2025屆山東省萊陽市一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．2．某實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有職工150人，其中高級(jí)職稱的職工15人，中級(jí)職稱的職工45人，一般職員90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的高級(jí)職稱、中級(jí)職稱、一般職員的人數(shù)分別為A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、163．在中，已知，，則為（）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形4．設(shè)，為兩個(gè)平面，則能斷定∥的條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面5．已知函數(shù)，其函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）A． B． C． D．6．如圖，在長方體中，M，N分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，若∠CMN=90°，則異面直線AD1和DM所成角為（）A．30° B．45°C．60° D．90°7．祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜淼?祖暅原理的內(nèi)容是：“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果夾在兩平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知，兩個(gè)平行平面間有三個(gè)幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都是h），其中：三棱錐的體積為V，四棱錐的底面是邊長為a的正方形，圓錐的底面半徑為r，現(xiàn)用平行于這兩個(gè)平面的平面去截三個(gè)幾何體，如果得到的三個(gè)截面面積總相等，那么，下面關(guān)系式正確的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，8．若關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)總有4個(gè)解，則可以是（）A． B． C． D．9．設(shè)集合,則（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)的圖象為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，且，則的周長的取值范圍是________.12．如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，.的值為___________.13．等比數(shù)列中，，則公比____________.14．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為________.15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為______________.16．已知向量，則與的夾角是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某市電視臺(tái)為了宣傳舉辦問答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市15～65歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示．組號(hào)

分組

回答正確

的人數(shù)

回答正確的人數(shù)

占本組的概率

第1組

5

0.5

第2組

0.9

第3組

27

第4組

0.36

第5組

3

(Ⅰ)分別求出的值；(Ⅱ)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2,3,4組每組應(yīng)各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．18．某超市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售量，對(duì)其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費(fèi)者在端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：g）進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這1000名消費(fèi)者的棕子購買量在600g～1400g的人數(shù)；（Ⅲ）求這1000名消費(fèi)者的人均粽子購買量（頻率分布直方圖中同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．19．設(shè)常數(shù)函數(shù)(1)若求函數(shù)的反函數(shù)(2)根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求.21．已知函數(shù)f(x)＝.(1)若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)x∈(m>0，n>0)時(shí)，函數(shù)g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域?yàn)閇2－3m，2－3n]，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解析】試題分析：高級(jí)職稱應(yīng)抽取；中級(jí)職稱應(yīng)抽取；一般職員應(yīng)抽取．考點(diǎn)：分層抽樣點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分層抽樣的定義與步驟．分層抽樣：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成的，可將總體按差異分成幾個(gè)部分（層），再按各部分在總體中所占比例進(jìn)行抽樣．3、A【解析】

已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及內(nèi)角和定理表示，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，得到A＝B，第二個(gè)等式左邊前兩個(gè)因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將A+B＝C，A﹣B＝0代入計(jì)算求出cosC的值為0，進(jìn)而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．【詳解】將已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化簡得：2sinAcosB＝sinC，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，∵A與B都為△ABC的內(nèi)角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二個(gè)等式變形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），∴C＝90°，則△ABC為等腰直角三角形．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．4、C【解析】

對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)，相交于直線時(shí)，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，即A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，相交于直線時(shí)，存在直線滿足：既與平行又不在兩平面內(nèi)，該直線平行于，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)直線AB垂直于，平面，垂足分別為A,B，假設(shè)與不平行，設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為C，則三角形ABC中，，顯然不可能成立，即假設(shè)不成立，故與平行，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，垂直于同一平面，與可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判斷，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)對(duì)稱中心，結(jié)合的范圍可求得，從而得到函數(shù)解析式；將所給區(qū)間代入求得的范圍，與的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行對(duì)應(yīng)可得到結(jié)果.【詳解】為函數(shù)的對(duì)稱中心，解得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，涉及到利用正切函數(shù)的對(duì)稱中心求解函數(shù)解析式；關(guān)鍵是能夠采用整體對(duì)應(yīng)的方式，將正切型函數(shù)與正切函數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，從而求得結(jié)果.6、D【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè),則,,,因?yàn)?所以,即有.因?yàn)?所以,即異面直線和所成角為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的求解，異面直線所成角主要利用幾何法和向量法，幾何法側(cè)重于把異面直線所成角平移到同一個(gè)三角形內(nèi)，結(jié)合三角形知識(shí)求解；向量法側(cè)重于構(gòu)建坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求解.7、D【解析】

由祖暅原理可知：三個(gè)幾何體的體積相等，根據(jù)椎體體積公式即可求解.【詳解】由祖暅原理可知：三個(gè)幾何體的體積相等，則，解得，由，解得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了椎體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對(duì)應(yīng)方程在時(shí)解的個(gè)數(shù)．【詳解】對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)恒有4個(gè)解，符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對(duì)綜合能力的要求較高．9、B【解析】試題分析：由已知得，，故，選B．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．10、B【解析】

利用函數(shù)的周期判斷A的正誤；通過x=函數(shù)是否取得最值判斷B的正誤；利用函數(shù)的圖象的平移判斷C的正誤,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷D的正誤．【詳解】對(duì)于A，f（x）的最小正周期為π,判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x=，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=1，∴選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，把的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)sin[2（x+）]=sin(2x+，∴選項(xiàng)C不正確．對(duì)于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒為增函數(shù)，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象變換，屬于基本知識(shí)的考查．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過觀察的面積的式子很容易和余弦定理聯(lián)系起來，所以，求出，所以.再由正弦定理即可將的范圍通過輔助角公式化簡利用三角函數(shù)求出范圍即可．【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以.由余弦定理可得，則，即，所以.由正弦定理可得，所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，則，即.故的周長的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范圍的題目轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)值域即可，易錯(cuò)點(diǎn)注意轉(zhuǎn)化后角的范圍區(qū)間，屬于中檔題目．12、【解析】

在和在中,根據(jù)正弦定理,分別表示出.由可得等式,代入已知條件化簡即可得解.【詳解】在中,由正弦定理可得,則在中,由正弦定理可得,則點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則所以因?yàn)?,由誘導(dǎo)公式可知代入上述兩式可得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)題意得到：，解方程即可.【詳解】由題知：，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.14、【解析】

根據(jù)條件先求出平移后的函數(shù)表達(dá)式為，令即可得解.【詳解】由題意可得平移后的函數(shù)表達(dá)式為，圖象正好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a9+a11＝3a9，而S17＝17a9，故本題可解．【詳解】∵a1+a17＝2a9，∴S1717a9＝170，∴a9＝10，∴a7+a9+a11＝3a9＝1；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【詳解】由題知，，因?yàn)椋耘c的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)第2組抽人；第3組抽3人；第4組抽1人；（III）.【解析】

(Ⅰ)由頻率表中第1組數(shù)據(jù)可知,第1組總?cè)藬?shù)為,再結(jié)合頻率分布直方圖可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,(Ⅱ)第2,3,4組中回答正確的共有54人．∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為:第2組:人,第3組:人,第4組:人．(Ⅲ)設(shè)第2組的2人為、,第3組的3人為、、,第4組的1人為,則從6人中抽2人所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件,其中第2組至少有1人被抽中的有，，，，，，，，這9個(gè)基本事件．∴第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為本題考查分層抽樣方法、統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)與等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件數(shù)的準(zhǔn)確性．18、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子購買量在的頻率，由此能求出這1000名消費(fèi)者的粽子購買量在的人數(shù)；（Ⅲ）由頻率分布直方圖能求出1000名消費(fèi)者的人均購買粽子購買量【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子購買量在600g～1400g的頻率為：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴這1000名消費(fèi)者的棕子購買量在600g～1400g的人數(shù)為：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由頻率分布直方圖得這1000名消費(fèi)者的人均粽子購買量為：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率、頻數(shù)、以及頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）時(shí)，是偶函數(shù)；時(shí)，是奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，理由見解析【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的定義，即可求出；

（2）利用分類討論的思想，若為偶函數(shù)，求出的值，若為奇函數(shù)，求出的值，問題得以解決．【詳解】解：（1）∵，

∴

，

，