捆地球的繩子

假設地球上即無山，又無海，完全像一個大圓球，現在想用一根很長很長的繩子，沿著赤道用繩子捆

上一圈，問繩長多少？如果繩長加上1米，繩子圍成一個大圓圈之后，就要離開赤道一段距離，形成圍繞

地球的一個等距離的圓環，問圓環和地球之間的間隔有多大？（已知地球半徑約為6400千米，萬取3.14）

答案提示：地球赤道長：27rr=2x3.14x6400=40192（千米），所以繩長40192千米；

一般我們會想對于4萬多千米來說，僅僅延長1米，會有多大的間隔？即使有間隔，恐怕也只能在顯微鏡

下才能看見！讓我們來計算一下吧！假如繩長加上1米變為40192001米，則有：

40192001-27?--6400000?0.159（米），大約為16厘米，差不多有一支鉛筆長。簡直不可思議！

圓的知識:

1.當一條線段繞著它的一個端點。在平面上旋轉一周時，它的另一端點所畫成的封閉曲線叫做圓，

點0叫做這個圓的圓心.

2.連結一個圓的圓心和圓周上任一點的線段叫做圓的半徑.

3.連結圓上任意兩點的線段叫做圓的弦；過圓心的弦叫做圓的直徑.

4.圓的周長與直徑的比叫做圓周率；圓周上任意兩點間的部分叫做弧.

5.圓周長=直徑義m=半徑義2n圓面積=mX半徑2

扇形的知識：

1.扇形是圓的一部分，它是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧組成的圖形.頂點在圓心的角叫

做圓心角.

2.我們經常說的:圓、g圓、J圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓

246

心角占這個圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關鍵是念

rijrrYITTVnrrr^

3.扇形中的弧長=次.扇形的周長=/+2r.扇形的面積="二=-lr.

1801803602

弓形的知識：

弦與它所對的弧所組成的圖形叫做弓形。【一般來說，弓形面積=扇形面積-三角形面積.（除了半圓）】

常用方法：

1.常用的思想方法：

①轉化思想（復雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的）

②等積變形（割補、平移、旋轉等）

③借來還去（加減法）

④外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關系”）

2.包含與排除法：重疊想減就是應用了包含與排除的思想，用包含與排除求面積時，關鍵是考慮重

疊部分的面積如何正確處理，應該加上還是減去，要仔細甩考，正確選擇。

3.旋轉對稱：將不規則圖形或幾個圖形經過旋轉、對稱之后成為一個或幾個規則圖形進行面積計算

的方法。

重點：利用容斥原理就是重疊相減法求面積。

旋轉圖形問題的重點研究是當一個圖形繞一點進行旋轉軌跡掃過的面積。

難點：利用容斥原理如何對重疊部分的面積進行正確的處理。

如何利用旋轉對稱對所求圖形進行簡化。

［例1］如圖，直角三角形的邊長分別為6,8,10,求陰影部分的面積.（兀取3）

陰影面積=半徑為3的半圓的面積+半徑為4的半圓的面積+直角邊為6和8的直角三角形面積一

半徑為5的半圓的面積

陰影部分的面積=;rx3?+2+萬x4?+2+6x8+2-7x52+2=24

【鞏固】如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓0的半徑為15,ABE是以C為圓心，AC為半徑的圓弧.求

陰影部分面積.

1陰影部分是月牙，不能直接去求，

陰影部分的面積=半徑為15的半圓ABD+底30高15的三角形ABC一扇形ACB

三角形BCO是等腰直角三角形，BC2=OB2+OA2=450

陰影部分的面積="乂15x15+2+15x30+2-”x2x15x15+4=225

【例2】圖中長方形的長是10厘米，寬是4厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？（用的式子表示）

陰影部分的面積=大扇形面積-（長方形面積-小扇形面積）

或者是=大扇形面積+小扇形面積-長方形面積

陰影部分的面積=x102+4+x42+4—10x4=29乃—40

【鞏固】如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米，（用的式子表示）

AD

陰影部分的面積=扇形ADE+半圓AFB-三角形ABD

陰影部分的面積=7x5?+8+;rx2.5?+2-5x5+2=6.25乃一12.5平方厘米

【例3】如圖所示，求陰影部分的面積。（用的式子表示）

I陰影部分面積=直徑為4的小半圓+2個半徑為2的四分之一圓+直徑為8的大半圓-長8寬2的

長方形面積

陰影部:分面積=^,x22+2+7x2?^-4x2+^x42-^2-8x2=12^-16

【鞏固】（2008年四中考題）已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm,8c=2cm,求陰影部分的面積.（用

兀的式子表示）

陰影部分的面積=半徑為4的半圓+半徑為2的半圓一三角形的面積

陰影部分的面積=2x;r+2+”xl2+2-4x2+2=25乃一4

【例3】三個圓的半徑都是5厘米，三個圓兩兩相交于圓心，求三塊陰影部分的面積之和。

如圖所示，陰影部分經過翻轉之后，正好得到半個圓。

陰影部分的面積=乃*52+2=12.5乃（平方厘米）

【鞏固】四個小圓的半徑都是5厘米，大圓半徑為小圓的直徑，求三塊陰影部分的面積之和。

如圖所示，陰影部分經過翻轉之后，正好得到一個小圓。

陰影部分的面積="x5?+2=12.5乃（平方厘米）

【例4］（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100

平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖

中3個陰影部分的面積的和是多少平方厘米.

I才出容斥原理得：100x3-5^短一2x42=144,所以陰影面積=100x3-144-2x42=72

【鞏固】（2010年四中）四個圓的半徑都是10厘米，三個圓兩兩相交于圓心，求四塊陰影部分的面積之和。

如圖所示把陰影部分補全為右圖，

則此時陰影部分的面積=三個外圓面積之和減去中間的圓的面積=2個圓的面積

（因為四個圓的面積是相等的。）

通過觀察可以發現，原題中的陰影部分為右圖中陰影部分的三分之二。

2400

原題中的陰影部分面積=/rx102x2x-=------n

33

【例5］草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見

如圖）.問：這只羊能夠活動的范圍有多大？（圓周率取3.14）（用的式子表示）

I羊能夠活動的范圍如圖所示，是由三個扇形組成的.半徑為30的四分之三圓，半徑為20的四分

之一圓，半徑為10的四分之一圓。

2212

總面積：一X/TX3O+—'江乂20+—x/rxio?=8004-=2512

444

【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4米，求狗所能到的

地方的總面積.（圓周率按3.14計算）

狗能所到達的范圍如圖所示：是由三個扇形組成的,

半徑為4的六分之五圓，半徑為1的三分之一圓，半徑為1的三分之一圓.

總面積：—xx42+—xxI2x2=14^-=43.96zn2

63

【例6】正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點再次落在這條直線上，那

么A點在翻滾過程中經過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角

形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（用的式子表示）

1A點在翻滾過程中經過的路線分為兩段120度的圓弧,

所以路線的總長度為：2;rx6x------x2=8汗（厘米）

360

三角形在滾動過程中，掃過的圖形為兩個120度的扇形加上一個與其相等的正三角形,

120

面積=1x6———x2+15=24i+15（平方厘米）

360

【鞏固】如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為4CM和3cM的長方形I.它的對角線長恰好是5CM.讓

這個長方形繞頂點B順時針旋轉90度后到達長方形H的位置，這樣連續做三次，點A到達點E

的位置.求點A走過的路程的長.（用的式子表示）

ABCDE

因為長方型旋轉了三次，所以A點在整個運動過程中也走了三段路程。如圖所示,

黝段弧4A長度：2x^x4+4

第2段弧4向長度：2X^X5+4

第3段弧冬后長度：2xx3+4

A的路程=2x*x4+4+2x；rx5+4+2x”x3+4=6尸

【例71如圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長為10厘米，NABC=60。，此時8c長5厘米.以點B

為中心，將澳8c順時針旋轉120。，點A、C分別到達點E、。的位置.求AC邊掃過的圖形

即圖中陰影部分的面積.（兀取3）（用的式子表示）

I如圖所示，將圖形移補為下列圖形，

因為角EBD是60度，那么角ABE為120度.

則陰影部分為圓環的三分之一。

陰影部分的面積="x（A82-8C2）+3=75厘米

【鞏固】（2006年數學解題能力高年級初試8題）如下圖，△/回是一個等腰直角三角形，直角邊的長度

是1米。現在以C點為圓點，順時針旋轉90度，那么，4?邊在旋轉時所掃過的面積是多少平方

米（萬=3.14）

31

所求面積為=(/rxI2+4-I2+2)+(I2-r2-e-4=—7T----=0.6775

82

［例8］如圖30-14,將長方形ABCD繞頂點C順時針旋轉90度，若AB=4,BC=3,AC=5,求AD邊掃過部

分的面積.（》取3.14）

【解析】如圖所示，端點A掃過的軌跡為，端點D掃過軌跡為，而AD之間的點，掃過的軌跡在以A、D軌

跡AD、所形成的封閉圖形內，且這個封閉圖形的每一點都有線段AD上某點掃過，所以AD邊掃過

片的圖形為陰影部分.

所以，陰影部分的面積，進行以下處理，利用割補法,

發現陰影部分的面積為四分之一圓環的面積.

9

陰影部分的面積=(^x52—^x42)+4=—=7.065

【鞏固】(祖沖之杯競賽試題)如圖，A3CD是一個長為4,寬為3,對角線長為5的正方形，它繞。點按

順時針方向旋轉90。，分別求出四邊掃過圖形的面積.

DC

(1)DC邊和BC邊

容易發現DC邊和BC邊旋轉后掃過得圖影都是以線段長度分別為4和3的為半徑的圓的四分之

9

—.因此DC邊掃過的面積為4,了，因此BC邊掃過的面積為一”.

(2)AB邊

在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠的點是A點，因此整條線段所掃過部分應該介

于這兩個點所掃過的弧線之間，如下圖所示.

觀察的陰影部分面積等于扇彩ACA'與三角彩A3C'面積和減去扇形8CB'與三角形A8c的

面積和.陰影部分面積=”x5,+4-萬x3?+4=4不

(2)AD邊

在整個AD邊上，距離C點最近的點是A點，最遠的點是D點，因此整條線段所掃過部分應該介

于這兩個點所掃過的弧線之間，如下圖所示.

,9

方法同上，求得陰影部分面積=開x*4-4x4?+4=—萬

4

【答案】

9

(1)BC邊掃過圖形的面積為一〃

4

(2)AB邊掃過圖形的面積為4萬

9

(3)AD邊掃過圖形的面積為一萬

4

(4)DC邊掃過圖形的面積為4萬

[例9](2004年第九屆華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環沿著半徑為50厘米的大鐵環的內側作無滑

動的滾動，當小鐵環沿大鐵環滾動一周回到原位時，問小鐵環自身轉了幾圈？

對于這類問題，可以在初始位置時在小環上取一點A,觀察半徑0A,如圖(1),當小環內壁滾動

到初始位置時，即滾動半個大圓周時，如圖(2),半徑0A也運動到了與初始時相對的位置，這

是0A沿大環內壁才滾動了1圈，繼續進行下半圈，直到0A與初始位置重合，這時0A自身轉了

一圈.因此小環自身也轉了一圈.

【鞏固】如圖所示，大圓周長是小圓周長的"(〃>1)倍，當小圓在大圓內側(外側)作無滑動的滾動一圈后

又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉動了幾周？

】如圖所示，大圓周長是小圓周長的“(”>l)倍，當小圓在大圓內側(外側)作無滑動的滾動一圈后

又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉動了幾周？

I圓與扇形【難度】☆☆☆☆【題型】解答

I研究小環的圓心軌跡即可.

設小環半徑為1,大環半徑為N,

內側：內側滾動時，小環的圓心運動的半徑為N-1,圓心滾動的距離為：2；rx(N-l)

所以小環繞自己的圓心轉動了：2乃x(N-l)+(2G=N-1

外側：外側滾動時，小環的圓心運動的半徑為N+1,圓心滾動的距離為：2;rx(N+l)

所以小環繞自己的圓心轉動了：2”x(N+l)+(2;r)=N+l

1、下圖是一個直徑為3的半圓，讓這個半圓以A點為軸沿逆時針方向旋轉60度，此時B點移動到B'點,

求陰影部分的面積。(用的式子表示)

AB

陰影部分的面積=半徑為1.5的-

3

=半徑為3扇形的面積=一左

2

2、如圖，四個小圓為完全相同的圓，且半徑為2,如圖，求陰影部分的面積。

如圖所示，圖中的陰影部分通過分割拼接，發現陰影部分是由一個小半圓和一個底為4,高為2

的等腰直角三角形的面積之和.

陰影部分的面積=IX2?+2+4x2+2=+4

3、長方形的長為10,寬為4,求圖中陰影部分的面積。（取3）

陰影部分的面積=半徑為5的半圓+半徑為2的半圓一長方形的面積一半..

陰影部分的面積=7x5?+2+;rx22+2-10x4+2=14.5^-20=23.5

4、直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊8c長10厘米.如下圖所示，三角形由

位置I繞A點轉動，到達位置II,此時臺，C點分別到達4,G點；再繞⑸點轉動，到達位置III,

此時A,G點分別到達人，點.求C點經G到G走過的路徑的長.（用的式子表示）

由于BC為AC的一半，所以角CAB-30度，

1on_a。5

則弧cq為大圓周長的....-=—；

36012

弧Gg為小圓周長的四分之一；

而eg+GG為點經G到g走過的路徑.

所以C點經C,到C,走過的路徑長=2^-x20x—+2^-xl0+4=—

-123

5、有三個面積都是S的圓放在桌上,桌面被圓覆蓋的面積是2s+2,并且重合的兩塊是等面積的,直線a過兩

個圓心A、B,如果直線a下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面積S的值.

I設一個陰影部分的面積為X、

則有：3S-2x=2S+2,于是S=2x+2

33

又2s——x=9,所以，2(2x+2)——x=9,

22

解得,x=2>所以，S=2x2+2=6.

1、在解決圓與扇形的組合圖形時，先觀察圖形中自己會求得圖形的面積，然后再分析如何利用這幾個圖

形來求組合圖形的面積。

2、解決旋轉圖形的問題時，要認真分析運動著的物體所經過的路線或范圍。

1、如圖所示，圓的半徑為4,BC=10,求陰影部分的面積。（用的式子表示）

I陰影部分的面積=梯形面積減去四分之一圓面積

陰影部分的面積=（4+10）x44-2-^x42+4=28-4^-

2、如圖，矩形48切中，46=6厘米，8c=4厘米，扇形/龐半徑/￡=6厘米，扇形物'的半徑四=4厘米,

求陰影部分的面積.（用的式子表示）

I陰影部分的面積=扇形ABE+扇形CBF-矩形ABCD

陰影部分的面積=<7X6?+4+^x4?+4-6x4=13乃一24平方厘米

3、在桌面上放置3個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是1。。平方厘米，蓋住桌面的總面積

是144平方厘米，1,2,3,部分的面積和為80,3張紙片共同重疊的面積是陰影部分，求陰影部分得

面積。

根據容斥原理得：100x3-5.3x2-80=144

所以陰影面積（100x3-144-80）+2=38（平方厘米）

4、一個正方形的邊長為2,它的一半是一個等腰直角三角形，逆時針旋轉90度，得到如下圖型，求陰影

部分得面積。（用的式子表示）

陰影部分面積=