cl〃平面DEF,則AC"/GF,

易知產為CG的中點，而G為4c的靠近C的三等分點，

???GF與AC1不平行，

???假設不成立，；.4Ci與平面DE尸不平行，選項錯誤;

則根據題意易知EF〃BG〃4Di，

EF//ADlt又易知DE〃DiM,且EFnOE=E,

二可得平面〃平面OEF,B選項正確；

對C選項，如圖，由B選項分析可知DE〃DiM,

???異面直線DE與DiF所成角即為乙MD/或其補角，

在中，易知D1M=D/=MF=A/-2,

A.nc5+5—24

??cos4MD/=5xf^=M

???異面直線DE與。i尸所成角的余弦值為右C選項正確;

B到平面DEF的距離等于C到平面DEF的距離，并且設其為d,

易知。尸=OE=K，EF=C，.??由C選項分析可知cos4EDF=g,

???sin/EDF=|,E0尸的面積為2x/~5x<^x|=|,

又%-EOF=^F-CDE?

11

**,xS^EDFxd=yxSACDExCF,

13alicd

.-.-x-xd=-x-x2x1lx1l.

d=I，二。選項正確.

故選：BCD.

對工選項，根據反證法及線面平行的性質定理，即可判斷；

對B選項，根據面面平行的判定定理的推論，即可判斷；

對C選項，將兩異面直線平移成相交直線，再解三角形，即可判斷；

對。選項，由E為BC的中點，可得B到平面。EF的距離等于C到平面DEF的距離，再根據等體積法,

方程思想，即可求解.

本題考查線面平行的性質定理，面面平行的判定定理的推論，異面直線所成角問題，點面距的求

解，屬中檔題.

12.【答案】解：(1)記甲、乙、丙各自闖關成功的事件為4B,C,

由題意得P(4)P(B)=],P(4)P(C)建，P(B)P(C)=看，

解得「伊)=$P(B)=P(C)=I；

(2)小組闖關成功，則至少有2人答對，

43113369

所以小組闖關成功的概率為!X,x,+2X-X-X-+-X-X-=--

5445448O

544

【解析】(1)記甲、乙、丙各自闖關成功的事件為4B,C,根據題意列出等式，而后求解即可;

(2)小組闖關成功，則至少有2人答對，由此計算概率即可.

本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬中檔題.

13.【答案】解：(1)根據題意，設F(x)=/(x)g(x),

而函數f(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-%),

則FQ)=loga(l+x)-loga(l-x),

則有解可得—1<X<1，即函數的定義域為(一1,1)，

又由F(-x)=loga(l+x)-loga(l-x)=loga(l-x)-loga(l+x)=F(x),

則函數/(x)g(x)為偶函數；

(2)根據題意，若/■⑴+g(}<l,B|Jloga2+loga|=loga|<1,

解可得：0<a<1或a>|,

即a的取值范圍為(0,1)U(|,+8).

【解析】(1)設尸(%)=f(%)g(%)，先分析/(%)g(x)的定義域，再分析?(一%)、/(%)的關系,即可得

答案；

(2)由對數的運算性質可得/(l)+g(》<1,即108。2+108。*=1。8￡1|<1，結合對數的運算性質

分析可得答案.

本題考查函數與方程的關系，涉及對數的運算性質，屬于基礎題.

14.【答案】解：（1）由正弦定理及2asin/cosB+bsin2A+2，3acosC=0知，2sin2AcosB+

sinBsin2A+2y/~3sinAcosC=0,

因為sin24=2sinAcosA,且sinA>0,

所以2sith4cosB4-2cosAsinB+2，3cosC=0,即2s譏（/+B）+2V~~3cosC=0，

所以2si7iC+25/-3cosC=0,

所以tcmC=^7=—［5,

cosC

因為。€（0,n），所以c=手

（2）因為點。為4B的中點，所以方=；（方+麗），

所以而2="（以2+2以?而+CB2'）,即3=；（4+2?2?a?cos與+a?）,整理得a2-2a-8=0,

解得a=-2或4（舍負），

所以△BCD的面積S=3SAABC=\x；abs譏44cB=Jx4x2xsiny=<3.

【解析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結合二倍角公式與兩角和的正弦公式，化簡可得tanC=

一，有，得解；

（2）易知方=*”+而），將其兩邊平方，結合平面向量數量積的運算法則，求得a的值，再由

SABCD=3S“BC，并利用三角形的面積公式，得解?

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，三角恒等變換公式，平面向量的運算法則是解題的關鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】解:（1）易知身高在區間［145,155）的頻率為0.008x10=0.08,頻數4,

所以n=嬴=50,

則p+q=50—4—20—4=22,①

因為方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，

所以p-q=6,②

聯立①②，解得p=14,q=8,

所以身高在區間［165,175）和［175,185）的頻率分別為第=0.28,4=0.16,

則頻率分布直方圖如下所示:

i頻率/組距

0.040—

0.036

0.032

0.028_____________

0.024

0.020

0.016——

0.012

0.008——

0.004身高/cm

0145155165175185195

則樣本的身高均值為10(150x0.008+160x0.04+170x0.028+180x0.016+190x

0.008)=167.6；

(2)不妨將男生樣本記為%i，x2,x20,均值為x,方差為或；

將女生樣本記為yi，y2>->y3o>均值為y，方差為反，

則總樣本均值5=+-^-y=20X170.5+30X158=

~JIT'20+3020+3050

可得總樣本方差S?=熹網+6-Z)2］+藕網+?—5)2］

=焉［16+(170.5-163)2］+扁［20+(158-163)2］=55.9；

(3)用方案一比較合適，因為方案一是比例分配的分層隨機抽取樣本，所以樣本的代表性比較強,

能夠更好地反映總體的情況.

【解析】⑴由題意，根據身高在區間［145,155)的頻率和頻率，列出等式即可求出n的值，易得p+q

的值，利用方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，得到p-q的值，列出等式即可求出p,q的

值，可得身高在區間［165,175)和［175,185)的頻率，進而可補全頻率分布直方圖，再代入等式即可

求出身高均值；

(2)將男生樣本記為與，x2'''■>》20，均值為X，方差為S奈將女生樣本記為y2>...>y3c均

值為y,方差為寸，根據均值和方差公式進行求解即可；

(3)利用分層抽樣的定義進行求解即可.

本題考查頻率分布直方圖，考查了數據分析和運算能力.

16.【答案】解：(1)證明：因為PC_L平面ABC。，ACu平面4BCD,

所以PC14C,

又因為AB=2,AD=CD=1,AD1DC且四邊形4BC0是直角梯形，

所以4c=VAD2+DC2=BC=VAD2+(AB-DC)2=<7,

所以心