第二十九章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：視圖與投影的常見問題舉例第五章

典例體系（本專題共79題45頁）

考點(diǎn)1：平行投影

典例：（2019?臺(tái)灣中考真題）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面

互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分.敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影

長(zhǎng)為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示.

已知落在地面上的影子皆與墻面互相重直，并視太陽光為平行光，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下,

請(qǐng)回答下列問題：

（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長(zhǎng)為多少公分？

（2）若同一時(shí)間量得高圓柱落在墻上的影長(zhǎng)為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請(qǐng)?jiān)敿?xì)解釋或完整

寫出你的解題過程，并求出答案.

【答案】（1）敏敏的影長(zhǎng)為100公分；（2）高圓柱的高度為330公分.

解：（1）設(shè)敏敏的影長(zhǎng)為X公分.

“15090

由題忌：---=——

x60

解得x=100（公分）,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=100是分式方程的解.

敏敏的影長(zhǎng)為100公分.

（2）如圖，連接AE,作M//EA.

AB//EF，

：.四邊形ABFE是平行四邊形,

/.AB=E4=150公分,

設(shè)5C=y公分，由題意BC落在地面上的影從為120公分.

y90

12060

.0=180（公分）,

.?.AC=A3+6C=150+180=330（公分）,

答：高圓柱的高度為330公分.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查相似三角形的應(yīng)用，平行投影，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.

鞏固練習(xí)

1.實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)”綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng).有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后

面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm.王詩娘觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落

在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地面上的影子皆與坡腳水平

線互相垂直，并視太陽光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i=1:0.75,在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下,

請(qǐng)解答下列問題:

（1）若王詩媾的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm?

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi).請(qǐng)直接回答這

個(gè)猜想是否正確？

（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm

解：（1）設(shè)王詩嬤的影長(zhǎng)為xcm,

-一90150

由題忌可得：——---,

72x

解得：x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，

王詩嬤的的影子長(zhǎng)為120cm；

（2）正確，

因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

...高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，ACDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子,

過點(diǎn)F作FGLCE于點(diǎn)G,

由題意可得：BC=IO（）,CF=10（）,

???斜坡坡度i=1:0.75,

.DEFG14

"CE-CG-075,

.?.設(shè)FG=4m,CG=3m,在ACFG中，

（4???）2+（3W）2=1002,

解得：m=20,

/.CG=60,FG=80,

???BG=BC+CG=160,

過點(diǎn)F作FHLAB于點(diǎn)H,

?.?同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm,

FG_LBE,AB1BE,FH±AB,

可知四邊形HBGF為矩形，

.90_A”_AH

90“90…

；.AH=—xBG=——x160=200,

7272

AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圓柱的高度為280cm.

2.數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)利用太陽光下形成的影子測(cè)量大樹的高度.在同一時(shí)刻下，他們測(cè)得身高為1.5

米的同學(xué)立正站立時(shí)的影長(zhǎng)為2米，大樹的影子分別落在水平地面和臺(tái)階上.已知大樹在地面的影長(zhǎng)為2.4

米，臺(tái)階的高度均為0.3米，寬度均為0.5米.求大樹的高度48.

【答案】3.45米

【詳解】解：延長(zhǎng)。”交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AO交于N.

it

可求BM=3.4,DM=0.9.

由二=」-,可得MN=1.2.

2MN

：.BN=34+1.2=4.6.

由~^-=丁7，可得AB=3.45.

24.6

所以，大樹的高度為3.45米.

3.如圖，上午小明在上學(xué)路上發(fā)現(xiàn)路燈的燈泡8在太陽光下的影子恰好落到點(diǎn)E處，他自己的影子恰好落

在另一燈桿CO的底部點(diǎn)。處，晚自習(xí)放學(xué)時(shí)，小明又站在上午同一地方，此時(shí)發(fā)現(xiàn)燈泡。的燈光下自己

的影子恰好落在點(diǎn)E處.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出表示小明身高的線段(用線段FG表示).

D

C

【答案】詳見解析.

??

【詳解】■一G/

J_

FF

如圖所示，線段FG即為所求.

4.如圖，4B和MN是直立在地面上的兩根立柱，4B=6m，某一時(shí)刻4B在陽光下的投影BC=3m.

(1)請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)MN在陽光下的投影.

(2)在測(cè)量48的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出MN在陽光下的投影長(zhǎng)為6m,計(jì)算MN的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)MN=12(m).

【解析】解：(1)如圖所示，PN為MN在陽光下的投影.

BCNP36

：.MN=12(m).

5.如圖，公路旁有兩個(gè)高度相同的路燈AB,CD,小明上午上學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)路燈在太陽下的影子恰好落到E處,

他自己的影子恰好落在路燈CD的底部C處.晚自習(xí)放學(xué)時(shí)，站在上午同一地方，發(fā)現(xiàn)在路燈CO的燈光下自

己的影手恰好落在E處.

BD

AEC

(1)在圖中畫出小明的位置(用線段MN表示)并畫出光線，標(biāo)明太陽光、燈光.

(2)若上午上學(xué)時(shí)高1m的木棒的影子為2m,小明身高為1.6m,他離E恰好4m,求路燈高.

【答案】(1)見解析；(2)路燈高2.88m.

【解析】解：(1)如圖所示.

、太陽光、燈光

(2)上午上學(xué)時(shí)，1m木棒的影子為2m,小明身高為1.6m,

二小明的影子長(zhǎng)為3.2m.

MC=3.2m.

VFM=4m，.\EC=7.2m

?..晚上小明的影子投在E點(diǎn)，

.MN=EM即竺=工

CDECCD7.2

：.CD=2.88(m).

答：路燈高2.88m.

6.如圖所示，陽光透過長(zhǎng)方形玻璃投射到地面上，地面上出現(xiàn)一個(gè)明亮的平行四邊形，楊陽用量角器量出

了一條對(duì)角線與一邊垂直，用直尺量出平行四邊形的一組鄰邊的長(zhǎng)分別是30cm,50cm,請(qǐng)你幫助楊陽計(jì)算

出該平行四邊形的面積.

【答案】1200cm2

【解析】解如圖，AB=30cm,8c=50cm,AB±AC,

在RtAABC中，AC="BR-482=40cm,

所以該平行四邊形的面積=30x40=1200（cm2）.

7.（2019?陜西西安?初三期中）如圖是位于陜西省西安市薦福寺內(nèi)的小雁塔，是中國(guó)早期方形密檐式磚塔的

典型作品，并作為絲綢之路的一處重要遺址點(diǎn)，被列入《世界遺產(chǎn)名錄》.小銘、小希等幾位同學(xué)想利用一

些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量小雁塔的高度，由于觀測(cè)點(diǎn)與小雁塔底部間的距離不易測(cè)量，因此經(jīng)過

研究需要進(jìn)行兩次測(cè)量，于是在陽光下，他們首先利用影長(zhǎng)進(jìn)行測(cè)量，方法如下：小銘在小雁塔的影子頂

端D處豎直立一根木棒CD,并測(cè)得此時(shí)木棒的影長(zhǎng)DE=2.4米；然后，小希在BD的延長(zhǎng)線上找出一點(diǎn)F,

使得A、C、F三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得DF=2.5米.已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，木棒高CD=1.72

米，AB±BF,CD±BF,試根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求小雁塔的高度AB.

【答案】43米.

【解析】由題意得：ZAfi￡>=ZCD￡=90°,ZADB=ZCED,：./\CDE^^ABD,

.CDDE

VZF=ZF,:.△CDFs^ABF,

CDDFDEDF?2.42.5

...----=-----,...----------,即a----------------f

ABBFBDBFBD30+2.5

17224

???8D=60，--=—,：.AB=43.

AB60

答：小雁塔的高度48是43米.

8.（2018?全國(guó)初三單元測(cè)試）圖①是一起吊重物的簡(jiǎn)單裝置，AB是吊桿，當(dāng)它傾斜時(shí)，將重物掛起，當(dāng)

它逐漸直立時(shí)，重物便能逐漸升高.在陽光下，當(dāng)?shù)鯒U的傾斜角/ABC=60。時(shí)，量得吊桿的影子長(zhǎng)BC=

11.5米，很快將吊桿直立（直立過程所需的時(shí)間忽略不計(jì)），如圖②，AB與地面垂直時(shí)，量得吊桿AB的影

長(zhǎng)BC=4米，求吊桿AB的長(zhǎng).

【答案】23-46

【解析】在題圖①中，過點(diǎn)A作AD1BC于點(diǎn)D.

設(shè)BD=x米，則DC=(11.5-x)米.

又因?yàn)镹ABC=60。，

所以AD={5x米，AB=2x米.

因?yàn)樘柟馐瞧叫械?，根?jù)同一時(shí)刻，同一地點(diǎn)物高與影長(zhǎng)成正比,

所以題圖①中的“AD：DC”和題圖②中的“AB：BC”相等，

即#x：(11.5-x)=2x:4,

解得x=l1.5—2木x=0不符合題意，舍去)，

所以吊桿AB=2x=(23—4■)米.

考點(diǎn)2：中心投影

典例：學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量--路燈的高度，并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律.

如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6m的小明(AB)的影子BC長(zhǎng)是3m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn)，并

測(cè)得HB=6m.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;

(2)求路燈燈泡的垂直高度GH;

(3)如果小明沿線段向小穎(點(diǎn)H)走去，當(dāng)小明走到的中點(diǎn)Bi處時(shí)，其影子長(zhǎng)為BCi；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下

路程的;到電處時(shí)，其影子長(zhǎng)為&C2；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的}到B3處,…，按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走

剩下路程的—到&處時(shí)，其影子B,.Cn的長(zhǎng)為_____m.(直接用含n的代數(shù)式表示)

H+1

HB\

【答案】⑴詳見解析；(2)路燈燈泡的垂直高度G”是4.8m；(3)

【解析】解：(1)形成影子的光線如圖所示，路燈燈泡所在的位置為點(diǎn)G.

(2)根據(jù)題意，得△A8CsaG〃C,.：-='，?:~————，解得GH=4.8m.

GHHCGH6+3

答:路燈燈泡的垂直高度GH是4.8m.

(3)提示:同理可得△48《|646”(7|,.：整=萼，

UnnC}

]6x

設(shè)長(zhǎng)為xm,則二=一；

4.8x+3

解得x=1.5,即81cl=1.5m.

1.6BC

同理=''，解得82c2=1m,

4-.o￡?-)C-)+Z

L6=B,C,3

?：4.81解得&<?,,=；?

紇C“+,x6n+1

n+l

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查相似三角形的應(yīng)用及中心投影，只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的

性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例解題.

鞏固練習(xí)

1.一天晚上，小穎由路燈A下的B處向正東走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，當(dāng)她繼續(xù)向正東走

到D處時(shí)，測(cè)得此時(shí)影子DE的一端E到路燈A的仰角為45。，已知小穎的身高為1.5米，那么路燈AB的

高度是多少米？

【答案】AB=4.5m

【詳解】解:如圖，VZABE=W°,NE=45°,

NE=ZEAB=ZEFD=45°,

：.AB=BE,DE=DF=1.5,

'：MC//AB,

；./\DCMS/\DBA,

.DCBD

設(shè)A8=x,則BO=x-1.5,

1x-1.5

?\--=------,

1.5x

解得：x=4.5.

路燈A的高度AB為4.5m.

2.（2018?南通市啟秀中學(xué)初三期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影

子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段BG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

CADF

（1）請(qǐng)你確定燈泡所在的位置并畫出小亮在燈光下形成的影子；

（2）如果小明的身高48=1.8〃?，他的影子長(zhǎng)AC=1.6m,且他到路燈的距離AD=24",求燈泡的高.

【答案】（1）如圖，見解析；點(diǎn)。為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子：（2）燈泡的

高為4.5m.

【詳解】

（1）如圖，點(diǎn)。為燈泡所在的位置，

線段FH為小亮在燈光下形成的影子.

E

AB_CA

(2)由已知可得:

~DO~~CD

.1.81.6

'DO~1.6+2.4

DO=4.5m,

?,?燈泡的高為4.5m.

3.如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身

高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

(1)請(qǐng)你確定燈泡所在的位置，并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段.

(2)如果燈桿高12小，小亮的身高1.6機(jī)，小亮與燈桿的距離13w，請(qǐng)求出小亮影子的長(zhǎng)度.

【答案】(1)詳見解析；(2)小亮影子的長(zhǎng)度為2”.

【詳解】

(2)'：FG//DE,

/.△GFN^ANDE,

?_F__N__FG

"NDDE

?.?燈桿高12m,小亮的身高1.6m,小亮與燈桿的距離13m,

FN1.6

FN+\3~12

解得：FN=2,

答：小亮影子的長(zhǎng)度為2，〃.

4.如圖，小明在晚上由路燈C底部A走向路燈D底部B,當(dāng)他行至點(diǎn)P處時(shí)，發(fā)現(xiàn)他在路燈D下的影長(zhǎng)

為2米，影子頂端正好落在A點(diǎn)，接著他又走了6.5米至點(diǎn)Q處，此時(shí)在路燈C下的影子的頂端正好落在

B點(diǎn).已知小明身高1.8米，燈桿8。高9米.

（1）標(biāo)出小明站在點(diǎn)P處時(shí)，在路燈D下的影子；

（2）計(jì)算小明站在點(diǎn)Q處時(shí)，在路燈C下的影子的長(zhǎng)度；

（3）求燈桿AC的高度.

【答案】（1）見解析；（2）在路燈C下的影子的長(zhǎng)度為1.5米；（2）12米

【詳解】

解：（1）如圖，線段AP即為小明在路燈D下的影子.

(2)設(shè)小明在路燈C下的影長(zhǎng)QB為x米，如圖.

EPIAB,DBYAB,

???NEPA=NDBA=9G.

又NEAP=NDAB,

EPAP??1.82

"DB—AB''9-2+6.5+x.

解得x=1.5.

.??小明站在點(diǎn)Q處時(shí)，在路燈C下的影子的長(zhǎng)度為1.5米.

(3)由題意易知，RtAFQB^RtACAB,

.Q^=QB

"AC~AB

1.81.5

設(shè)AC=y米,則丁=1.5+6.5+2,

解得y=12.

燈桿AC的高度為12米.

5.如圖，某光源下有三根桿子，甲桿GH的影子為GM,乙桿EF的影子一部分落在地面EA上，一部分落

在斜坡AB上的AD處.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，確定光源所在的位置R,并畫出丙桿PQ在地面的影子.

（2）在（1）的結(jié)論下，若過點(diǎn)F的光線尸。1AB,斜坡與地面的夾角為60。，AD=Im,AE=2m,請(qǐng)

【答案】（1）見解析：（2）EF=

3

【解析】（1）如圖所示，QN即為PQ在地面的影子。

(2)分別延長(zhǎng)FD,EA交于點(diǎn)S.在RtZkADS中，ZADS=90°,

9：^DAS=60°,

?"S=30°.

'：AD=1,

：.AS=2,DS=V3，

???ES=4S+4E=2+2=4

.在山△EPS中，VzFFS=90°,zS=30°,

:?FS=2EF,

由勾股定理得EF=這m.

3

6.如圖，晚上小明由路燈AO走向路燈BC,當(dāng)他行至點(diǎn)P處時(shí)，發(fā)現(xiàn)他在路燈BC下的影長(zhǎng)為2相，且

影子的頂端恰好在A點(diǎn)，接著他又走了6.5機(jī)至點(diǎn)Q處，此時(shí)他在路燈AD下的影子的頂端恰好在B點(diǎn)，

己知小明的身高為1.8m,路燈BC的高度為9m.

D

（1）計(jì)算小明站在點(diǎn)Q處時(shí)在路燈AD下影子的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)算路燈AD的高度。

【答案】（1）小明站在點(diǎn)Q處時(shí)在路燈AD下影子的長(zhǎng)度為1.5加；（2）路燈AD的高度為12加.

【解析】解：（1）根據(jù)題圖，得EP_LAB,CBVAB,\AEP^\ACB.

.?圖=”,即"=2,

CBAB9AB

AB-10//2,

:.QB=AB-AP-PQ=W-2-6.5=1.5m,

即小明站在點(diǎn)Q處時(shí)在路燈ADF影子的長(zhǎng)度為1.5加.

（2）同（1）可知△HQBSADAB,

.HQ=QB即1A3

ADAB'AD10'

/.AD=12m,

即路燈AD的高度為12機(jī).

7.（2019?全國(guó)）如圖，晚上小紅和小穎在廣場(chǎng)的一盞路燈下玩耍，AB表示小紅的身高，BC表示她的影子，

DE表示小穎的身高，E尸表示她的影子，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出燈泡的位置，并且畫出形成影子MN的小木桿。（用

線段表示）

D

MNBCE

【答案】見解析.

【解析】解：如圖，連接CA、FD并延長(zhǎng)，交點(diǎn)即為路燈P的位置；

連接PM,過點(diǎn)N作NQLMN交PM于Q,則形成影子MN的小木桿為QN.

9.如圖，公路旁有兩個(gè)高度相同的路燈AB,CD,小明上午上學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)路燈AB在太陽光下的影子恰好落

到里程碑E處，他自己的影子恰好落在路燈CD的底部C處晚自習(xí)放學(xué)時(shí)，小明站在上午同一個(gè)地方，發(fā)

現(xiàn)在路燈CD的燈光下自己的影子恰好落在里程碑E處。

BD

'A1C

（1）在圖中畫出小明的位置（用線段FG表示），并畫出光線，標(biāo)出太陽光、燈光；

（2）若上午上學(xué)時(shí)，高I米的木棒在太陽光下的影子為2米，小明身高為1.5米，他離里程碑E恰好5米,

求路燈的高度.

【答案】（1）見解析：（2）路燈的高度為2.4米.

【解析】解：（1）根據(jù)題意畫圖如圖所示.

（2）?.?上午上學(xué)時(shí)，高1米的木棒在太陽光下的影子為2米，小明的身高為1.5米,

小明的影長(zhǎng)CF為3米.

GF±AC,DC1AC,

:.GFIICD.

：.\EGF^\EDC,

GFEF

"~DC~~EC'

小明離里程碑E恰好5米，即ER=5米，

?L55

-DC-5+3'

DC=2.4,

答：路燈的高度為2.4米.

考點(diǎn)3：與盲區(qū)有關(guān)的問題

典例：圖1至圖7中的網(wǎng)格圖均是20x20的等距網(wǎng)格圖（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)）.偵察兵王凱

在P點(diǎn)觀察區(qū)域MNCD內(nèi)的活動(dòng)情況.當(dāng)5個(gè)單位長(zhǎng)的列車（圖中的一）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在鐵

路線MN上通過時(shí)，列車將阻擋王凱的部分視線，在區(qū)域MNCD內(nèi)形成盲區(qū)（不考慮列車的寬度和車廂間

的縫隙）.設(shè)列車車頭運(yùn)行到M點(diǎn)的時(shí)刻為0,列車從M點(diǎn)向N點(diǎn)方向運(yùn)行的時(shí)間為t（秒）.

（1）在區(qū)域MNCD內(nèi)，請(qǐng)你針對(duì)圖1,圖2,圖3,圖4中列車位于不同位置的情形分別畫出相應(yīng)的盲區(qū)，

并在盲區(qū)內(nèi)涂上陰影.

（2）只考慮在區(qū)域ABCD內(nèi)開成的盲區(qū).設(shè)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的盲區(qū)面積是y（平方單位）.

①如圖5,當(dāng)5WtW0時(shí)，請(qǐng)你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖6,當(dāng)10SW15時(shí)，請(qǐng)你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；

③如圖7,當(dāng)15W620時(shí)，請(qǐng)你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；

④根據(jù)①?③中得到的結(jié)論，請(qǐng)你簡(jiǎn)單概括y隨t的變化而變化的情況.

（3）根據(jù)上述研究過程，請(qǐng)你按不同的時(shí)段，就列車行駛過程中在區(qū)域MNCD內(nèi)所形成盲區(qū)的面積大小

的變化情況提出一個(gè)綜合的猜想.

p__________________p__________________p__________________P

cQDCQDCQDCQD

圖4圖5圖6圖7

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】（1）在P視點(diǎn)看不見的列車后的區(qū)域就是盲區(qū)，也就是過P和列車的兩端的射線交CD于兩點(diǎn),

這兩點(diǎn)和列車兩端構(gòu)成的梯形就是所指的盲區(qū).如圖1的梯形AAQiD,圖2的梯形A?B2c2D2，圖3的梯

形B3BCC3.

（2）①如圖1,當(dāng)5WtS0時(shí)，盲區(qū)是梯形AAiDQ

p

：O是PQ中點(diǎn)，且OA〃QD,

/.A|,A分別是PDi和PD中點(diǎn)

...A|A是APD1D的中位線.

又,.?A|A=t-5,；.D|D=2(t-5)

而梯形AA|DQ的高OQ=10,

?\y=15t-75.

②如圖2,當(dāng)10WK15時(shí)，盲區(qū)是梯形A2B2c2D2,

易知A2B2是APCzD?的中位線，且A?B2=5,

.".C2D2=IO

又?.?梯形A?B2c2D2的高OQ=10,

1

；.y=—(5+10)x10=75

2

/.y=75.

③如圖3,當(dāng)150W2O時(shí)，盲區(qū)是梯形B3BCC3

易知BB3是心83的中位線

且BB3=5-(t-15)=20-1

又?.?梯形B3BCC3的高OQ=10,

|(20-t)+2(20-t)]x10=300-15t

.,.y=300-15t.

④當(dāng)5W￡10時(shí)，由一次函數(shù)y=15t-75的性質(zhì)可知，盲區(qū)的面積由。逐漸增大到75；

當(dāng)10<t<15時(shí),盲區(qū)的面積y為定值75；

當(dāng)15WtW20時(shí)，由一次函數(shù)y=300-15t的性質(zhì)可知，盲區(qū)的面積由75逐漸減小到0.

（3）通過上述研究可知，列車從M點(diǎn)向N點(diǎn)方向運(yùn)行的過程中，在區(qū)域MNCD內(nèi)盲區(qū)面積大小的變化是：

①在0<t<l0時(shí)段內(nèi)，盲區(qū)面積從0逐漸增大到75；

②在10SW15時(shí)段內(nèi)，盲區(qū)的面積為定值75；

③在15<t<20時(shí)段內(nèi)，盲區(qū)面積從75逐漸減小到0.

法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查了梯形的面積公式，盲區(qū)，一次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)比較多，需要細(xì)心求解.

鞏固練習(xí)

1.當(dāng)你在筆直的公路上乘車由A至E的過程中（如圖所示），發(fā)現(xiàn)路邊有兩棟建筑物，那么不能看到較高建

筑物PD的路段是（）

A.ABB.BCC.CDD.DE

【答案】B

【解析】由圖知：當(dāng)乘車在BC段行駛時(shí)，建筑物PD位于自己的盲區(qū)內(nèi)，因此看不到建筑物PD的路段是

BC段.

故選B.

2.（2019?全國(guó)初三單元測(cè)試）當(dāng)你去看電影的時(shí)候，你想坐得離屏幕近一些，可是又不想為了看屏幕邊緣

的鏡頭不停地轉(zhuǎn)動(dòng)眼睛.如圖所示，點(diǎn)A、B分別為屏幕邊緣兩點(diǎn)，若你在P點(diǎn),則視角為N4P8.如果你覺

得電影院內(nèi)尸點(diǎn)是觀看的最佳位置，可是已經(jīng)有人坐在那了，那么你會(huì)找到一個(gè)位置。，使得在Q、P兩點(diǎn)

有相同的視角嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出來（保留畫圖痕跡，不寫畫法）.

【答案】詳見解析.

【解析】解：作A8,AP的中垂線，交點(diǎn)為。，以。為圓心，0P長(zhǎng)為半徑做三角形ABP的外接圓,

在圓上P點(diǎn)同側(cè)找一點(diǎn)。，連接A。，B。，則點(diǎn)。即可所求點(diǎn).

3.（2018?全國(guó)初三單元測(cè)試）如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC,小明（用線段OE表示）

的影子是EF,在M處有一顆大樹，它的影子是MN.

（1）試判斷是路燈還是太陽光，如果是路燈確定路燈的位置（用點(diǎn)P表示）.如果是太陽光請(qǐng)畫出光線.

（2）在圖中畫出表示大樹高的線段.

（3）若小明的眼睛近似地看成是點(diǎn)。，試畫圖分析小明能否看見大樹.

VMBCKF

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】解：⑴根據(jù)光線相交于一點(diǎn)，即可得出路燈確定路燈的位置；（2）如圖所示：⑶如圖所示，小

明的眼睛近似地看成是點(diǎn)。，小明不能看見大樹.

VMBCEF

4.（2018?全國(guó)初三單元測(cè)試）作圖題：如圖所示：大王站在墻前，小明站在墻后，小明不能讓大王看見,

請(qǐng)你畫出小明的活動(dòng)區(qū)域.

大王

【答案】見解析

【解析】如圖，小明的活動(dòng)區(qū)域是A、B、C三個(gè)陰影部分區(qū)域.

B

5.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M,N,P分別為A。，BC,CO的中點(diǎn).現(xiàn)從點(diǎn)P觀察線段

AB,當(dāng)長(zhǎng)度為1的線段/(圖中的黑粗線)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿線段從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，/將阻擋

部分觀察視線，在區(qū)域內(nèi)形成盲區(qū).設(shè)/的左端點(diǎn)從M點(diǎn)開始，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“少(O?fV3).設(shè)PAB

區(qū)域內(nèi)的盲區(qū)面積為(平方單位).

(1)求與，之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)請(qǐng)簡(jiǎn)單概括)'隨t的變化而變化的情況.

【答案】(1)時(shí)，y=3t,?<z<時(shí)，y=3,2<r<3時(shí)，y=9-3f：(2)1秒內(nèi)，y隨，的

增大而增大；1秒到2秒，丫的值不變；2秒到3秒，y隨/的增大而減小.

【詳解】(I)..?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M,N,P分別為AO,BC,C。的中點(diǎn)，

...AM=2,盲區(qū)為梯形，且上底為下底的一半，高為2,

當(dāng)時(shí)，y=+2。?2=3f,

當(dāng)1</<2時(shí)，y=g(l+2)x2=3,

當(dāng)2</43時(shí)，y=g[3-f+2(3-r)]?2=9—3f；

(2)i秒內(nèi)，y隨t的增大而增大；1秒到2秒，y的值不變；2秒到3秒，),隨，的增大而減小.

6.如圖，在房子外的屋檐E處裝有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前面有一面落地的廣告牌.

(1)監(jiān)視器的盲區(qū)在哪一部分？

(2)已知房子上的監(jiān)視器離地面高12加，廣告牌高6加，廣告牌距離房子5m，求盲區(qū)在地面上的長(zhǎng)度.

【答案】5米.

【解析】（1）把墻看做如圖的線段，則如圖，ABC所圍成的部分就是監(jiān)控不到的區(qū)域:

設(shè)BC=x,則CD=x+5,

%_6

7+5-12

解得：x=5.

答：盲區(qū)在地面上的長(zhǎng)度是5米.

7.（2018?全國(guó)初三單元測(cè)試）如圖，兩樓之間距離MN=20若m,兩樓的高各為10m和30m,則當(dāng)你

至少與BM樓相距多少米時(shí)，才能看到后面的NC樓？此時(shí)，你的仰角是多少度？

【答案】10&m時(shí)，才能看到后面的NC樓，此時(shí)的仰角為30。.

【解析】解：連接CB并延長(zhǎng)交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A,設(shè)AM=xm,

則喬杜架，x=IOS，tan/BAM=^=湍=坐

/.ZBAM=30°,故當(dāng)人與BM樓至少為IOSm時(shí),才能看到后面的NC樓,此時(shí)的仰角為30。.

8.（2018?全國(guó)初三單元測(cè)試）如圖，小區(qū)管理者打算在廣場(chǎng)的地面上安裝一盞路燈（路燈高度忽略不計(jì)）.小

明此刻正在某建筑物的8處向下看，請(qǐng)問：此路燈安在什么位置，小明在8處看不到？請(qǐng)把這段范圍用線

段表示出來.

B

/

□□

N

墻

【答案】見解析.

【解析】

如圖所示：線段BE以下為盲區(qū)，此路燈安在8E5面，小明在8處看不到.

B

□□

墻

9.（2019?全國(guó)）我國(guó)《道路交通安全法》第四十七條規(guī)定“機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速行駛；遇行人

通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行如圖：一輛汽車在一個(gè)十字路口遇到行人時(shí)剎車停下，汽車?yán)锏鸟{駛員看

地面的斑馬線前后兩端的視角分別是/DCA=30。和/DCB=60。，如果斑馬線的寬度是AB=3米，駕駛員

與車頭的距離是0.8米，這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離x是多少？

【答案】0.7米

【詳解】

如圖所示：延長(zhǎng)AB,

C

；CD〃AB,

；./CAB=30°,ZCBF=60°,

二ZBCA=60°-30°=30°,即/BAC=NBCA,

/.BC=AB=3m,

在RtZkBCF中，BC=3m,ZCBF=60°,

1

/.BF=-BC=1.5m,

2

fex=BF-EF=1.5-0.8=0.7（m）,

答：這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離X是0.7m.

考點(diǎn)4：有三視圖還原幾何體

典例：（2020?江蘇徐州?初三一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的名稱是（)

：主視此左視BB

??

??

岡

后視圖

A.四棱柱B.三棱錐C.四棱錐D.圓錐

【答案】C

【詳解】

解：???空間幾何體的主視圖、左視圖所對(duì)應(yīng)的三角形皆為正三角形，俯視圖對(duì)應(yīng)的四邊形為正方形，

二空間幾何體是正四棱錐，

故選C.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了由三視圖來判斷幾何體，還考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間

想象能力.

鞏固練習(xí)

1.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

O

A.三棱柱B.長(zhǎng)方體C.圓錐D.圓柱

【答案】B

【解析】根據(jù)主視圖和左視圖都是寬度相等的長(zhǎng)方形，可判斷該幾何體是柱體，再根據(jù)俯視圖的形狀，可

判斷柱體是長(zhǎng)方體.故選B.

2.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.圓柱B.圓錐C.正三棱柱D.正三棱錐

【答案】B

【解析】根據(jù)這個(gè)幾何體的三視圖即可得這個(gè)幾何體為圓錐.

3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是三角形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是

三棱柱.

故選C.

4.由4個(gè)相同的小正方體搭建了一個(gè)積木，從不同方向看積木，所得到的圖形如圖所示，則這個(gè)積木可能

是（）

從正面看從左面看從上面看

【答案】B

【解析】解：從主視圖上可以看出左面有兩層，右面有一層；從左視圖上看分前后兩層，后面一層上下兩

層，前面只有一層，從俯視圖上看，底面有3個(gè)小正方體，因此共有4個(gè)小正方體組成.故選B.

5.（2020?湖北初三一模）如圖是一個(gè)三視圖，則此三視圖所對(duì)應(yīng)的直觀圖是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.B.C.D.

【答案】B

【詳解】

解：由圖可得，此三視圖所對(duì)應(yīng)的直觀圖是

故選：B.

6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）

D.

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)俯視圖為三角形，主視圖以及左視圖都是矩形，可得這個(gè)幾何體為四棱柱,

故選C.

7.（2020?云南昆明?初三學(xué)業(yè)考試）某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【答案】A

【詳解】

解：底層正方體可能的個(gè)數(shù)應(yīng)是3個(gè)，第二層正方體可能的個(gè)數(shù)應(yīng)該是1個(gè),

因此這個(gè)幾何體可能的圖示如圖所示,

8.（2020?陜西西安?高新一中初三其他）某幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示，則其對(duì)應(yīng)的幾何體

是（□

A.B.D.L

【答案】B

【詳解】

解：根據(jù)三視圖可得這個(gè)幾何體的名稱是三棱柱;

故選：B.

9.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（)

A.圓錐B.三棱錐C.三棱柱D.四棱柱

【答案】C

【詳解】

解：A、圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意;

B、三棱錐的三視圖均為三角形，不符合題意;

C、三棱柱的主視圖和左視圖均為矩形，俯視圖為三角形，符合題意;

D、四棱柱的主視圖、左視圖和俯視圖均為矩形，不符合題意;

故選：C.

10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體可能是（）.

【答案】c

【詳解】

?.?七視圖和左視圖是長(zhǎng)方形，

該幾何體是柱體，

?.?主視圖有虛線，俯視圖是四邊形，

...該幾何體是前寬后窄的四棱柱.

故選：C.

11.詩句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，意思是說要認(rèn)清事物的本質(zhì)，就必須從不同角度去觀察.下

圖是對(duì)某物體從不同角度觀察的記錄情況，對(duì)該物體判斷最接近本質(zhì)的是（）.

Bi

A.是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個(gè)垂直的空心管

B.是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個(gè)平行的空心管

C.是圓柱形物體，里面有兩個(gè)垂直的空心管

D.是圓柱形物體，里面有兩個(gè)平行的空心管

【答案】D

【詳解】

由三視圖可知：幾何體的外部為圓柱體，內(nèi)部為兩個(gè)互相平行的空心管

故選：D

12.右側(cè)的三視圖對(duì)應(yīng)的物體為（）

【答案】c

【詳解】

解：從俯視圖可以看出直觀圖的下面部分為一個(gè)長(zhǎng)方體和圓，且長(zhǎng)方體的寬度和圓的宜徑相等.只有選項(xiàng)c

滿足這兩點(diǎn)，

故選C.

13.（2020.河南鄭州.初三二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

V

主視圖左視圖

俯視圖

A.立方體B.四棱柱C.圓錐D.直三棱柱

【答案】D

【詳解】

解：該幾何體是直三棱柱,

故答案選：D.

14.（2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學(xué)初三其他）如圖所示為某一物體的主視圖，下面是這個(gè)物體的是（）

【答案】D

【詳解】

解：從該組合體的主視圖看從左至右共有三列，從左到右第一列有兩個(gè)正方體，第二列有三個(gè)正方體，第

三列有一個(gè)，可得只有選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

考點(diǎn)5：有三視圖求幾何體表面積和側(cè)面積

典例：(2020?成都西川中學(xué)月考)如圖是某幾何體從正面、左面、上面看到的形狀圖.

從上面看

(1)這個(gè)幾何體的名稱是.

(2)若從正面看到的長(zhǎng)方形的寬為4cm,長(zhǎng)為9c"?,從左面看到的寬為3cm,從上面看到的直角三角形的

斜邊為5cm，則這個(gè)幾何體中所有棱長(zhǎng)的和是多少？它的表面積是多少？

【答案】(1)直三棱柱；(2)5lew；120cm2

【詳解】(1)這個(gè)幾何體是直三棱柱；

故答案為：直三棱柱

(2)由題意可得：

它的所有棱長(zhǎng)之和為：

(3+4+5)x2+9x3=51(cm)；

它的表面積為：

2x(-j-x3x4)+(3+4+5)x9=120(cm2)

答：所有棱長(zhǎng)的和是51cm,它的表面積為120cm2.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題主要考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，正確得出物體的形狀是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020.山東日照?二模）如圖是某工件的三視圖.則此工件的表面積為（）

I工

L8便位：cm）

A.20兀cm，B.367tcm?C.56兀cm'D.2471cm2

【答案】B

【詳解】

解：由三視圖，得：

3

OB=8-r2=4cm,OA=3cm,

由勾股定理得AB=732+42=5cm,

圓錐的側(cè)面積為：—><87rx5=207tcm2,

2

圓錐的底面積為:7ix42=167tcm2,

圓錐的表面積為：20K+167c=36ncm2.

故答案為：B.

2.如圖所示是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算，這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）.

■'r't'y

25乃-

A.—^―B.12兀C.2V3t4;TD.247r

【答案】B

【詳解】

由三視圖可判斷該兒何體是圓錐，底面直徑為4,母線長(zhǎng)為6,

.,.這個(gè)幾何體的側(cè)面積為：-x4^x6=12^-.

2

故選：B.

3.（2020?重慶）要制作一個(gè)密封的長(zhǎng)方體鐵盒，嘉嘉設(shè)計(jì)出了它的三視圖，如圖，按圖中尺寸（單位：cm）

判斷，要制作這個(gè)長(zhǎng)方體鐵盒，如果只考慮面積因素，采用下列哪種面積的鐵板最合理（）

■主視圖o左視a圖n俯視圖

A.1000a/B.1030c/n2C.HOOcw2D.1200a/

【答案】C

【詳解】

（18x12+18x10+12x10）x2

=（216+180+120）x2

=516x2

=1032（cm2）,

故如果只考慮面積因素，采用面積1100cm2的鐵板最合理.

故選：C.

4.（2020?四川中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積是（）

A.207tB.18兀C.16兀D.14兀

【答案】B

【詳解】

4

由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為「=:=2,

2

，這個(gè)幾何體的表面積

=底面圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓錐的側(cè)面積

=兀戶+Inrh+Krl

=22n+2x2x2兀+3義2兀=18兀,

故選：B.

5.如圖是某幾何體的三視圖，其側(cè)面積為（）

A.6B.47rC.6兀D.12n

【答案】C

【解析】觀察三視圖知：該幾何體為圓柱，高為3cm,底面直徑為2cm,

，側(cè)面積為：71dh=2itx3=6兀.

故選C.

6.如圖，一個(gè)幾何體的三視圖分別是兩個(gè)矩形，一個(gè)扇形，則這個(gè)幾何體表面積的大小為（）

（主曲（左視圖）

（W5?）

A.127tB.15nC.127t+6D.15兀+12

【答案】D

【詳解】

解：由幾何體的三視圖可得：

該幾何體的表面是由3個(gè)長(zhǎng)方形與兩個(gè)扇形圍成，

其側(cè)面積為:3x（《x2萬x2+2+2）=9萬+12

上下底面面積為：兀=6兀

4

二這個(gè)幾何體表面積為9兀+12+6兀=15兀+12,

故選：D.

7.（2020?云南初三二模）云南是全國(guó)擁有少數(shù)民族數(shù)量最多的省份，風(fēng)俗文化多種多樣，使得“云南十八怪”

成為云南旅游文化的一張名片，圖①是十八怪中的“草帽當(dāng)鍋蓋”，圖②是一個(gè)草帽的三視圖，根據(jù)圖中所給

的數(shù)據(jù)計(jì)算出該草帽的側(cè)面積為（）

A.24();rcMB.576^cm2C.624-Trcm2D.12(比cm?

【答案】C

【詳解】

48

解：?.?圓錐的底面直徑為48cm,則半徑為一=24,又?.?圓錐的高為10cm,，圓錐的母線長(zhǎng)為:

2

V102+242=7676-26，圓錐的底面周長(zhǎng)（扇形的弧長(zhǎng)）為：2%r=48?，

.?.該圓錐的側(cè)面積x487tx26=6247rc“，

故選C.

8.（2020?哈爾濱市實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它的視圖,

下列說法正確的是（）

A.主視圖的面積最小B.左視圖的面積最小

C.俯視圖的面積最小D.主視圖，俯視圖,左視圖的面積一樣大

【答案】B

【詳解】

解：觀察圖形可知，幾何體的主視圖由4個(gè)正方形組成，俯視圖由4個(gè)正方形組成，左視圖由3個(gè)正方形

組成，

所以左視圖的面積最小.

故答案為：B.

9.“趕陀螺”是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動(dòng).如圖所示是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,

圓柱的高BC=6cm,圓錐的高CD=3cm,則這個(gè)陀螺的表面積是（）

AB

C___Jc

A.68ncm2B.74兀cm~C.84ncm2D.10071cm?

【答案】C

【解析】:,底面圓的直徑為8cm,高為3cm,母線長(zhǎng)為5cm，，其表面積=71x4x5+47+8兀x6=84ncm\故

選C.

10.如圖，這是一個(gè)底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖、俯視圖，則它的左視圖的面積是（）

俯視圖

A.4B.2C.73D.273

【答案】D

【詳解】

由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,該幾何體的高為2,

該兒何體的左視圖為長(zhǎng)方形，

該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為該幾何體的高2,寬為底面等邊三角形的高，

:底面等邊三角形的高=2xsin60=2XE=6，

2

.?.它的左視圖的面積是26，

故選：D.

II.（2020.黑龍江初三月考）如圖，該兒何體由棱長(zhǎng)為1的六個(gè)小正方體疊合形成，其左視圖面積是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】

解：由左側(cè)可以：看到上