關于靜矩及其性質12§7-1靜矩和形心一、簡單圖形的靜矩（面積矩）1、定義：dA對y軸的微靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對z軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負值、或零。第2頁,共38頁，星期六，2024年，5月34、靜矩和形心的關系可知靜矩和形心的關系由平面圖形的形心公式結論：圖形對過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。第3頁,共38頁，星期六，2024年，5月4求圖形對y、z

軸的靜矩第4頁,共38頁，星期六，2024年，5月5二、簡單圖形的形心1、形心坐標公式：2、形心確定的規律：（1）圖形有對稱軸時，形心必在此對稱軸上。（2）圖形有兩個對稱軸時，形心必在此兩對稱軸的交點處。第5頁,共38頁，星期六，2024年，5月6三、組合圖形（由若干個基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：四、組合圖形的形心：

利用基本圖形的結果，可使組合圖形的形心計算簡單基本圖形----指面積、形心位置已知的圖形第6頁,共38頁，星期六，2024年，5月71、水線面計算如下圖示水線面，可應用梯形法或辛普生法列表計算

L=147.18米，l=L/20=7.359米船舶專業中的應用第7頁,共38頁，星期六，2024年，5月82、橫剖面計算（橫剖面形心垂向坐標）在x處取dx薄層，則對平面yoz和xoy的靜矩分別為：zA為As的形心坐標第8頁,共38頁，星期六，2024年，5月93、橫剖面面積曲線

~特性:1)2)Saeda的形心坐標等于xB3)e第9頁,共38頁，星期六，2024年，5月104、排水體積和浮心坐標可列表進行計算第10頁,共38頁，星期六，2024年，5月11例試確定下圖的形心。801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐標如圖示，分割圖形2)、求形心第11頁,共38頁，星期六，2024年，5月12801201010c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割圖形及建立坐標系，如圖所示zy2)、求形心第12頁,共38頁，星期六，2024年，5月13解法三：負面積法求形心：80120101010zy第13頁,共38頁，星期六，2024年，5月14§7-2

慣性矩和慣性積一、簡單圖形的慣性矩1、定義：dA對z軸的慣性距:dA對y軸的慣性距:2、量綱：m4、mm4。yzdAzyo3、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對o點而言）圖形對z軸的慣性矩:圖形對y軸的慣性矩:第14頁,共38頁，星期六，2024年，5月156、慣性矩與極慣性矩的關系：

圖形對任一對相互垂直的坐標系的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。yzdAzyo第15頁,共38頁，星期六，2024年，5月16bhzccyc7、簡單圖形慣性矩的計算⑴

圓形截面：實心（直徑D）——空心（外徑D，內徑d）——⑵矩形截面：bdyhdzzcycc第16頁,共38頁，星期六，2024年，5月17二、慣性半徑：三、簡單圖形的慣性積1、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對軸而言。4、慣性積的取值為正值、負值、零。yzdAzyo5、規律：

兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。工程上，經常把慣性矩寫成圖形面積與某一長度平方的乘積，即第17頁,共38頁，星期六，2024年，5月18例2

求圖示矩形的yzbhzdzc第18頁,共38頁，星期六，2024年，5月19思考：bhy第19頁,共38頁，星期六，2024年，5月20例3

求圖示圓形的yzd第20頁,共38頁，星期六，2024年，5月21例4

求圓環圓形的dDyz第21頁,共38頁，星期六，2024年，5月22三、組合圖形的慣性矩及慣性積

根據定義可知，組合圖形對某坐標軸的慣性矩等于各個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和；組合圖形對于某一對正交坐標軸的慣性積等于各個簡單圖形對同一對軸的慣性積之和。用公式可表示為式中，、、分別為第個i簡單圖形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積。第22頁,共38頁，星期六，2024年，5月23解：zyoyczcczcyc已知：圖形截面積A，形心坐標yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。Zc軸平行于z軸；yc軸平行于y軸。求：Iz、Iy。§7-3

平行移軸公式一、平行移軸公式第23頁,共38頁，星期六，2024年，5月24二、組合圖形的慣性矩和慣性積注意：ZC、YC

為形心坐標。

a、b為圖形形心在yoz坐標系的坐標值，可正可負，，zyoyczcczcyc——平行移軸公式

根據慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：第24頁,共38頁，星期六，2024年，5月25例

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：§A-1xyb(y)ycCdxc第25頁,共38頁，星期六，2024年，5月262、求對形心軸xc

的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc第26頁,共38頁，星期六，2024年，5月27例

試求圖a

所示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。1、矩形對x

軸的慣性矩：2、一個半圓對其自身形心軸xc

軸的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第27頁,共38頁，星期六，2024年，5月283、一個半圓對x

的慣性矩由平行移軸公式得：4、整個截面對于對稱軸x的慣性矩：xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第28頁,共38頁，星期六，2024年，5月29§7-4轉軸公式一、慣性矩和慣性積的轉軸公式

dA

在坐標系ozy和坐標系oz1y1的的坐標分別為（z，y

）和（z1，

y1

）代入慣性矩的定義式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11已知：A、Iz、Iy、Izy、α。

求：Iz1、Iy1、Iz1y1。第29頁,共38頁，星期六，2024年，5月30

利用二倍角函數代入上式，得轉軸公式：

的符號為：從z軸至z1軸逆時針為正，順時針為負。zyOzyazya11ABCDEdAzy11第30頁,共38頁，星期六，2024年，5月31

上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和為一常數，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩將前兩式相加得zyOzyazya11ABCDEdAzy11第31頁,共38頁，星期六，2024年，5月32第32頁,共38頁，星期六，2024年，5月33

例：求矩形對軸、的慣性矩和慣性積

解:矩形對y、z軸的慣性矩和慣性積分別為yzabO第33頁,共38頁，星期六，2024年，5月34

從本例的結果可知，當矩形變為正方形時，即在a=b時，慣性矩與角無關，其值為常量，而慣性積為零。這個結論可推廣于一般的正多邊形，即正多邊形對形心軸的慣性矩的數值恒為常量，與形心軸的方向無關，并且對以形心為原點的任一對直角坐標軸的慣性積為零。

討論：當a＝b時，結果如何？第34頁,共38頁，星期六，2024年，5月35令§7.5主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩第35頁,共38頁，星期六，2024年，5月36可求得和兩個角度，從而確定兩根軸y0,，z0。由求出代入轉軸公式可得：第36頁,共38頁，星期六，2024年，5月372、主慣性矩（主矩）：

圖形對主軸的慣性矩Iz0、Iy0

稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。3、形心主慣性軸（形心主軸）：

如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Izcyc=0。zc、yc

為形心軸。zc、yc

為形心主軸）。4、形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩。（Izc、Iyc）。由此引出幾個概念：1、主慣性軸（主軸）：y0,z0

如果圖形對過某點的某一對坐標軸的慣性積為零，則該對軸為圖形過該點的主慣性軸。（，

軸為主軸）。第37頁,共38頁，