第5講等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質的作用性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【例題精選】例1(2023春?越秀區校級期中）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊的長為（）A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．無法確定例2(2023春?芝罘區期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點E，交AC于點D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數是（）A．50° B．36° C．40° D．45°【隨堂練習】1．(2023春?渭南期中）等腰三角形的一個角是40°，則它的底角是（）A．40° B．40°或70° C．80°或70° D．70°2．(2023?東莞市一模）等腰三角形的一邊長為5，周長為20．則這個等腰三角形的底邊長為（）A．5 B．10 C．5或10 D．5或7.53．(2023?光明區一模）如圖，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，則∠C＝（）A．40° B．30° C．20° D．15°2等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.【例題精選】例1(2023秋?德州期末）在如圖所示的網格紙中，有A、B兩個格點，試取格點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點C的個數是（）A．4 B．6 C．8 D．10例2(2023?武漢模擬）平面直角坐標系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．7【隨堂練習】1．(2023?浙江自主招生）已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條2．(2023秋?江干區期末）若△ABC三個內角的關系為＝＝，則三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3.等邊三角形一、等邊三角形

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．二、等邊三角形的性質等邊三角形的性質：等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.三、等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【例題精選】例1(2023秋?濉溪縣期末）如圖，在等邊三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD與CE的大小關系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能確定【隨堂練習】1．(2023春?蘭州期末）如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E為AD上一點，∠CED＝50°，則∠ABE等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數關系.【例題精選】例1(2023秋?靖江市校級月考）已知△ABC，∠BAC＝30°，AB＝8，要使滿足條件的△ABC唯一確定，那么BC邊長度x的取值范圍是（）A．4 B．8 C．x＞8 D．x＝4或x≥8例2(2023春?鹽田區期末）若等腰三角形的底角為15°，則一腰上的高是腰長的（）A． B． C．1倍 D．2倍【隨堂練習】1．(2023秋?岳陽期中）某商場大廳一樓到二樓的手扶電梯如圖所示．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，大廳兩層樓之間高度h＝6m，則顧客乘電梯從B點到C點的距離是（）m．A．3 B．6 C．6 D．122．(2023秋?海淀區校級月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，點P是AC邊上的動點，則BP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4綜合練習一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知點A（﹣2，0）和點B（1，1），在坐標軸上確定點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點C共有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．10個2．如圖所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于點Q，延長MN至點G，取NG＝NQ，若MQ＝a，則NG的長是（）A．a B．12﹣a C．12+a D．12+2a3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，則BC等于（）A．2 B． C． D．8二．解答題（共3小題）4．在△ABC中，AB＝AC，M是邊BC的中點，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度數的大小5．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，BD＝AD＝AC，E為CD的中點．若∠B＝35°，求∠CAE度數．6．如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，CD＝AB，（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；（2）若AE既是△ABD的高又是角平分線，∠B＝54°，求∠C的大小．第5講等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質的作用性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【例題精選】例1(2023春?越秀區校級期中）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊的長為（）A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．無法確定分析：根據等腰三角形的性質和已知條件求出腰長和底邊長，然后根據三邊關系進行討論，即可得出結論．【解答】解：設等腰三角形的腰長是xcm，底邊是ycm．根據題意，得：或，解得或．再根據三角形的三邊關系知：8，8，17不能組成三角形，應舍去．所以它的底邊長是5cm．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質；解題中，因為兩部分的周長沒有明確，所以首先要分兩種情況考慮．最后一定要注意檢查是否符合三角形的三邊關系．分類討論是解題的關鍵．例2(2023春?芝罘區期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點E，交AC于點D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數是（）A．50° B．36° C．40° D．45°分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD＝BD，再根據等邊對等角可得∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C，然后根據三角形的內角和等于180°方程求解即可．【解答】解：∵AB的垂直平分線DE交AC于D，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DBC＝15°，∴∠ABC＝∠C＝∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°，解得∠A＝50°．故選：A．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，三角形的內角和定理，熟記性質與定理并列出方程是解題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023春?渭南期中）等腰三角形的一個角是40°，則它的底角是（）A．40° B．40°或70° C．80°或70° D．70°【解答】解：當40°的角為等腰三角形的頂角時，底角＝＝70°；當40°的角為等腰三角形的底角時，其底角為40°，故它的底角的度數是70°或40°．故選：B．2．(2023?東莞市一模）等腰三角形的一邊長為5，周長為20．則這個等腰三角形的底邊長為（）A．5 B．10 C．5或10 D．5或7.5【解答】解：當5為腰長時，底邊長為20﹣5×2＝10，所以此時三角形的三邊長為5，5，10，∵5+5＝10，∴不能組成三角形，當5為底邊長時，腰長為＝7.5，此時三角形的三邊長為5，7.5，7.5，能組成三角形，所以等腰三角形的底邊長為5，故選：A．3．(2023?光明區一模）如圖，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，則∠C＝（）A．40° B．30° C．20° D．15°【解答】解：∵AB∥CE，∴∠AEC＝∠A＝40°，∵CE＝DE，∴∠C＝∠D，∴∠AEC＝∠C+∠D＝2∠C，∴∠C＝∠AEC＝×40°＝20°．故選：C．2等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.【例題精選】例1(2023秋?德州期末）在如圖所示的網格紙中，有A、B兩個格點，試取格點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點C的個數是（）A．4 B．6 C．8 D．10分析：分AB是腰長時，根據網格結構，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形．分類討論思想是數學解題中很重要的解題思想．例2(2023?武漢模擬）平面直角坐標系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．7分析：由于沒有說明△ABC的腰長，故需要分三種情況進行討論，分別是AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC，【解答】解：當AC＝CB時，作AB的垂直平分線，交x軸于C1，交y軸于點C2當AB＝AC時，以點A為圓心，AB為半徑作圓A，交y軸于C3，交x軸于C4、C5，當AB＝BC時，以點B為圓心，AB為半徑作圓B，交y軸于點C6、C7故選：D．【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質分三種情況進行討論，本題屬于中等題型．【隨堂練習】1．(2023?浙江自主招生）已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【解答】解：如圖所示：當BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．2．(2023秋?江干區期末）若△ABC三個內角的關系為＝＝，則三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解答】解：∵△ABC三個內角的關系為＝＝，∴設＝＝＝k，∴∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，∴3k+4k+5k＝180°，∴k＝15°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴三角形的形狀為銳角三角形，故選：A．3.等邊三角形一、等邊三角形

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．二、等邊三角形的性質等邊三角形的性質：等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.三、等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【例題精選】例1(2023秋?濉溪縣期末）如圖，在等邊三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD與CE的大小關系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能確定分析：根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：AD＝CE，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠DFE＝120°，∴∠EFC＝60°，∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，∴∠BDC＝∠AEB，∴∠ADE＝∠BEC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE．故選：C．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023春?蘭州期末）如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E為AD上一點，∠CED＝50°，則∠ABE等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【解答】解：∵在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的線段垂直平分線，∵E是AD上一點，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故選：C．4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數關系.【例題精選】例1(2023秋?靖江市校級月考）已知△ABC，∠BAC＝30°，AB＝8，要使滿足條件的△ABC唯一確定，那么BC邊長度x的取值范圍是（）A．4 B．8 C．x＞8 D．x＝4或x≥8分析：過B點作BD垂直于AC于D點，則△ABD是含30度角的直角三角形；再延長AD到E點，使DE＝AD，再分別討論C點的位置即可．【解答】解：過B點作BD垂直于AC于D點，則△ABD是含30度角的直角三角形；再延長AD到E點，使DE＝AD，①當C點和D點重合時，△ABC是含30度角的直角三角形，BC＝AB＝4，這個三角形是唯一的；②當C點和E點重合時，三角形ABC是等腰三角形，BC＝AB＝8，這個三角形也是唯一的；③當C點在線段AE的延長線上時，即x大于BE，也就是x大于8，這時，三角形ABC也是唯一的；綜上所述，∠BAC＝30°，AB＝8，要使△ABC唯一確定，那么BC的長度x滿足的條件是：x＝4或x≥8．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形，全等三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是要確定點C的位置．例2(2023春?鹽田區期末）若等腰三角形的底角為15°，則一腰上的高是腰長的（）A． B． C．1倍 D．2倍分析：根據等腰三角形的性質，三角形的內角與外角的關系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解得CD與腰長AC的關系．【解答】解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝15°，∴∠DAC＝30°，∵AB＝AC，∴在直角△ACD中，CD＝AC，故選：B．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質：等邊對等角．三角形的內角與外角的關系以及直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半．【隨堂練習】1．(2023秋?岳陽期中）某商場大廳一樓到二樓的手扶電梯如圖所示．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，大廳兩層樓之間高度h＝6m，則顧客乘電梯從B點到C點的距離是（）m．A．3 B．6 C．6 D．12【解答】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB延長線于點E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∵從點B到點C上升的高度為6m，∴電梯BC的長是12m．故選：D．2．(2023秋?海淀區校級月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，點P是AC邊上的動點，則BP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝＝2，∵點P是AC邊上的動點，則當P與C重合時，BP的值最小為2，故選：B．綜合練習一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知點A（﹣2，0）和點B（1，1），在坐標軸上確定點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點C共有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．10個【解答】解：如圖所示：以A為圓心，AB長為半徑，C點有4個；以B為圓心，AB長為半徑，C點有4個；以AB線段垂直平分線交坐標軸有2個；故C點有10個，故選：D．2．如圖所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于點Q，延長MN至點G，取NG＝NQ，若MQ＝a，則NG的長是（）A．a B．12﹣a C．12+a D．12+2a【解答】解：∵在△PMN中，∠P＝36°，∴∠PMN＝∠PNM＝