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直線的方向向量和平面的法向量2研究

從今天開始,我們將進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應用.OPABPPO6為了用向量的方法研究空間的線面位置關系，我們首先要知道如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？1、直線的方向向量直線上的非零向量以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量例1如圖,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C、B1C1的中點,求證:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法1:法2:即可用與線性表示,故與是共面向量,∴MN∥平面A1BD

如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量叫做平面的法向量.二、平面的法向量(1)定義(2)理解1.平面的法向量是非零向量;2.一個平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;二、平面的法向量3.向量是平面的法向量，

若∥，則有A

給定一點A和一個向量,那么過點A以向量為法向量的平面是完全確定的.二、平面的法向量(3)法向量確定平面的位置二、平面的法向量

12例2在正方體中，求證：是平面的一個法向量.13待定系數法求平面的法向量14三、用方向向量和法向量判定位置關系三、用方向向量和法向量判定位置關系例

如圖,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C、B1C1的中點,求證:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法3:建立如圖所示的空間直角坐標系.xzy設正方體的棱長為1,則可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是

設平面A1BD的法向量是則得取x=1,得y=-1,z=-1,∴練習一1.設分別是直線l1,l2的方向向量,根據下列條件,判斷l1,l2的位置關系.平行垂直平行練習二1.設分別是平面α,β的法向量,根據下列條件,判斷α,β的位置關系.垂直平行相交練習三1、設平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2

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