2025屆湖南省衡陽八中、澧縣一中高一下數學期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．連續拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，若前4次出現正面朝上，則第5次出現正面朝上的概率是（）A． B． C． D．2．橢圓以軸和軸為對稱軸，經過點(2，0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的方程為（）A． B．C．或 D．或3．在中，角、、所對的邊分別為、、，如果，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形4．已知，則（）A． B． C． D．5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是對角線AC上一點，，過點P的直線分別交DA的延長線，AB，DC于點M，E，N.若(m>0，n>0)，則2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．6．已知是等差數列的前項和，.若對恒成立，則正整數構成的集合是（）A． B． C． D．7．對數列，若區間滿足下列條件：①；②，則稱為區間套．下列選項中，可以構成區間套的數列是（）A．；B．C．D．8．已知，復數，若的虛部為1，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-19．中,，則（）A．5 B．6 C． D．810．將所有的正奇數按以下規律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個數，例如，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則__________.（結果用反三角函數表示）12．已知，，若，則實數_______.13．方程組的增廣矩陣是________.14．當實數a變化時，點到直線的距離的最大值為_______.15．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為______．16．函數單調遞減區間是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，經過村莊有兩條夾角為的公路，根據規劃要在兩條公路之間的區域內修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關系式表示出來；（2）如何設計（即為多長時），使得工廠產生的噪聲對居民影響最小（即工廠與村莊的距離最大）？18．已知，，且與的夾角為.（1）求在上的投影；（2）求.19．半期考試后，班長小王統計了50名同學的數學成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖，估計這50名同學的數學平均成績；用分層抽樣的方法從成績低于115的同學中抽取6名，再在抽取的這6名同學中任選2名，求這兩名同學數學成績均在中的概率．20．在中，角所對的邊分別為．且．（1）求的值；（2）若，求的面積．21．已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。（1）求圓的方程；（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

拋擲一枚質地均勻的硬幣有兩種情況，正面朝上和反面朝上的概率都是，與拋擲次數無關.【詳解】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣，有正面朝上和反面朝上兩種可能，概率均為，與拋擲次數無關.故選：D.【點睛】本題考查了概率的求法，考查了等可能事件及等可能事件的概率知識，屬基礎題.2、C【解析】

由于橢圓長軸長是短軸長的2倍，即，又橢圓經過點(2，0)，分類討論，即可求解.【詳解】由于橢圓長軸長是短軸長的2倍，即，又橢圓經過點(2，0)，則若焦點在x軸上，則，，橢圓方程為；若焦點在y軸上，則，，橢圓方程為，故選C．【點睛】本題主要考查了橢圓的方程的求解，其中解答中熟記橢圓的標準方程的形式，合理分類討論是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

結合正弦定理和三角恒等變換及三角函數的誘導公式化簡即可求得結果【詳解】利用正弦定理得，化簡得，即，則或，解得或故的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：C【點睛】本題考查根據正弦定理和三角恒等變化，三角函數的誘導公式化簡求值，屬于中檔題4、A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，進而利用同角三角基本關系，使其除以，轉化成正切，然后把的值代入即可．詳解：由題意得.∵∴故選A.點睛：本題主要考查了同角三角函數的基本關系和二倍角的余弦函數的公式．解題的關鍵是利用同角三角函數中的平方關系，完成了弦切的互化．5、C【解析】設，則又當且僅當時取等號，故選點睛：在利用基本不等式求最值的時候，要特別注意“拆，拼，湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數），“定”（不等式的另一邊必須為定值），“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤．6、A【解析】

先分析出，即得k的值.【詳解】因為因為所以.所以,所以正整數構成的集合是.故選A【點睛】本題主要考查等差數列前n項和的最小值的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】由題意，得為遞增數列，為遞減數列，且當時，；而與與均為遞減數列，所以排除A,B,D，故選C.考點：新定義題目.8、B【解析】，所以，。故選B。9、D【解析】

根據余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數據，化解為解得或（舍）故選D.【點睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎題型.10、C【解析】

由等差數列求和公式及進行簡單的合情推理可得：2019為第1010個正奇數，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數，則2019為第32組的第1010-961=49個數，得解．【詳解】由已知有第n組有2n-1個連續的奇數，則前n組共有個連續的奇數，又2019為第1010個正奇數，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數，則2019為第32組的第1010-961=49個數，即2019=（32，49），故選：C．【點睛】本題考查歸納推理，解題的關鍵是根據等差數列求和公式分析出規律，再結合數列的性質求解，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

由條件利用反三角函數的定義和性質即可求解.【詳解】，則，故答案為：【點睛】本題考查了反三角函數的定義和性質，屬于基礎題.12、【解析】

利用平面向量垂直的數量積關系可得，再利用數量積的坐標運算可得：，解方程即可.【詳解】因為，所以，整理得：，解得：【點睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標關系及方程思想，屬于基礎題．13、【解析】

理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫出增廣矩陣.【詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數以及常數項構成的矩陣，故方程組的增廣矩陣是.故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組與增廣矩陣的關系，需理解增廣矩陣的涵義，屬于基礎題.14、【解析】

由已知直線方程求得直線所過定點，再由兩點間的距離公式求解．【詳解】由直線，得，聯立，解得．直線恒過定點，到直線的最大距離．故答案為：．【點睛】本題考查點到直線距離最值的求法，考查直線的定點問題，是基礎題．15、【解析】

根據函數圖象以及不等式的等價關系即可．【詳解】解：不等式等價為或，

則，或，

故不等式的解集是．

故答案為：．【點睛】本題主要考查不等式的求解，根據不等式的等價性結合圖象之間的關系是解決本題的關鍵．16、【解析】

先求出函數的定義域，找出內外函數，根據同增異減即可求出.【詳解】由，解得或，所以函數的定義域為.令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，又為增函數，則根據同增異減得，函數單調遞減區間為.【點睛】復合函數法：復合函數的單調性規律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調性，則為增函數，若具有不同的單調性，則必為減函數．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據正弦定理，得到，進而可求出結果；（2）由余弦定理，得到，結合題中數據，得到，取最大值時，噪聲對居民影響最小，即可得出結果.【詳解】（1）因為，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由題意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當且僅當，即時，取得最大值，工廠產生的噪聲對居民影響最小，此時.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應用，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.18、(1)-2.(2).【解析】分析：(1)根據題中所給的條件，利用向量的數量積的定義式，求得，之后應用投影公式，在上的投影為，求得結果；(2)應用向量模的平方等于向量的平方，之后應用公式求得結果.詳解：（1）在上的投影為（2）因為，，且與的夾角為所以所以點睛：該題考查的是有關向量的投影以及向量模的計算問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有向量的數量積的定義式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，靈活運用公式求得結果.19、（1）（2）【解析】

⑴用頻率分布直方圖中的每一組數據的平均數乘以對應的概率并求和即可得出結果；⑵首先可通過分層抽樣確定6人中在分數段以及分數段中的人數，然后分別寫出所有的基本事件以及滿足題意中“兩名同學數學成績均在中”的基本事件，最后兩者相除，即可得出結果．【詳解】⑴由頻率分布表，估計這50名同學的數學平均成績為：；⑵由頻率分布直方圖可知分數低于115分的同學有人，則用分層抽樣抽取6人中，分數在有1人，用a表示，分數在中的有5人，用、、、、表示，則基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共15個，滿足條件的基本事件為、、、、、、、、、，共10個，所以這兩名同學分數均在中的概率為．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖以及古典概型的相關性質，解決本題的關鍵是對頻率分布直方圖的理解以及對古典概型概率的計算公式的使用，考查推理能力，是簡單題．20、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據三角形的面積公式求出答案．【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理等知識．在解三角形問題中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同角三角函數基本關系等問題，故應綜合把握．21、（1）（2）使的面積等于4的點有2個【解析】

（1）利用條件設圓的標準方程，由圓過點求t，確定圓方程.（2）設，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關系可得結論.【詳解】（1）依題意可設圓心坐標為，則半徑為，圓的方程可寫成，因為圓過點，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程