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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,中,點D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得2.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.4.設(shè),均為非零的平面向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實數(shù),“”是“”的充分不必要條件6.若復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.7.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題8.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.9.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.10.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度11.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績,并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.160012.已知定義在上的函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),不等式對于恒成立,則的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,,則______.14.已知為偶函數(shù),當(dāng)時,,則__________.15.拋物線的焦點坐標(biāo)為______.16.在直角坐標(biāo)系中,已知點和點,若點在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,,,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.(3)在線段DF上是否存在點P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長,若不存在,請說明理由.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,且過點.求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點為橢圓的上頂點,原點為的垂心,求線段的長;②若原點為的重心,求原點到直線距離的最小值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若點是圓上一動點,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,求直線斜率的取值范圍.20.(12分)百年大計,教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計有如下表格.(其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù),表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))年份(屆)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人,預(yù)測2019年高考該??既嗣5娜藬?shù);(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳,在選取的5個人中再選取2人進(jìn)行演講,求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式:,參考數(shù)據(jù):,,,21.(12分)據(jù)《人民網(wǎng)》報道,美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)單位:公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個地區(qū)中,從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點作交于點,過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、D【解析】
因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、D【解析】
由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件,得到角的正弦值余弦值.4、B【解析】
根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因為,均為非零的平面向量,存在負(fù)數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當(dāng)向量,的夾角為鈍角時,滿足,但此時,不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.5、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.6、C【解析】
由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù),對應(yīng)的兩點間的距離,由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,所以,其中,故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義,由復(fù)數(shù)的幾何意義,將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的距離求值即可,屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】選項A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項C,由題意知對,都有,故C不正確.選項D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.8、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.9、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.10、A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象.故選A.考點:函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法:11、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績在內(nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內(nèi)的頻率,所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù),由此可將不等式化為;利用分離變量法可得,求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù),即對于恒成立在上恒成立,即的取值范圍為:本題正確選項:【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題,涉及到恒成立問題的求解;解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,從而利用分離變量法來處理恒成立問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對數(shù)函數(shù)的運算,考查運算求解能力15、【解析】
變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點坐標(biāo)為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標(biāo),屬于簡單題.16、【解析】
點在的平分線可知與向量共線,利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)見解析(II)(III)【解析】試題分析:(Ⅰ)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,且,據(jù)此有,則平面.(Ⅱ)由題意可得平面的法向量,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,則,而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有或.據(jù)此計算可得.試題解析:(Ⅰ)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,∴,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),又,∴,∴,又∵平面,∴平面.(Ⅱ)∵,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),∴,∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,∴,∴,又∵平面的法向量,∴,∴,∴或.當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴.綜上,.18、;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點為的垂心可得,軸,設(shè),則,,根據(jù)求出線段的長;②設(shè)中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,設(shè):,,,則,當(dāng)斜率不存在時,則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設(shè)焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設(shè),則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設(shè)中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,當(dāng)斜率不存在時,則到直線的距離為1;設(shè):,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設(shè)到直線的距離為,則時,;綜上,原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的知識點,結(jié)合運用向量,韋達(dá)定理和點到直線的距離的知識,屬于難題.19、(1);(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)題意可得點的軌跡方程滿足的等式,化簡即可求得動點的軌跡的方程;(2)設(shè)出切線的斜率分別為,切點,,點,則可得過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立拋物線方程并化簡,由相切時可得兩條切線斜率關(guān)系;由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù),并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出,可求得,結(jié)合點滿足的方程可得的取值范圍,即可求得的范圍.【詳解】(1)設(shè)點,∵點到直線的距離等于,∴,化簡得,∴動點的軌跡的方程為.(2)由題意可知,的斜率都存在,分別設(shè)為,切點,,設(shè)點,過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立,化簡可得,∴,即,∴,.由,求得導(dǎo)函數(shù),∴,,,∴,因為點滿足,由圓的性質(zhì)可得,∴,即直線斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求法,直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用,點和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.20、(1);(2)117人;(3)分布列見解析,【解析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得關(guān)于的線性回歸方程;(2)根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算可得人數(shù);(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計算公式,計算出的分布列,并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題,所以線性回歸方程為(若第一問求出.)(2)當(dāng)時,所以預(yù)測2019年高考該??既朊5娜藬?shù)約為117人(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0,1,2,,的分布列為012【點睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計算,考查回歸直線方程的計算,考查期望的計算,考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.21、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海?。唬?);(3)分布列見詳解,數(shù)學(xué)期望為【解析】
(1)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值,可得結(jié)果.(2)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值,得出比值超過的地區(qū)個數(shù),然后可得結(jié)果.(3)計算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù),退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為,列出
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