專題2趙爽弦圖一、單選題1．漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數學的珍寶.如圖所示的弦圖中，由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現有六種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A． B．1020 C．1180 D．1560【答案】D【解析】【分析】依據分步乘法原理計數，先涂中間小正方形，然后四個直角三角形按依次涂色，留意相對的直角三角形顏色是否相同分類即可.【詳解】第一步中間小正方形涂色，有6種方法，剩下5種顏色涂在四個直角三角形中，就按圖中所示1234的依次，1有5種方法，2有4種方法，3有4種方法，但要分類：與1相同和與1不相同，然后確定4的方法數，所以所求方法數為.故選：D.2．趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，趙爽在為《周髀算經》作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”.可類似地構造如圖所示的圖形，由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大的等邊三角形，設，若，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】依據正三角形和全等三角形的性質得，再運用余弦定理可求得DF的長.【詳解】由題可知：在中，，則，不妨設，由知，，則，又因為與全等，所以，由余弦定理可知：，解得，而，所以，所以.故選：D.3．圖1是我國古代數學家趙爽創制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小的正方形拼成一個大的正方形．某同學深受啟發，設計出一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，如圖2，若BD＝1，且三個全等三角形的面積和與小正三角形的面積之比為，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設小正三角形邊長為，由面積比求得，再計算出小正三角形面積可得大正三角形面積．【詳解】設，則，解得（舍去），所以，，故選：D．4．趙爽是我國古代聞名的數學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形組成)，如圖(1)類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖(2)所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，則圖中陰影部分與空白部分面積之比為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設，依據幾何關系求出AD、DF、BD、，依據余弦定理求出AB，再依據等邊三角形面積即可計算.【詳解】設，則，，，，在中，依據余弦定理得，，∴，，∴，∴圖中陰影部分與空白部分面積之比為.故選：B.5．如圖是第24屆國際數學家大會的會標，是依據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的．已知圖中正方形的邊長為2，，則小正方形的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依據設計圖的幾何特點，結合已知條件，求得小正方形的邊長，再依據同角三角函數關系，以及正弦的二倍角公式，即可求得小正方形的面積.【詳解】依據設計圖的幾何特點可知：△△△△，在△中，，，故小正方形的邊長為，故小正方形的面積為.故選：.6．2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由直角三角形中的三角函數定義列出關于的等式結合平方關系求得，然后由正弦的二倍角公式計算．【詳解】由題意大正方形邊長為5，小正方形邊長為1，所以，又，且為銳角，可解得，，所以．故選：A．7．我國東漢末數學家趙夾在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據給定圖形，利用平面對量的加法法則列式求解作答.【詳解】因“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，，，則，解得，所以.故選：B8．勾股定理被稱為幾何學的基石，相傳在商代由商高發覺，又稱商高定理．漢代數學家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明白商高結論的正確性．現將弦圖中的四條股延長相同的長度（如將延長至）得到圖2．在圖2中，若，，、兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得、、的長，進而可得出弦圖中小正方形的邊長.【詳解】由條件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦圖中小正方形的邊長為．故選：C.9．我國古代人民早在幾千年以前就已經發覺并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現，是中國古代數學的圖騰，還被用做第24屆國際數學家大會的會徽．如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據向量數乘和加減法法則，結合幾何圖形即可求解.【詳解】，即，∴．故選：A．10．“趙爽弦圖”是中國古代數學的圖騰，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小的平行四邊形拼成一個大平行四邊形，其中分別是的中點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據平面對量的基本定理，化簡得到，結合，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，可得，因為是平行四邊形，所以，所以，所以，因為，所以，則.故選：C.11．趙爽弦圖（如圖1）中的大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的，若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，由大正方形面積等于4個直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和可得勾股定理．仿照趙爽弦圖構造如圖2所示的菱形，它是由兩對全等的直角三角形和中間的矩形拼接而成的，設直角三角形的斜邊都為1，其中一對直角三角形含有銳角，另一對直角三角形含有銳角（位置如圖2所示）．借鑒勾股定理的推導思路可以得到結論（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】表示出直角三角形的邊長，繼而表示出面積，求得中間矩形的面積，依據菱形面積等于四個直角三角形面積加上中間矩形面積，化簡可得答案.【詳解】由圖形可知：含銳角的直角三角形兩直角邊長為，含銳角的直角三角形兩直角邊長為，故菱形的面積為，不妨假設，中間長方形的面積為，故，即，故選：B12．如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數學的珍寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個區域涂色；要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，每個區域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【解析】【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，依據分步、分類計數原理計算可得；【詳解】解：依題意明顯不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，依據題意，分2步進行涂色：當區域①、②、⑤這三個區域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區域③、④，必需有1個區域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區域有1種選法，則區域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；故選：C13．趙爽是我國古代聞名的數學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成），如圖（1）類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊角形，設，若向三角形ABC內隨機投一粒芝麻（忽視該芝麻的大小），則芝麻落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據幾何概型的概率公式，求出和的面積，計算所求的概率值．【詳解】由題意，，，，，由余弦定理可得，，，芝麻落在陰影部分的概率為．故選：．14．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，現供應5種顏色給圖中的5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同.記事務A：“區域1和區域3顏色不同”，事務B：“全部區域顏色均不相同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據條件概率的公式，分別計算出事務A和事務B的基本領件即可.【詳解】A事務有個基本領件，B事務有個基本領件，；故選：B.15．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實數（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】依據題給條件利用列出關于的方程，解之即可求得實數的值【詳解】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B16．“趙爽弦圖”是我國古代數學的珍寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現給這5個區域涂色，要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，每個區域只涂一種顏色，有5種不同的顏色可供運用，則不同的涂色方案有（

）A．120種 B．360種 C．420種 D．540種【答案】C【解析】【分析】要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，則涂5塊區域至少須要種顏色，然后對運用的顏色種數進行分類探討，分別求出方案數，再運用分類加法計數原理求出最終結果.【詳解】要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，則涂5塊區域至少須要種顏色.若塊區域只用種顏色涂色，則顏色的選法有種，相對的直角三角形必同色，此時不同的涂色方案有種；若塊區域只用種顏色涂色，則顏色的選法有種，其中一對相對的直角三角形必同色，余下的兩個直角三角形不同色，此時不同的涂色方案有種；若塊區域只用種顏色涂色，則每塊直角三角形都不同色，此時不同的涂色方案有種；綜上，不同的涂色方案有：種.故選：C.17．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，利用平面對量的線性運算得出，再結合平面的基本定理可得結果.【詳解】由題意得，所以，即，故選：B．18．勾股定理被稱為幾何學的基石，相傳在商代由商高發覺，又稱商高定理，漢代數學家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明白商高結論的正確性，現將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】在中利用余弦定理可求出，則可得，再由銳角三角函數的定義可求出，由勾股定理求出，從而可求得答案【詳解】連接，由條件可得，在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，所以弦圖中小正方形的邊長為．故選：C19．我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題，依據向量加減數乘運算得，進而得.【詳解】解：因為在“趙爽弦圖”中，若，所以，所以，所以，所以.故選：B20．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創建了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．類比趙爽弦圖，用個全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若的邊長為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設，，利用余弦定理和基本不等式可求得，依據平面對量數量積的定義可求得結果.【詳解】設，，在中，由余弦定理可得：，即，則（當且僅當時取等號），.故選：D.二、填空題21．如圖1是我國古代聞名的“趙爽弦圖”的示意圖，它由四個全等的直角三角形圍成，其中，現將每個直角三角形的較長的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2的數學風車，則圖2“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為_______________．【答案】24:25【解析】【分析】設三角形三邊的邊長分別為，分別求出陰影部分面積和大正方形面積即可求解.【詳解】解：由題意，“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形圍成，其中，設三角形三邊的邊長分別為，則大正方形的邊長為5，所以大正方形的面積，如圖，將延長到，則，所以，又到的距離即為到的距離，所以三角形的面積等于三角形的面積，即，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為.故答案為：24:25.22．如圖是第24屆國際數學家大會的會標，它是依據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成的．若大正方形的邊長為，E為線段BF的中點，則______．【答案】4【解析】【分析】利用數量積的幾何意義求解.【詳解】解：如圖所示：設，由題可得，所以，解得．過F作BC的垂線，垂足設為Q，故，故答案為：4．23．國際數學家大會的會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），假如小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為，則．【答案】【解析】【分析】依據題意，求得大、小正方形的邊長分別為和，得到，其中，結合三角函數的基本關系式，求得，進而求得，利用，即可求解．【詳解】由小正方形的面積為，大正方形的面積為，可得大、小正方形的邊長分別為和，又由為直角三角形中較小的銳角為，可得，其中，即，則，所以，因為，所以，所以．故答案為：.24．如圖，陰影部分由四個全等的直角三角形組成的圖形是三國時代吳國趙爽創制的“勾股弦方圖”，也稱“趙爽弦圖”.若直角三角形中較大銳角的正弦值為，則在大正方形內隨機取一點，這一點落在小正方形內的概率為___________.【答案】##0.2【解析】【分析】本題屬于幾何概型，分別求出面積，即可求概率.【詳解】設直角三角形中較大銳角為，則，所以設大正方形邊長為1，則直角三角形兩直角邊長分別為，.故小正方形邊長為，面積為.而大正方形的面積為1，故所求概率為.故答案為：25．趙爽是我國古代數學家、天文學家.約公元年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方程”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖是一張弦圖，已知大正方形的面積為，小正方形的面積為，若直角三角形較小的銳角為，則的值為______________.【答案】【解析】【分析】設直角三角形較小直角邊為，應用勾股定理求，即可得，再應用差角正切公式求目標式的值即可.【詳解】若直角三角形較小直角邊為，較大直角邊為，而正方形邊長為5，∴，解得或(舍)，∴，而.故答案為：.26．趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則可以推出_________．【答案】【解析】【分析】設，建立如圖所示的直角坐標系，結合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐標法即可得出結果.【詳解】設，則如圖：由題可知：，由所以，則所以，又所以所以，即所以，又所以，所以故答案為：.27．趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比，可構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設，且，能推出，則正實數k的值為____________．【答案】【解析】【分析】先利用得到，再利用求出，結合題目中，解方程求出即可.【詳解】由題意知，則，由得，即，同理得，又，所以，則