3.1.3函數的奇偶性基礎過關練題組一函數的奇偶性1.(2024遼寧大連期末)下列函數為偶函數的是()A.y=xB.y=x+1C.y=x3D.y=x22.(2024廣東廣州期末)下列函數是奇函數的是()A.f(x)=x2+1B.f(x)=x3-1C.f(x)=x3+1xD.f(x)=x4+2x3.(2023浙江湖州期中)已知b,c∈R,則“b=0”是“函數f(x)=x2+bx+c為偶函數”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(多選題)下列結論不正確的是()A.f(x)=(x-1)1+xB.f(x)=x2C.f(x)=3-D.f(x)=1-5.(2024廣東珠海期末)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2,f(0)<f(1),且f(x)>0.(1)求f(-1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明.題組二奇函數、偶函數的圖象特征6.下列圖象表示的函數中具有奇偶性的是()ABCD7.(2024河南鄭州期末)函數y=2x8.(2024陜西西安期末)已知y=f(x-2)+1是定義在R上的奇函數,則()A.f(0)=0B.f(2)=0C.f(0)=-1D.f(-2)=-19.已知偶函數y=f(x)的定義域為{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,其部分圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集為.

10.已知y=f(x)是偶函數,y=g(x)是奇函數,它們的定義域都是[-3,3],且它們在[0,3]上的圖象如圖所示,則滿足不等式f(x)11.(2023江蘇連云港期中)已知f(x)是R上的奇函數,當x<0時,f(x)=4x+x2,若f(x)在區間[-4,t]上的值域為[-4,4],則實數t的取值范圍是.

題組三函數奇偶性的應用12.(2023安徽十校聯考期中)已知f(x)是R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=x-axA.1B.-2C.-1D.213.已知函數f(x)=axA.-2B.-1C.1D.214.(多選題)(2023山東淄博期中)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≤0時,f(x)=-x2-2x,則()A.f(x)的最大值為1B.f(x)在區間(1,+∞)上單調遞減C.f(x)≥0的解集為[-2,2]D.當x>0時,f(x)=x2-2x15.(2023陜西寶雞期末)若函數f(x)=x4+bx3+ax2+2是定義在[1-3a,a]上的偶函數,則a+b=.

題組四奇偶性與單調性的綜合應用16.(2024湖南長沙期末)定義在R上的函數f(x)是偶函數,且f(x)=f(2-x),若f(x)在區間[1,2]上單調遞減,則f(x)()A.在[0,1],[3,4]上單調遞增B.在[0,1]上單調遞增,在[3,4]上單調遞減C.在[0,1]上單調遞減,在[3,4]上單調遞增D.在[0,1],[3,4]上單調遞減17.(2024江西南昌期末)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在(-∞,0]上單調遞減,則不等式f(x+1)>f(2x)的解集為()A.-C.-18.(2024重慶北碚期末)已知定義在R上的函數f(x)滿足:f(x-1)的圖象關于(1,0)中心對稱,f(x+2)是偶函數,且f(x)在[0,2]上是增函數,則()A.f(2)<f(27)<f(13)B.f(2)<f(13)<f(27)C.f(13)<f(27)<f(2)D.f(13)<f(2)<f(27)19.已知f(x)為奇函數,且當x<0時,f(x)=x2+3x+2.若x∈[1,3]時,f(x)的最大值為m,最小值為n,則m-n的值為.

20.(2023廣東深圳期中)設函數f(x)=1-ax21+(1)判斷函數f(x)的奇偶性并證明;(2)判斷函數f(x)的單調性,并解關于x的不等式f(x)+f12能力提升練題組一奇函數、偶函數的圖象特征1.(2024遼寧大連期末)函數f(x)=x2題組二函數奇偶性的應用2.(2023安徽安慶一中期中)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,且f(x)-g(x)=x3+x2+x,則f(1)+g(1)=()A.1B.3C.-3D.-13.(2023廣東云浮期末)已知f(x)為R上的奇函數,g(x)為R上的偶函數,且g(x)≠0,則下列說法正確的是()A.f(x)+g(x)為R上的奇函數B.f(x)-g(x)為R上的奇函數C.f(x)D.|f(x)g(x)|為R上的偶函數4.(多選題)(2024重慶八中期末)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數,且f(3)=13A.若對任意x,y∈R,總有f(xy)=yf(x)+xf(y),則f(x)是奇函數B.若對任意x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)是偶函數C.若對任意x,y∈R,總有f(xy)=yf(x)+xf(y),則f-D.若對任意x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),則f-題組三單調性與奇偶性的綜合應用5.(2024河南南陽期末)已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(1)=0,則不等式(x+1)·f(x)≤0的解集為()A.{x|-1≤x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0或0<x≤1}D.{x|x≤-1或x≥1}6.(多選題)(2023山東濰坊期中)已知函數f(x)=|xA.f(x)的圖象關于y軸對稱B.f(x)的單調遞減區間為(2,+∞)C.f(x)的值域為RD.當x∈(-2,2)時,f(x)有最大值7.(2023山東濟寧兗州期中)已知函數f(x)=x2(1)求函數f(x)的解析式,判斷函數f(x)在(0,1)上的單調性并證明;(2)令h(x)=x2+1x2-2tf(x)(t<0),若對任意x1,x2∈12,2都有|h(x1)-h(x答案與分層梯度式解析3.1.3函數的奇偶性基礎過關練1.D2.C3.C4.AD6.B7.C8.D12.A13.C14.ABC16.B17.D18.C1.D對于A,y=x的定義域為[0,+∞),不關于原點對稱,所以該函數不是偶函數,故A不符合題意;對于B,令f(x)=x+1,則f(1)=2,f(-1)=0,f(1)≠f(-1),所以該函數不是偶函數,故B不符合題意;對于C,令f(x)=x3,則f(1)=1,f(-1)=-1,f(1)≠f(-1),所以該函數不是偶函數,故C不符合題意;對于D,令f(x)=x2,其定義域為R,關于原點對稱,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函數,故D符合題意.2.C對于A,因為f(x)=x2+1的定義域為R,關于原點對稱,且f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1為偶函數;對于B,因為f(x)=x3-1的定義域為R,關于原點對稱,但f(-x)=(-x)3-1=-x3-1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函數;對于C,因為f(x)=x3+1x的定義域為(-∞,0)∪f(-x)=(-x)3+1-x=?x3?對于D,因為f(x)=x4+2x2的定義域為R,關于原點對稱,且f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2為偶函數.3.C當b=0時,f(x)=x2+c,易知其定義域為R,關于原點對稱,f(-x)=(-x)2+c=x2+c=f(x),故函數f(x)是偶函數,充分性成立;若函數f(x)=x2+bx+c為偶函數,則f(-x)=f(x),即(-x)2-bx+c=x2+bx+c,即2bx=0,所以b=0,必要性成立.故“b=0”是“函數f(x)=x2+bx+c為偶函數”的充要條件,故選C.4.AD對于A,f(x)的定義域為[-1,1),不關于原點對稱,∴f(x)不是偶函數,∴該結論錯誤;對于B,f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,設x>0,則-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),同理可得x<0時,也有f(-x)=-f(x)成立,∴f(x)是奇函數,∴該結論正確;對于C,易知f(x)的定義域為{x|x=±3},關于原點對稱,且f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數,∴該結論正確;對于D,由1-x2≥0∴f(x)的定義域為[-1,0)∪(0,1],關于原點對稱,∴f(x)=1-易得f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數,∴該結論錯誤.故選AD.5.解析(1)令x=y=0,得f(0)=[f(0)]2-2f(0)+2,則f(0)=1或f(0)=2.令x=y=1,得f(1)=[f(1)]2-2f(1)+2,則f(1)=1或f(1)=2.因為f(0)<f(1),所以f(0)=1,f(1)=2.令x=y=-1,得f(1)=[f(-1)]2-2f(-1)+2,即[f(-1)]2=2f(-1),因為f(x)>0,所以f(-1)>0,所以f(-1)=2.(2)f(x)為偶函數.證明:令y=-1,得f(-x)=f(-1)f(x)-f(x)-f(-1)+2,即f(-x)=2f(x)-f(x)-2+2,即f(-x)=f(x),又f(x)的定義域為R,關于原點對稱,所以f(x)為偶函數.6.B選項A中的圖象既不關于原點對稱,又不關于y軸對稱,故其表示的函數不具有奇偶性;選項C、D中的圖象表示的函數的定義域不關于原點對稱,不具有奇偶性;選項B中的圖象關于y軸對稱,其表示的函數是偶函數.故選B.7.C令f(x)=2xx4又f(-x)=2(-x)當x=1時,f(1)=21+1=1,故排除D.故選C8.D由題意知y=f(x-2)+1的圖象關于(0,0)中心對稱,將y=f(x-2)+1的圖象向下平移1個單位,得y=f(x-2)的圖象,其關于(0,-1)中心對稱,再向左平移2個單位,得y=f(x)的圖象,其關于(-2,-1)中心對稱,所以f(-2)=-1.9.答案(-3,0)∪(0,3)解析利用偶函數的性質并結合已知條件,畫出函數f(x)在其定義域上的大致圖象,如圖:由圖象可得不等式f(x)<0的解集為(-3,0)∪(0,3).10.答案(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)解析由f(x由f即-2<x<-1或0<x<1.由f即2<x<3,故滿足條件的x的取值范圍是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).11.答案[2,2+22]解析當x>0時,-x<0,則f(-x)=-4x+x2,因為f(x)是R上的奇函數,所以f(x)=-f(-x)=4x-x2,當x=0時,有f(0)=0,故f(x)的圖象如圖所示:當-4≤x≤0時,-4≤f(x)≤0,當x>0時,f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4,f(x)max=f(2)=4,令f(x)=4x-x2=-4,解得x=2+22(負值舍去).若函數f(x)在區間[-4,t]上的值域為[-4,4],則2≤t≤2+22.12.A因為f(x)是R上的奇函數,所以f(0)=0,因為f(2)+f(0)=1,所以2-a2+0=1,故a=2,即當x>0時,f(x)=x-2x,所以f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1,故選13.C當x>0時,-x<0,則f(-x)=-x2-bx,因為f(x)為奇函數,所以f(x)=-f(-x)=x2+bx,故ax2-2x=x2+bx,解得a=1,b=-2,經檢驗,當a=1,b=-2時,f(x)為奇函數,故f(a+b)=f(-1)=1.14.ABC當x>0時,-x<0,則f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x,因為f(x)是偶函數,所以f(x)=f(-x)=-x2+2x,所以f(x)=-x畫出f(x)的圖象如圖所示:由圖可得,f(x)的最大值為1,f(x)在區間(1,+∞)上單調遞減,f(x)≥0的解集為[-2,2],故A、B、C正確.故選ABC.15.答案1解析∵f(x)是定義在[1-3a,a]上的偶函數,∴1-3a+a=0,解得a=12,又f(-x)=f(x),∴x4-bx3+ax2+2=x4+bx3+ax2+2,即-bx3=bx3,解得b=0,所以a+b=1方法總結利用奇偶性求參數的常見類型及策略(1)定義域含參數:若奇(偶)函數f(x)的定義域為[a,b],則根據定義域關于原點對稱,得a+b=0,進而求解參數.(2)解析式含參數:根據f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式求解.16.B因為f(x)=f(2-x),所以函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以區間[0,1]與區間[1,2],區間[-2,-1]與區間[3,4]關于直線x=1對稱,由函數f(x)在區間[1,2]上單調遞減,可知函數f(x)在[0,1]上單調遞增,又函數f(x)是偶函數,所以函數f(x)在[-2,-1]上單調遞增,所以函數f(x)在[3,4]上單調遞減.17.D因為f(x)是定義在R上的偶函數,且在(-∞,0]上單調遞減,所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增,f(x+1)>f(2x)即f(|x+1|)>f(|2x|),則|x+1|>|2x|,故(x+1)2>(2x)2,解得-1318.C因為f(x-1)的圖象關于(1,0)中心對稱,所以f(x)的圖象關于(0,0)中心對稱,故f(x)是奇函數,即f(-x)=-f(x),因為f(x+2)是偶函數,所以f(x+2)=f(-x+2),則f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(27)=f(3)=f(1),f(13)=f(5)=f(-1),因為f(x)在[0,2]上是增函數且f(x)是奇函數,所以f(x)在[-2,2]上是增函數,所以f(-1)<f(1)<f(2),即f(13)<f(27)<f(2).19.答案9解析當x>0時,-x<0,則f(-x)=x2-3x+2,又f(x)是奇函數,所以當x>0時,f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2.所以當x∈1,32時,f(x)是增函數;當x∈32,3時,f(x)是減函數.因此當x∈[1,3]時,f(x)max=f3220.解析(1)f(x)是偶函數.證明如下:f1x故f(x)+f1x所以f(x)=1-易知f(x)的定義域為R,關于原點對稱,又f(-x)=1-(2)f(x)=1-易得f(x)在[0,+∞)上單調遞減,又因為f(x)是偶函數,所以f(x)在(-∞,0]上單調遞增.由題意及f(x)+f12x-所以|x|>|2x-1|,且x≠12,解得13<x<1,且x≠所以原不等式的解集為13能力提升練1.A2.D3.D4.ACD5.C6.AD1.Af(x)=x2x2-2的定義域為{x|x≠±1},關于原點對稱,且f(-x)=-x2.D由f(x)-g(x)=x3+x2+x,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2-x,因為f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,所以f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),則f(x)+g(x)=-x3+x2-x,令x=1,得f(1)+g(1)=-1+1-1=-1,故選D.3.D因為f(x)為R上的奇函數,g(x)為R上的偶函數,且g(x)≠0,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],故f(x)+g(x)不是奇函數,A錯誤;同理可得,f(x)-g(x)不是奇函數,B錯誤;設F(x)=f(x)g(x),則F(x)的定義域為R,關于原點對稱,F(-x)=f(-x4.ACD對于A,令x=y=0,得f(0)=0;令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).又f(x)的定義域為R,關于原點對稱,所以f(x)是奇函數,故A正確.對于B,令x=y=0,得f(0)=0;令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x).又f(x)的定義域為R,關于原點對稱,所以f(x)是奇函數,故B錯誤.對于C,由A中分析得f(-1)=0,令x=-13,y=3,得f(-1)=3f-13?13f(3)=0,又f(3)=13對于D,由B中分析得f(0)=0,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1);令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=13,所以f(1)=1令x=13,y=1令x=23,y=13,得f(1)=f令x=13,y=?13,得f(0)=f13+f-5.C因為f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上