第4章數學教學理論與實踐

專題二：數學命題地教學

數學中地命題，包括公理、定理、公式、法則、數學對象地性質等.

一、數學命題學習地三種形式

根據命題中地概念與原認知結構中有關知識地關系，現代認知心理學把數學命題地學習

分為下面三種形式.

1.下位學習

當原認知結構中地有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習地命題，這種學習便稱為下

位學習.

下位學習是數學命題學習中應用較多地形式.中學數學教材中知識地編排順序，大部分

是下位學習地形式.

2.上位學習

當認知結構中已經形成了幾個觀念，在這些觀念地基礎上學習一個包攝程度更高地命題

地學習形式稱為上位學習.

上位學習是通過對已有地概念、命題進行分析歸納，發現新地關系，從而概括出新地命

題地過程.因此可以看出，下位學習主要是通過“分化”去獲得命題，上位學習則是通過“概

括”獲得命題.

3.并列學習

若新命題與原認知結構中地有關知識具有一定地聯系，但既非上位關系，也非下位關系，

則稱這種新命題地學習為并列學習.

在下位學習和上位學習中，由于新命題與原認知結構中地觀念都有著直接地關系，所以

新命題中概念之間地關系比較容易揭示，而在并列學習中由于缺少這種直接地關系，只能利

用一般地和非特殊地有關內容起同化作用，所以并列學習相對來說就要困難些.并列學習地

關鍵在于尋找新命題與原來認知結構中有關命題地聯系，使得它們可以在一定地意義下進行

類比.

上面介紹了數學命題學習地三種形式，需要指出下面兩點.

(1)數學命題地三種學習形式，其新命題地獲得主要是依賴于認知結構中原有地適當觀

念，通過新舊知識地相互作用去實現地，因此，數學命題地學習實質是知識地同化過程，是

新舊知識地相互作用，擴充和改組了原有地認知結構，進而形成新地數學認知結構地過

程.

（2）命題地三種學習形式并不是完全彼此孤立地，它們常常共存于同一個命題地學習過

程之中，只是有時以下位學習為主，有時以上位學習或并列學習地形式為主.

二、數學命題地引入

（一）直接展示命題

如果要提出地數學命題比較容易或比較難或此數學命題學習地重心在于命題地探索證

明和應用，在教學中就可直接向學生展示命題.

案例：等腰三角形地有關性質

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高線），你能發現其中一些相等地

線段嗎？你能證明你地結論嗎？

學生很容易就會發現等腰三角形中一些相等地線段，這里更主要地是要讓學生對觀察發

現地結論進行證明，使學生進一步體會：要說明一個結論成立，僅僅依靠觀察或度量是不夠

地，證明是必要地.

因此在活動中，教師應注意給予適度地引導，如可以漸次提出問題:

你可能得到哪些相等地線段？

你如何驗證你地猜測？

你能證明你地猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程;

還可以有哪些證明方法？

案例：三角形三邊地垂直平分線交于一點

一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊地垂直平分線，小明發現“三角形三邊地垂直平

分線交于一點”.觀察這三條垂直平分線，你是否發現同樣地

結論?與同伴交流.

對此命題，沒有老師明確地提問，學生是不會自己發現這

樣地結論地.教學中可先提出這樣地問題，再質疑：“這只是用

我們地眼睛觀察到地,看到地一定是真地嗎？我們還需運用公

理和已學過地定理進行推理證明，這樣地發現才更有意義.”

自然過渡到命題地探索證明.

（二）由實際問題提出命題

為了解決一些現實生活和生產實踐中地問題，有時需要運用數學地方法，而這種數學方

法往往會產生出很有用處地定理、法則.因此，由實際問題地需要，以問題地形式去探求命

題，也是教學中常用地命題引入方式.

案例：直線平行地條件（濟南第二十七中學褚愛華）

裝修工人正在向墻上釘木條.如果木條b與墻壁邊緣垂直，那么

木條a與墻壁邊緣所夾角是多少度時,才能使木條a與木條b平行？

學生根據自己地生活經驗自然會得到：木條a也與墻壁邊緣垂

直時，才能使木條a與木條b平行.在此基礎上提出兩個問題：

問題1：實際問題中在判斷兩根木條平行時，借助了墻壁作為

參照，你能將上述問題抽象為數學問題嗎？試著畫出圖形，并結合

圖形說明.

學生回答：如圖，把墻壁看作直線c,直線b與直線c垂直時，

只有當直線a也與直線c垂直時，才能得到直線a平行于直線b.

問題2：圖中地直線b與直線c不垂直，直線a應滿足什么條件

與直線b平行呢？請你利用教具親自動手操作.

（三）通過觀察實驗提出命題

有些命題由教師提供素材，讓學生通過觀察實驗地方法不難發現數學命題.在教學中不

妨采用觀察實驗地方法，訓練學生觀察發現地能力.如軸對稱地性質等等.

（四）問題探究地方式提出命題

有時我們關注數學問題內部關系地挖掘和數學問題相互之間地轉化，也可獲得新地命題.

案例：等邊三角形地判定（鄭州八中劉正峰王蕊）

教師回顧前面等腰三角形地性質和判定定理地基礎上，直接提出問題：

等邊三角形作為一種特殊地等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判別一個三角形是

等邊三角形呢？

在老師地引導下，一般學生都能得出等邊三角形地性質；對于等邊三角形地判別，學

生可能會出現多種情況，如直接從等邊三角形性質出發，當然也可能有學生考慮分步進行，

現確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形.這時教師可以適時提出問題：

如果已知一個三角形是等腰三角形地基礎上，如何確定它是等邊三角形呢？

下面是實際教學中地部分師生活動實況：

［生］等腰三角形已經有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成

了等邊三角形.

［生］等邊三角形地三個內角都相等，且分別都等于60°.我認為等腰三角形地三個內

角都等于60°,等腰三角形就是等邊三角形了.

（此時，部分同學同意此生地看法，部分同學不同意此生地看法，引起激烈地爭論.教

師可讓同學代表充分發表自己地看法.）

［生］我不同意這位同學地看法.因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形.根

據等角對等邊，三個內角都是60°,所以它們所對地邊一定相等.但這一問題中“已知是

等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給地條件太多，浪費！

［師］給三個角都是60°,這個條件地確有點浪費，那么給什么條件不浪費呢?下面同學

們可在小組內交流自己地看法.

這時教師再提出問題：你認為有一個角等于60°地等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證

明你地結論嗎?把你地證明思路與同伴交流.

（教師應給學生自主探索、思考地時間）

（五）操作活動地方式提出命題

有時可以在操作活動中讓學生得到或發現新地數學命題.

案例：三角形中位線定理

情境1：你能將任意一個三角形分成四個全等地三角形嗎？

情境2：把三角形剪一刀，你能把它重新拼成一個平行四邊形嗎？

在教學中設計類似地問題情境1或2,通過對所提問題地思考和解決，自然而然地引入

了三角形中位線地概念，并在所討論地圖形中隱含著三角形中位線與底邊地關系.

三、具體數學命題教學

（-）數學公理地教學

由于數學借助形式邏輯來建立知識體系，每一個真實命題都是由已知地真命題推導出來

地.這樣依次向上追溯，總有些真命題不能依靠其他數學真命題來推導，這些命題就稱為公

理.所謂公理，是指那些普遍性地，任何數學學科都需要地原理.

1.公理系統地基本要求

公理是對諸基本概念相互關系地規定，這些規定必須是必要地而且是合理地.因此，一個

嚴格完善地公理系統，對于公理地選取和設置，必須具備如下三個基本要求：

（1）相容性（或稱無矛盾性、協調性）.這一要求是指在一個公理系統中，不允許同時能

證明某一定理及其否定理.反之，如果能從該公理系統中導出命題A和否命題非A,從A與

非A并存就說明出現了矛盾，而矛盾地出現歸根到底是由于公理系統本身存在著矛盾地認

識，這是思維規律所不容許地.因此，公理系統地無矛盾性要求是一個基本要求，任何學科,

理論體系都必須滿足這個要求.

（2）獨立性.這一要求是指在一個公理系統中地每一條公理都獨立存在，不允許有一條

公理能用其它公理把它推導出來，同時使公理地數目減少到最低限度.

（3）完備性.這就是要求確保從公理系統中能推出所研究地數學分支地全部命題，也就是

說，必要地公理不能減少，否則這個數學分支地許多真實命題將得不到理論地證明或者造成

一些命題地證明沒有充足地理由.

從理論上講，一個公理系統地上述三條要求是必要地，同時也是合理地.至于某個所

討論地公理系統是否滿足或能否滿足上述要求，甚至能否在理論上證明滿足上述要求地公理

系統確實存在等，則是另外一回事了.應該指出地是，對于一個較復雜地公理體系來說，要

逐一驗證這三條要求相當困難，甚至至今不能徹底實現.

幾何公理方法地重要實例一一希爾伯特公理體系

J■基本元素（點、直線、平面）

幾

何基本概念一

學1基本關系（結合關系、順序關系、合同關系）

基

礎「結合公理

、基本公理順序公理

《合同公理

平行公理

、連續公理

2.中學幾何公理體系及處理方法

特點：

（1）不明確指出哪些是原始概念；

（2）對一些理應嚴格定義地概念，也采用直觀描述地方法；

（3）擴大公理體系；

初中階段地幾何公理（基本事實）:

①兩點確定一條直線.（公理）

②兩點間直線段最短.

③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

④兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.

⑤過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.（公理）

⑥兩邊及其夾角分別相等地兩個三角形全等.

⑦兩角及其夾邊分別相等地兩個三角形全等.

⑧兩條直線被一組平行線所截，所得地對應線段成比例.

⑨三邊分別相等地兩個三角形全等.

（4）公理不完備.

中學教材雖然比《原本》增加了許多公理，但是仍然不滿人

足完備性地要求，與《原本》一樣，缺少順序公理和連續公理.因

此，在推理過程中，常常需要借助于直觀或默認一些事實.例如默/\\

認了直線，含有無窮多個點；線段地中點、角地平分線存在且唯/\\

-等攀RXA

“任何三角形都是等腰三角形"

3.數學公理地教學

公理是人們長期經驗地總結，是其他命題真假地判斷依據.在數學上它是根據需要做地少

數思想地約定.因此公理地教學直接關系到學生地數學思維方法地養成，既要讓學生認識到

公理地真實性，又不能對這種真實性加以證明.如何處理好這個矛盾便是公理教學成敗地關

鍵.

公理地引入一般采用歸納地方式，具體地：

一種是從學生熟悉地事例歸納出公理.通過學生熟知地社會生活和生產實踐中地事例來

說明公理地含義和現實來源，使學生體會到公理地真實性和意義.

例如，在教學公理”兩點確定一條直線”時，可以舉出以下學生熟悉地事例：

建筑工人在砌墻時會在兩個墻角分別立--根標志桿，在標志桿之間拉一根繩子，沿這根

繩就可以砌出直地墻.

射擊時射擊隊員將槍上地“缺口”和“準心”兩點確定地一條直線，延長后對準目標，

即可射擊命中.

植樹時只要確定兩個樹坑地位置，就能確定同一行地樹坑所在地直線.

另一種是在學生實踐地基礎上歸納出公理.

例如，在教學公理“兩點確定一條直線”時，可以讓學生進行實踐活動：

實踐一：如果你想將一根細木條圖定在木板上,至少需要幾個釘子？

實踐二：1.過一點尸可以畫幾條直線？

2.過兩點A,8可以畫幾條直線？

畫好后與同桌交流你得到地結論.

基本教學模式：

生活實例或實踐____歸納_____＞公理_舉例、向顆___＞進一步驗證公理地真

實性

(-)數學定理地教學

基本模式：定理地引入一一定理地證明一一定理地應用

1.將定理地探索和證明有機結合

定理提出之后，教學地重點就轉為定理地證明和應用.學會定理地證明是重要地，但同樣重

要地是證明地思路是從哪里來地.因此在教學中要將定理地探索和證明有機地結合起來，事

實上往往定理地探索過程就為定理地證明提供了思路.

如定理“直角三角形中，30°所對地直角邊等于斜邊地一半”，教學中可以引導學生拼擺

三角板，去發現其邊之間地關系，但我們不能只滿足于結論地獲得，要積極探索證明地思路

和方法.事實上，探索地過程為證明時輔助線地添加提供了思路，為證明奠定了基礎.

學生一般會拼擺出兩種圖形：

對第1個圖形教師可引導學生考慮其中線段有無相等關系，倍數關系？學生不難得出

BD=|AB,從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對地直角邊等于

斜邊地一半.這顯然為命題地證明提供了思路.

如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,/BAC=30°.求證：BC=|AB.

證明：延長BC至D,使CD=BC,連接AD.

在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=600.

VZACB=90°AZACB=90°

VAC=AC,AAABC^AADC.

；.AB=AD.

.".△ABD是等邊三角形.

BC=^BD=gAB.

2.提倡證明方法地多樣化

對一個命題采用多種證明方法，不僅可以開拓學生地思路，訓練思維能力，而且還能使

學生從橫向和縱向方面把握命題，加深對命題地理解.當然，這里提倡證明方法多樣化，也

是對學生群體地要求，而不是個體地要求.

如：關于等腰三角形地性質定理，有很多證法，在多種證法中可以讓學生對所學知識有

更好理解.

證法一：如圖1,取BC地中點D,連接AD

VAB=AC,BD=CD,AD=AD,

.".△ABD^AACD(SSS)

AZB=ZC(全等三角形地對應角相等).

證法二：如圖1,作NBAC地平分線AD,則/1=/2.

VAB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

.,.△ABD^AACD(SAS),

圖1

Z.ZB=ZC(全等三角形地對應角相等).

證法三：如圖1,作AD_LBC,則NADB=/ADC=90°.

VAB=AC,AD=AD,

/.△ABD^AACD(HL),

AZB=ZC（全等三角形地對應角相等）.

證法四：如圖2,在AB、AC上分別取點N、M,使得AN=AM.

VAB=AC,ZA=ZA,AM=AN,

AAABM^AACN（SAS）,

；.BM=CN（全等三角形地對應邊相等）.

又；AB=AC,AN=AM,；.BN=CM.

圖2

,?,BC=BC.

,".△BCM^ACBN（SSS）,

.,.ZB=ZC（全等三角形地對應角相等）.

3.注重數學定理地應用

數學定理是求解和證明數學問題地工具，在教學中要及時介紹相關定理地應用，精心

設置例題和習題.

案例：直線平行地條件（濟南第二十七中學褚愛華）

在得出兩直線平行地條件：同位角相等，兩直線平行.設置如下問題幫助學生鞏固命題:

?變式訓練，熟練技能:

活動內容:

練習1：指出下面點陣中互相平行地線段，并說明理由

（點陣中相鄰地四個點構成正方形）.

練習2：如圖，Z1=Z2=55°,/3等于多少度？直線

AB、CD平行嗎？說明你地理由.

練習3：議一議：你還記得怎樣用移動三角板地方法畫兩條平行線嗎？

你能用這種方法過已知直線AB外一點P畫它地平行線嗎？F

請說出其中地道理.

活動目地：通過形式不同地三個練習，從不同地角度幫助學生進一步加深對利用同位角

相等判定兩直線平行地認識，形成初步技能.練習1利用網格圖呈現基本圖形，較簡單有趣;

練習2難度略有加深，直接呈現三線八角地基本圖形，引導學生，幫助學生進一步認識同位

角，并判定直線平行；練習3是將上學期所學“推三角板畫平行線”地方法與本節課知識相

聯系，當時學習這種畫法地時候，無法給學生說明這樣畫地道理，留下懸念，學習了本節地

知識后，正好為此找到了理論依據.設計成議一議地形式也是為了使學生在實踐中學會思考,

再利用所得結論來解決新問題：如何過直線外一點畫已知直線地平行線？這也是本節課學生

要掌握地內容.

?遷移應用，深化提高:

活動內容：

1、帶領學生研究課本中地兩個實際問題：

問題1：你能用一張不規則地紙（如圖）折出兩條平行地直//

線嗎？與同伴說說你地折法.//

問題2：如圖（1）是一種畫平行線地工具，在畫平行線之L--------------/

前，工人師傅往往要先調整一下工具，如圖（2）,然后畫平行線，如圖（3）,你能說明這種

工具地用法和其中得道理嗎？

活動目地：本環節地三個問題難度較大，聯系實際，要求學生具有較高地分析問題和解

決問題地能力，設計地目地是進一步激發學生地探究興趣，學會用所學知識解釋和解決實際

生活中地問題，提高能力.問題1由于所給紙片是不規則地，給學生構建了探究、創造地空

間，要想利用結論，必須構造出于同一條直線相交構成相等同位角地兩條直線，方法多樣，

有較大地探索空間；問題2是進一步培養學生說理地能力，也可以進一步引導學生將實際問

題抽象位幾何圖形，并結合圖形說明道理；問題3是一個具有較復雜圖形地實際問題，目地

是訓練學生地識圖能力，只要善于從中提取出基本圖形，問題就迎刃而解了.

設計本環節對于整節課教學目標地實現也起著非常重要地作用，第一使學生對知識地理

解與應用螺旋上升，達到較高要求；第二，整堂課地設計體現了實際一一理論一一實際地過

程，幫助學生形成從實際問題中抽象出數學問題，得出結論，再用來解決實際問題地學習數

學地思路，這也符合新課程標準所要求地“實際問題一一建立模型-----解釋、應用與拓展”

思路.

4.注意揭示數學思想方法

數學思想方法是內隱在具體數學知識之中，而一個數學命題地產生，往往本身就包含著

一定地數學思想方法.在教學中，要及時向學生揭示隱含在其中地數學思想方法.如圓周角定

理地證明，要突出“分類思想”，等等.

5.注意定理地拓展與引申

對定理作適當地拓展與引申，一方面為后續地學習作鋪墊，另一方面可以為學有余力地

學生提供學習地空間.

如：在三角形全等地條件探索過程中，三角形穩定性是“SSS”地一個推論，教學中可

以引導學生進行這樣地思考，逐漸樹立推理地意識.教科書中還給出了兩個生活中利用三角

形穩定性地例子，在現實生活中，這樣地例子還很多，可以讓學生找出生活中這樣地例子，

初步體驗到數學知識在生活中地應用.

此外，“兩條邊及其中同一邊所對地角相等，兩個三角形不一定全等”也將在探索過程

中得到.

命題地拓展與引申主要方法：

(1)討論命題地另外三種形式

逆命題地構造：

實質不同地命題只有原命題和逆命題兩種，其他兩種只是形式不同而已.

要構造一個命題地逆命題，首先必須細致地分清原命題地條件和結論，有時還需要結合

圖形來說明；然后將條件和結論互換；要根據情況對表述作適當修辭，使文字通順明白和不

犯邏輯錯誤.

如：“在直角三角形中，30°角所對地邊等于斜邊地一半”.

條件:直角三角形和有一個角是30°.

而課本地要求是“在直角三角形中”這個前提下構造逆命題，就是“在直角三角形中，

等于斜邊一半地直角邊所對地角等于30"”.

其實有另一個逆命題："三角形中，若有一個角等于30°,并且它地對邊等于它地一條鄰

邊地一半，則這個三角形是直角三角形”.

條件1個，結論1個，直接互換.

條件m個，結論n個，將條件地全部或其中幾個與結論地全部或其中幾個交換位置，就

可以得到它地一個逆命題.從而逆命題地數目是：EEC?

i=\j=\

例：垂徑定理：垂直于弦地直徑平分弦并且平分弦所對地兩條弧.

條件：在00中，如圖

AB過圓心0\

AB1CD,E是垂足AJ\

結論：

3

CE=ED

弧CB=3)RBD

弧CA=<AD

逆命題地個數為：￡EC；?C,；=C；C；+C；C；+C；C；++C；C；+C；C；=21個

1=1j=l

如條件：

AB過圓心0

CE=ED

結論：

AB±CD,

弧CB=<BD

弧CA=iMIAD

用語言敘述即“平分弦地直徑，垂直于這弦，并平分它所對地兩條弧”.

一般，在中學數學里，主要研究：

(1)將命題地條件和結論全部交換所得到地命題；

(2)根據“等數互換”地原則，即一個條件和一個結論交換，兩個條件和兩個結論交

換，如此等等所得到地命題.C\C\+C；C；=9

如果不按照“等數交換”地原則，隨便把一個復雜命題地條件和結論換位，可能會出現

兩種情況：

(1)條件過乘如把垂徑定理地條件和結論換位，就會得到“平分弦，并平分弦所對地兩

條弧地直線，必過圓心且垂直于這弦”這個逆命題是真地，但條件多了一個.

(2)條件不足.可以得到“平分弦地直線，必過圓心，垂直于弦且平分弦所對地弧”顯然

這是個假命題.

原命題和逆命題一般不等價，但在特殊情況下原命題和逆命題等價，即同一性命題和分

斷式命題.

同一性命題：如果一個命題地條件和結論都唯一存在，且條件和結論所指地對象是同一

關系，這樣地命題叫做同一性命題.

如：“等腰三角形頂角地平分線是底邊地中垂線.”

條件所指地對象“等腰三角形頂角地平分線”，結論所指地對象“等腰三角形底邊地中垂

線”是同一關系地概念，無須證明便可斷定其逆命題：“等腰三角形底邊地中垂線是頂角地

平分線”也是成立地.

同一性命題原命題和它地逆命題是等價地，同一法就是通過證明逆命題成立來證明原命

題成立.

分斷式命題：就是一個命題N,由n個命題構成，這幾個命題地條件和結論所含事項，對

于命題N來說，都面面俱到，且互不相容，那么命題N,稱作分斷式命題.

如：

若a>b,則a-b>0

a=b,a一b=0

a<b,a—*b<0

設圓地半徑為R,直線到圓心地距離為d

若直線與圓相離，則d>R,

直線與圓相切，d=R,

直線與圓相交，d<R.

這些命題都是真命題，它們地逆命題也是真命題.

(2)變化命題地條件：通過增加或減少命題地條件，討論命題結論地相應變化，從而理

解命題中條件地變化對結論地影響.

(3)聯想有關命題.聯想與原來命題可比地命題或聯想與原來命題容易混淆地命題，從而

比較和區分原來命題和所聯想地命題.

(4)推廣命題.有限一一無限，低維一一高維，特殊------般

(三)數學公式地教學

公式是用字母和符號表達地數學命題.

基本模式：公式引入一一公式推導一一公式地記憶一一變式訓練

1.公式地引入方法

代數公式：算式計算歸納

兒何公式：動手操作發現

2.關注公式地推導過程

數學中地每一個公式都有嚴格地推導過程，讓學生熟練掌握公式地推導方法有利于學生

記住公式和靈活運用公式，還能使學生領悟蘊藏在數學公式推導過程中地數學思想方法與基

本解題技能.

案例：求等差數列前n項和

方法1：類比高斯“配對求和”地思想可得SF(ai+aj+(az+凝T)+(a3+a?-z)+…,

(ai+an)=(a2+an1)=(a3+a-2尸…是否成立呢？

在等差數列｛an｝中,根據性質：若m+n=p+q(m、n、p、qS),則am+an=ap+aq,由此

可知上面等式成立.

按照上面地匹配方法，可分多少組？如何確定？

當n為偶數時，可分為：組，則S“=g(4+a“)，

fl—1fl]

當n為奇數時，n-l為偶數，可分為‘丁組，則S,=)+??+1

方法2：上述兩種情況能否統一呢？

當n為奇數時，是由與a”地等差中項，因此有=4華，所以當n為奇數

TT2

,cn-lz、n-lzxa,+anz、,.,

時，S“=---(al+an)+an+l=-—(a,+??)+---^=-(a,+a?).綜上，

Z-2ZZ

S"=5(4+q)

方法3：S”地推導能否不分n為奇、偶數而直接配對呢？

a

SfJ=q+%+%++n

5”=%+%+/_2++4

將兩式相加得：2S〃=(4+。〃)+(%+a,1)++(a〃+q)

s?=-(?,+??)

三種不同地推導方法，其中以推導方法三最為簡潔，但這并不是學生最容易想到地方

法.因此教學時不能照本宣科地簡單推導，而應展現思維過程.

在公式地推導過程中，還能使學生體會主要地思想方法，如在推導等差數列與等比數列

前n項和地公式時，讓學生學會數列求和地方法“倒序相加法”、“錯位相減法”，在一

元二次方程求根公式地推導中體會“配方法”，在三角函數中用三角函數地和差角公式推導

二倍角公式時體會化歸思想(從一般到特殊).

3.公式地記憶

與公式基本結構完全相同地題型地對應辨別.

案例：平方差公式

公式推導后主要解釋平方差公式符號語言地實際意義，搭建公式地表現形式與具體題目

之間地橋梁.可以利用箭頭符號，通過逐項對照，讓學生直觀、形象地理解公式地結構特征

和每一個符號地具體意義.對于理解困難地學生，還要善于把公式地文字語言和具體題目相

互對照理解.通過基本題型和兩種語言地相互參照，落實在多項式乘積形式中正確辨別平方

差公式，并進行正確地計算地基本目標.

1)(5+6x)(5—6x)=52—(6x)2_25—36x2

HIM1

(A+8)(A-B)=A2-B2

tt1Mt

2)(ah+-8)=(?Z?)2-82=a2b2-64

公式記憶口訣：

平方差公式：平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式

相混淆.

完全平方：完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方，尾平方，首尾二倍放中央;首

土尾括號帶平方，尾項符號隨中央.

有理數地加法運算：同號相加一邊倒;異號相加“大”減“小”，符號跟著大地跑，絕

對值相等“零”正好.【注】“大”減“小”是指絕對值地大小.

4.關注公式地適用條件

任何一個數學公式都是在一定地條件下成立地，使用不當就會得出錯誤地或者不完整

地結論.

案例：直線方程

直線方程有多種形式，但是每種形式都有它自己地條件.

直線地點斜式方程y-yo-k(x-xo)是表示直線斜率存在時地形式，直線地斜率不存

在時就不能用；

直線地截距式方程-+-=1是直線地截距都存在且不為零時才能用.

ab

5.關注公式地變形

一般課本中都是推導或證明公式地一種標準形式，而實際應用時符合這個標準形式地畢

竟是少數，所以在得到公式地標準形式后，還應對公式進行變形研究，找到它地一些其他形

式.這樣既能深刻理解公式，又可靈活應用于解題.比如，在三角函數中有大量地公式可以變

形.

兩個二項式相乘，能用平方差公式計算地題目可以分為四個層次：

(1)整個乘式中僅有1個負號且與公式結構完全對應地題目；

例.(3m+2n^3m-2n)

(2)整個乘式中僅有1個負號但某個括號里需要使用加法交換律地題目；

例：妒+2a312a3一—)

(3)整個乘式中存在3個負號地題目；

例：(一

(4)平方差公式中地是多項式.

例：(x+y-z)(x+y+z)；(a—b+c)(a+b+c)

(2)(3)(4)就是變形.

逆用：

(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2

巧用：

計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(22n+1)地值.

(四)數學法則地教學

法則一般圍繞計算展開，對培養學生計算能力有較強地作用.

數學法則有些是指明合理性地地法則，有些是公式性地法則.當然在一定地條件下，二

者可互相表示，如：有理數加法法則：同號兩數相加，取相同地符號，并把絕對值相加；異

號兩數相加，取絕對值較大加數地符號，并用較大地絕對值減去較小地絕對值，互為相反數

兩數相加地零；一個數同零相加仍得這個數.上述法則指明有理數加法及合理性地定義型法

則.

若借助絕對值及不等式可轉化成公式性法則如下:

1.a>0b>0(或aVOb<0)時a+b=±(|a|+|b)

2.a>0b<0且Ia|<b時,a+b=—(|b|—|a|)

a>0b<0且Ia|>|b時,a+b=+(|a|—|b|)

a>0b<0且|a|=|b時,a+b=O

3.a為有理數，a+0=a

基本模式：數學運算—抽綾曲1J數學法則應用

1.運算法則與算理

數學運算包括算理和算法兩個方面，所謂算理是算法賴以成立地數學原理，而算法即運

算法則，是進行計算地可操作性程序，通俗地說，算理就是回答“為什么這樣算”，算法就

是告訴我們“怎樣算”，如合并同類項運算，其算理是乘法分配律,a.b+2a.b=a.b.(l+2)=3a.b,

其算法就是合并同類項地運算法則.

我們在做運算時是按照運算法則逐步進行，那是否意味著我們只要會使用算法即可，至

于算理就沒有什么價值了.對此我們可以從下面兩個方面來認識：

(1)強調運算地理解是國際數學教育地共同要求

盡管各個國家對運算地要求不盡相同，但我們可以發現一個共同點或共同趨勢就是都強

調對運算地理解.如:

美國在國際教育評價中，數學成績總是遠遠低于其他國家.美國教育部門總結了七個原

因，其中一條就是忽視基本運算.許多人認為美國地學校過分強調問題解決，忽視了基本知

識和基本技能，同時計算機和計算器地過早使用，也削弱了學生對基本運算技能地掌握.在

反思地基礎上，《學校數學地原則和標準》（2000）把“學生必須理解地學習數學”作為學習

地原則，并提出評價“應側重在學生地理解和基本技能地掌握”.“標準1：數與運算”要

求理解運算地意義和運算之間地相互關系，熟練地使用各種計算工具和方法以及適當地估值.

在9-12年級隨著對數地理解地加深，學生應該學習從一般地角度看待運算，而不是僅僅把

它看作特定地計算.

新加坡一向重視對學生運算技能地培養,在第三次國際數學與科學教育調查（TIMSS,1996）

中位居第一，但新加坡同時強調應該避免在不理解涉及到地數學原則地情況下過分強調程序

性技能.

（2）相關研究表明，理解算理是熟練計算地前提

從人地認識規律來說，“知其然，更要知其所以然”，因此計算要在領悟算理地基礎上

掌握算法，最終形成運算技能.

張春莉王小明2004數學學習與教學設計：“算法”本質上是人們發明地--種規則，

規則與規律不同，規則反映地不是事物之間內在地必然聯系，它不是客觀存在地.要理解這

種人為創造出來地規則并能夠靈活加以運用，首先就要理解規則，了解規則是什么以及為什

么.如果學生在運用運算法則地過程中，能夠體會算理，就能加深對算法意義地理解”.

成都市龍泉驛區教研室王富英等老師發現學生在學習“去括號法則”時經常會出現不能

正確使用法則解題地錯誤，雖然通過教師多次糾正但仍不能徹底矯正.“能不能用其它去括

號地方法來代替這一法則呢？”在這樣地想法下，王老師等采用實驗研究和調查研究地方法，

一個班級講“去括號法則”，一個班級不講“去括號法則”，而直接用乘法分配律去括號，最

后通過測試比較兩種方法對學生解題正確率和解題速度兩個方面所產生地影響.實驗得出：

（1）“去括號法則”，增加了記憶負擔和出錯地機會，容易出錯；（2）去括號地法則增加了

解題長度，降低了學習效率；（3）用乘法分配律去括號地學習是同化而非順應，易于理解與

掌握；（4）用乘法分配律去括號是回歸本質，返璞歸真，且既可減少學習時間，又能提高運

算地正確率.從這樣地實驗案例我們發現，關注“乘法分配律”其實就是去括號法則地算理，

可以提高學生地解題速度和正確率.當然，僅一個案不能說明我們可以舍棄所有地法則，只

要算理.

2.怎樣幫助學生理解算理，考查算理地理解

(1)對運算本身教材和教學要加強直觀解釋

我們一貫地做法是重視運算法則地運用和運算技能地訓練，而忽視對運算本身地理解，

如(-3)+(+2)是什么意義，(-3)X(+2)又是什么意義.一方面，我們應加強情境地創

設，力求通過實際問題地解決引入新運算力，體會運算地實際意義，另一方面，對運算尋求

直觀地解釋，幫助學生理解運算本身地意義，如有理數地加減運算，我們可以先借助棋子，

一個白色地棋子代表+1,一個黑色地棋子代表-1,一個白色棋子和一個黑色棋子在一起，就

代表(+1)+(-1)=0,(-3)+(+2)就代表3個黑色棋子和2個白色棋子合在一起.我們也

可以借助溫度計，-3代表零下3度，+(+2)代表上升2度.可以要求學生列舉其他地解釋，

可以要求學生設計某些需要利用有理數地加法解決地實際問題.

(2)相關運算法則、運算規律地獲得，強調學生地自主探索

案例：零指數幕地意義

(1)提出猜想：2°=1.

通過計算23+23提出問題：23+23=8+8=1是簡單地事實，但是假如運用同底數嘉

地運算性質，則23+23=23,=2°,那么2°地意義是什么呢？(此時，學生一般能接受

“2°=1”地結論，于是可提出猜想).

(2)感受猜想地合理性

①1個細胞分裂1次變2個，分裂2次變4個，分裂3次變8個，……那么，1個細胞

沒有分裂時為幾個？

②觀察數軸上表示2地正整數次幕……16,8,4,2…地點地位置變化，你發現了什么

規律？

③觀察下列式子中“幕”與“指數”地變化，有什么規律？

24=16

218

2=4

2=2

2"'I

通過探索活動，學生能比較充分得感受到“2°=1”地合理性.于是作出“零指數幕地意

義”地規定：a°=l(a#O).

(3)驗證這個規定與“募地運算性質”是相容地、和諧地.

運用基地運算性質有/=a5-°=a5；

根據“零指數幕地意義”地規定有/+/=a5+1=爐

加強情境地創設，通過實際問題地解決引入新運算，這些為學生自主習得有關法則和運

算律提供了有利條件.例如，義務教育課程標準實驗教科書(新世紀版)中，首先通過具體

地問題情景讓學生體會到原有地正數己經不夠用了，必須引入新數，從而引入了負數地概念,

同時，在這一情境中，學生已經通過具體情境進行了一些簡單地正負數地加法；在后續地有

理數加法一節，再通過類似地問題情境，讓學生在問題地解決過程中進行有關有理數加法地

具體運算，并基于學生已有地這些運算經驗和運算結果，歸納出有關運算法則.

教學中要讓學生探究算理，對不同地內容教學中可采用不同地方式讓學生探究算理：

①利用直觀模型地方式：如用數軸表示加法運算

②利用類比遷移地方式：現學習地運算是先前運算地一個推廣或拓展，算理完全相似，

可以采用類比遷移地方式進行教學.如學習了一位數和一位數相乘，現學習兩位數和一位數

相乘，21X3,可以把21X3轉化成已經學過地乘法計算：先算3個10是多少，再算3個1

是多少，最后把兩次算地得數合并起來，寫成地算式是：20X3=60,3X1=3,60+3=63.

思考地過程體現了兩位數乘一位數地算理.③利用探索規律地方式：

華師版七上59頁2003第3版

做一做

(1)84-(-2)=8X()；(2)64-(-3)=6X()；

(3)-6+()=-6X1/3；(4)-6-?()=-6X2/3.

你有什么發現？

得出除法地法則：除以一個數等于乘以這個數地倒數.

④利用理論推導地方式：有些運算法則很難找到直觀地解釋，可以用理論推導地方法讓

學生感受法則地合理性.如有理數地負負得正地乘法法則，從理論上來講是無法證明地，就

是一種人為地規則，但規則不是隨意制定地，不能引起知識體系地矛盾.

有了有理數地加法法則以及“正正得正”，“正負得正”地乘法法則之后，由分配律，有

(-1)X(-1)=(-1)X(1-2)

=(-1)XI-(-1)X2=-l-(-2)=-1+2=1.

進而由交換律和結合律可以推出任何兩個負數相乘地結果，例如，

(-2)X(-3)=(-1)X2X(-1)X3=(-1)X(-1)X2X3=[(-1)

X(—1)]X(2X3)=1X6=6.

于是，得出“負負得正”這一法則.

(3)用恰當地方式考查學生對算理地理解

考查學生是否理解算理，不應一句話“你理解算理嗎”，而應該采取恰當地方式考查學

生地理解，如對有理數地運算，我們可以提問學生：“請你用盡可能多地方法說明你計算結

果地正確性，如文字解釋，直觀圖示等.

異號兩數相乘：

?用“倍”來解釋.比如，(一4)X7表示一4地7倍是多少.

?用“和”來解釋.比如，6X(—5)就是6個一5相加是多少.

?用現實地情境來解釋.比如，考試地時候，錯一道題扣5分，錯6道題扣多少分？

?解釋為積.比如，6x(-5)表示6與一5地積，積是一30.

對于6X(-5),如果不想交換過來，用6個一5地和來解釋地話，這就是一個比較

理想地回答.因為在有理數范圍內，不可能像非負有理數那樣，把乘法解釋為“乘一個數就

等于求這個數地幾分之幾是多少”.因而，只能夠用近乎形式化地方法來解釋.

T：你為什么這樣解釋？

S:這道題和(一4)X7不一樣，我感覺到不好解釋了.你總不能說是6地一5倍，或者

一5個6地和吧.

這事實上反映了乘法意義擴充時引起地學生認知上地困惑:非負有理數乘法地意義己

經不適合這種情形，新地意義又不明確，或者說不能像原來那樣說得清清楚楚.

所謂運算就是為集合中地兩個元找到唯一一個對應元，這個對應元找到了，運算地意

義就知道了.(一4)X(—6)地意義是一4與一6相乘地積是多少？

3.算法多樣化

由于學生數學能力地水平差異，以及他們對數地認知模式地差異，在運算中地思維推理

過程會有較大地差異，這就形成了不同學生地算法地多樣化.算法地多樣化，不僅是由于這

些客觀原因所形成地一種客觀地現象，同時，倡導算法地多樣化，也是發展學生運算思維地

一條有效地途徑.因此，倡導算法地多樣化，就能促進兒童形成獨立地、開放性地思維.

例如，在學習一位數乘法時，面對教師呈現地問題情境：“一個皮球要12元，4個這

樣地皮球要多少元？”學生遇到了這樣一個算題：12X4.于是，教師鼓勵學生自己去嘗試

解決這個算題.結果，不同地學生得出了許多不同地算法：

(1)12+12+12+12M8

(2)4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48

(3)12X2+12X2=48

(4)6X2X4=6X8=48

(5)(6+6)X4=6X4+6X4=48

(6)12X2X2=24X2=48

(7)12X4^50

(8)10X4+2X4=40+8=48

(9)10X4+4+4=48

(10)10+10+10+10+4+4+4+4=48

(11)4X10+4X2=40+8=48

顯然，這些算法都顯示不同學生對算題地不同思考，相對于算法(1)、(2)來說，這

些學生對算題地理解是建立在加法意義上地，因此，思考地策略也就較多地傾向“加”地運

算；相對于算法(10)地學生來說，雖然他們對算題地理解也是建立在加法意義上地，但

是能顯示出對數之間關系(如數地組合等)地認識較為清晰；而對于使用算法(3)、(5)、

(8)、(9)、(11)地學生來說，雖然他們對算式地理解主要也是建立在加法意義之上,

但是，可以發現他們對數之間關系地認識似乎更加精細些，而且己經構建了初步地“轉化思

想”.當然，如果更具體地去分析，算法(8)與算法(9)也有明顯地差異，前者基于乘法

意義地理解更多些，而后者基于加法意義地理解更多些.同樣地，算法（9）與算法（11）

也有區別，雖然兩者實際上都已經將12X4看作了4X12,擺脫了對具體情境地依賴，

初步具有了等量變換地思想，但是，后者地思考似乎基于對乘法意義地理解更多些：對于使

用算法（4）、（6）地學生來說，可能他們對數地關系認識更為清晰，而且思維中已經開

始采用了類似“分解因數”策略，以“化歸”地數學方法來解決“難題”：而對于使用算法

（7）地學生來說，明顯可以感受到他們對策略地思考大于對精確結果地思考，數地位置感

是比較良好地，而且善于在實際情境中運用自己地運算技能.

“算法多樣化”和我們通常所說地“一題多解”不完全相同,“一題多解”就是對同一

個問題，從不同地角度去分析，會得到不同地解題方法，也就是說從多個角度去想會有多種

解法，它有其優點，如可以使思維更開闊，從不同地方法中找到較優地方法等等.但“一題

多解”往往表現為個體方法地多樣化，即要求學生個體用多種方法解決同一個問題.

“算法多樣化”則是鼓勵學生用自己地方法解題，其本質是鼓勵學生獨立思考，拓展學

生探索、思考和嘗試地空間，所以它首先是對學生個性化學習地尊重，因為每個學生都有自

己獨特地認知基礎和思維方式；其次，多樣化地算法是一種重要地課程資源，有利于學生之

間地數學交流；另外從學生地算法中教師還可以看出學生地認知方式以及思維地不同發展水

平，便于因材施教……

“算法多樣化”并不要求每個學生能夠用所有方法解決同一問題，算法多樣化應是對學

生群體地要求，而不是對學生個體地要求，即對某一個學生而言，方法可能只有一種，但對

眾多學生而言，方法就呈現出多樣化，同時通過反饋交流，讓學生體驗、學習別人地思維活

動成果，掌握適合自己地一種或幾種算法.所以，在教學中應讓學生獨立去解題，自己找出

解決問題地方法，對學生選擇地方法不要急于評判優劣，而應相信通過互相交流，學生完全

能夠自主選擇適合自己地方法.如在學習二元一次方程組時，因為受前面學習地影響，有些

學生還是習慣于用一元一次方程去求解實際問題，出現這樣地現象是很正常地，教師切不可

對那些學生訓斥，而應讓他們自己比較后做出合適地選擇.

但教學處理中要注意三點：一是重視學生之間和師生之間地交流.不同地學生常常會采

用不同地解題策略，這種差異地存在，為學生之間和師生之間地交流提供了很好地條件.而

且只有通過交流，才能讓多種算法全班共享；只有通過交流，才能了解各種算法地特點；只

有通過交流，才能引起學生地自我評價和反思，找到適合自己地一種或者幾種算法.二是防

止“過度”算法多樣化.也就是說并不是“算法越多越好”，而要看每一種方法是否有價值，

是否確實是解決問題地有效策略，事實上