2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第二單元：八種問(wèn)題之圓柱與圓錐的等積變形問(wèn)題“綜合版”一、填空題。1．小明把一個(gè)底面半徑是5厘米，高是8厘米的圓柱形橡皮泥捏成一個(gè)圓錐形模型。這個(gè)模型的體積是()立方厘米；如果這個(gè)模型的底面半徑也是5厘米，則它的高是()厘米。【答案】62824【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)圓柱形橡皮泥捏成一個(gè)圓錐形模型，這個(gè)橡皮泥的體積不變，即圓錐的體積等于圓柱的體積，根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出這個(gè)模型的體積；已知圓柱和圓錐的底面半徑都是5厘米，則它們的底面積相等；因?yàn)閳A錐和圓柱等體積等底面積，那么圓錐的高等于圓柱高的3倍，據(jù)此解答。【詳解】橡皮泥的體積：3.14×52×8＝3.14×25×8＝628（立方厘米）圓錐的高：8×3＝24（厘米）這個(gè)模型的體積是628（立方厘米），它的高是24厘米。2．一個(gè)圓柱形橡皮泥，從側(cè)面觀察是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，如果把它捏成圓錐，這個(gè)圓錐的體積是()立方厘米。【答案】6.28【分析】根據(jù)題意，一個(gè)圓柱形橡皮泥，從側(cè)面觀察是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，說(shuō)明圓柱的底面直徑和高都等于2厘米；如果把它捏成圓錐，形狀變了，但橡皮泥的體積不變；根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。【詳解】3.14×（2÷2）2×2＝3.14×1×2＝6.28（立方厘米）這個(gè)圓錐的體積是6.28立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的特征以及圓柱體積公式的運(yùn)用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。3．將一個(gè)底面積3.14平方厘米，高是2厘米的圓柱形容器裝滿水，倒入一個(gè)圓錐形容器中，剛好裝滿，已知圓錐形容器的底面半徑是2厘米，這個(gè)圓錐形容器的高是()厘米。【答案】1.5【分析】圓柱的底面積3.14平方厘米，高是2厘米，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝，代入數(shù)據(jù)即可求出圓柱的體積。倒入一個(gè)圓錐形容器中，剛好裝滿，說(shuō)明體積不變，再根據(jù)圓錐的體積公式，即可求出這個(gè)圓錐形容器的高。【詳解】3.14×2＝6.28（立方厘米）6.28÷（×3.14×22）＝6.28÷（×3.14×4）＝6.28÷÷3.14÷4＝6.28×3÷3.14÷4＝18.84÷3.14÷4＝1.5（厘米）即這個(gè)圓錐形容器的高是1.5厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓柱和圓錐的體積公式求解。4．將一個(gè)棱長(zhǎng)之和是48厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面積是16平方厘米的圓錐，這個(gè)圓錐的高是()厘米。【答案】12【分析】由題意可知，把正方體鐵塊熔鑄成圓錐體后鐵塊的體積不變，先利用“棱長(zhǎng)＝正方體的棱長(zhǎng)之和÷12”求出正方體的棱長(zhǎng)，再利用“正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”求出鐵塊的體積，最后根據(jù)“高＝圓錐的體積×3÷底面積”求出圓錐的高，據(jù)此解答。【詳解】48÷12＝4（厘米）4×4×4＝64（立方厘米）64×3÷16＝192÷16＝12（厘米）所以，這個(gè)圓錐的高是12厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查等體積變形，熟練掌握正方體的棱長(zhǎng)之和與體積計(jì)算公式，以及圓錐的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。5．圖中，把一個(gè)半徑是3厘米的圓柱平均分成若干份，切開(kāi)拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體前面的面積是100平方厘米，圓柱的體積是()立方厘米。【答案】300【分析】把圓柱的底面平均分成若干個(gè)扇形，切開(kāi)拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，這個(gè)近似長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)的一半，寬等于圓柱的底面半徑，高等于圓柱的高，體積不變等于圓柱的體積。長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，以100平方厘米為底面積，底面半徑為高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得圓柱的體積。【詳解】100×3＝300（立方厘米），圓柱的體積是300立方厘米。【點(diǎn)睛】本題是考查立體圖形的切拼問(wèn)題。解答此題的關(guān)鍵是理解拼成的長(zhǎng)方體的體積等于圓柱的體積，前面的面作為底面，高是圓柱的高，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式即可解答。6．一個(gè)圓錐形碎石堆，底面周長(zhǎng)是62.8米，高是0.9米，將這堆碎石鋪在10米寬的公路上，厚度為6厘米，能鋪()米。【答案】157【分析】先根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出圓錐的底面半徑，再利用“”表示出這堆碎石的體積，最后根據(jù)“”求出這堆碎石可以鋪路的長(zhǎng)度，據(jù)此解答。【詳解】6厘米＝0.06米62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（米）×0.9×3.14×102÷10÷0.06＝0.3×3.14×100÷10÷0.06＝0.942×100÷10÷0.06＝9.42÷0.06＝157（米）所以，能鋪157米。【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A錐和長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。7．一輛貨車車廂是一個(gè)長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)是4米，寬是1.5米，高是4米，裝滿一車沙，卸后沙堆成一個(gè)高是3米的圓錐體，它的底面積是()平方米。【答案】24【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)求出長(zhǎng)方體的體積，即這車沙的體積，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝，代入數(shù)據(jù)即可求出這堆沙的底面積。【詳解】4×1.5×4÷3÷＝6×4÷3×3＝24（平方米）即它的底面積是24平方米。【點(diǎn)睛】此題主要考查等積變形，熟練運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓錐的體積公式。8．如圖，先將甲容器注滿水，再將水倒入乙容器，這時(shí)乙容器中的水高()厘米。【答案】4【分析】根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，求出甲容器的體積，甲容器的水倒入乙容器，體積不變，再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]＝3.14×25×12×÷[3.14×25]＝12×＝4（厘米）【點(diǎn)睛】利用圓柱的體積公式和圓錐的體積公式進(jìn)行解答，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用。9．一個(gè)底面積為28平方厘米、高為10厘米的長(zhǎng)方體玻璃容器中裝有5厘米深的水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為1厘米、高為8厘米的圓柱形鐵塊豎直放入水中，水面將上升()厘米。（π取3）【答案】0.6【分析】容器中水的高度為5厘米，鐵塊的高度為8厘米，則鐵塊沒(méi)有完全浸入水中，把鐵塊放入水中水的體積不變，放入鐵塊后容器中水的底面積＝容器的底面積－鐵塊的底面積，根據(jù)“高＝長(zhǎng)方體的體積÷底面積”求出放入鐵塊后水和鐵塊對(duì)應(yīng)的總高度，最后減去原來(lái)水的高度即可。【詳解】28×5÷（28－3×12）－5＝28×5÷（28－3）－5＝28×5÷25－5＝140÷25－5＝5.6－5＝0.6（厘米）所以，水面將上升0.6厘米。【點(diǎn)睛】理解容器中水的體積不變以及放入鐵塊后容器中水的底面積的變化情況是解答題目的關(guān)鍵。10．用一個(gè)底面積為31.4平方厘米，高為30厘米的圓錐形容器盛滿水，然后把水倒入底面積為62.8平方厘米的圓柱形容器，水的高度為()厘米。【答案】5【分析】先根據(jù)公式V錐＝Sh求出圓錐形容器里水的體積，把水倒入圓柱形容器里，水的體積不變，根據(jù)公式V柱＝Sh可知，圓柱的高h(yuǎn)＝V÷S，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求出圓柱形容器里水的高度。【詳解】×31.4×30＝31.4×10＝314（立方厘米）314÷62.8＝5（厘米）【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用圓錐、圓柱的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵。二、解答題。11．一個(gè)沙堆堆成底面周長(zhǎng)是18.84米的圓錐形，這堆沙的高是4米。現(xiàn)在用這些沙子來(lái)鋪路面，路面的寬是4米，沙子的厚度是0.1米，可以鋪路多少米？【答案】94.2米【分析】已知圓錐形沙堆的底面周長(zhǎng)和高，先根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圓錐的底面半徑；再根據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，求出這堆沙子的體積；把這些沙子鋪路面，沙子的體積不變，路面是一個(gè)寬4米、厚0.1米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)＝體積÷寬÷高，即可求出可以鋪路的長(zhǎng)度。【詳解】圓錐的底面半徑：18.84÷3.14÷2＝3（米）這堆沙子的體積：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方米）鋪路的長(zhǎng)度：37.68÷4÷0.1＝9.42÷0.1＝94.2（米）答：可以鋪路94.2米。12．把一塊長(zhǎng)方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑為4分米的圓柱形鐵塊。這個(gè)圓柱形鐵塊的高是多少？

【答案】18分米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出鐵塊體積，再根據(jù)圓柱的高＝體積÷底面積，列式解答即可。【詳解】18.84×8×6＝904.32（立方分米）904.32÷（3.14×42）＝904.32÷（3.14×16）＝904.32÷50.24＝18（分米）答：這個(gè)圓柱形鐵塊的高是18分米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體和圓柱體積公式。13．把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是8厘米、4厘米、3厘米的長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)圓錐體。這個(gè)圓錐體的底面積是1.2平方分米，高是多少？【答案】4厘米【分析】由題意可知：圓錐的體積等于長(zhǎng)方體鐵塊與正方體鐵塊的體積和。先根據(jù)“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出長(zhǎng)方體鐵塊的體積；再根據(jù)“正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”求出正方體鐵塊的體積；再用長(zhǎng)方體鐵塊的體積加上正方體鐵塊的體積求出圓錐的體積；最后根據(jù)“圓錐的高＝圓錐的體積÷÷底面積”求出圓錐的高。【詳解】1.2平方分米＝120平方厘米8×4×3＋4×4×4＝96＋64＝160（立方厘米）160÷÷120＝160×3÷120＝480÷120＝4（厘米）答：高是4厘米。【點(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體、正方體、圓錐的體積計(jì)算公式。解決此題關(guān)鍵是明確熔鑄前后鐵塊的形狀發(fā)生了變化，但體積不變。14．一個(gè)圓柱形容器的底面周長(zhǎng)是31.4分米，高6分米，里面盛滿水，把水倒在長(zhǎng)6分米，寬5分米，高8分米的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，水深是多少分米？【答案】15.7分米【分析】根據(jù)題意，把圓柱形容器的水倒入長(zhǎng)方體容器內(nèi)，水的體積不變。根據(jù)“圓的周長(zhǎng)＝2πr”，用31.4除以2π即可求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)“圓柱的體積＝底面積×高＝πr2h”，代入數(shù)據(jù)求出水的體積。長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，據(jù)此用水的體積除以長(zhǎng)和寬，即可求出水的深度。【詳解】31.4÷3.14÷2＝5（分米）3.14×52×6＝3.14×150＝471（立方分米）471÷（6×5）＝471÷30＝15.7（分米）答：水深是15.7分米。【點(diǎn)睛】本題考查了體積的等積變形。明確水的體積不變，靈活運(yùn)用圓柱和長(zhǎng)方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。15．把一塊底面直徑是10厘米，高8厘米的圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)底面周長(zhǎng)是62.8厘米的圓錐形鐵塊。這個(gè)圓錐形鐵塊的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)圓錐形鐵塊，形狀變了，鐵塊的體積不變。先根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出鐵塊的體積；已知圓錐形鐵塊的底面周長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圓錐的底面半徑；然后根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓錐的底面積；根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓錐的高h(yuǎn)＝3V÷S，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個(gè)圓錐形鐵塊的高。【詳解】鐵塊的體積：3.14×（10÷2）2×8＝3.14×25×8＝628（立方厘米）圓錐的底面半徑：62.8÷3.14÷2＝10（厘米）圓錐的底面積：3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米）圓錐的高：628×3÷314＝1884÷314＝6（厘米）答：這個(gè)圓錐形鐵塊的高是6厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。16．一塊圓柱形的橡皮泥，高15厘米，底面直徑為4厘米，小芳將它捏成一個(gè)高10厘米的長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留π）【答案】6π平方厘米【分析】先根據(jù)圓柱的體積公式（V＝πr2h）先算出圓柱形橡皮泥的體積，再根據(jù)橡皮泥體積不變，利用長(zhǎng)方體體積公式（V＝abh）即可求出長(zhǎng)方體的底面積是多少平方厘米。【詳解】（4÷2）2×15×π＝4×15×π＝60π（立方厘米）60π÷10＝6π（平方厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積是6π平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體和圓柱體的體積計(jì)算方法，關(guān)鍵是明白橡皮泥的體積不變。17．張師傅要把一根底面半徑是2分米、高是3分米的圓柱形零件熔鑄成一個(gè)底面半徑為3分米的圓錐形零件，圓錐形零件的高是多少分米？【答案】4【分析】根據(jù)圓柱體積，先求出圓柱的體積，已知熔鑄前后總體積不變，因此圓柱的體積即為圓錐的體積，再根據(jù)圓錐的高＝體積×3÷底面積，列式解答即可。【詳解】圓柱的體積：3.14××3＝3.14×4×3＝12.56×3＝37.68（立方分米）圓錐底面積：3.14×＝28.26（平方分米）圓錐的高：37.68×3÷28.26＝4（分米）答：圓錐形零件的高是4分米。【點(diǎn)睛】此題考查了圓柱與圓錐的體積等積變形，明確熔鑄前后體積不變是本題解題的關(guān)鍵。18．將一塊棱長(zhǎng)是6厘米的正方體橡皮泥捏成一個(gè)底面直徑是8厘米的圓柱，這個(gè)圓柱的高約是多少厘米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）【答案】4.3厘米【分析】把一塊正方體橡皮泥捏成一個(gè)圓柱，體積不變；可先求得正方體的體積，再求得圓柱的底面積是多少，逆用圓柱體體積公式，h圓柱＝V圓柱÷S圓，能夠求得圓柱體的高。【詳解】V正方體＝6×6×6＝216（立方厘米）S圓＝3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（平方厘米）h圓柱＝216÷50.24≈4.3（